Série analytique des prix
Remarque concernant les décompositions générales pour les indices de prix

Résumé

Les décompositions additives et multiplicatives pour les indices de prix géométriques, arithmétiques et de type Fisher qui utilisent la moyenne logarithmique sont généralisées en remplaçant la moyenne logarithmique par la moyenne étendue plus générale. Le résultat est une décomposition simple qui prend des résultats existants comme des cas spéciaux et qui les applique à d’autres indices, comme les indices de moyenne harmonique, de Lloyd-Moulton et quadratique superlative, et leurs contreparties d’échantillon.

1 Introduction

Il est souvent utile de pouvoir décomposer un indice de prix sous une forme additive ou multiplicative pour évaluer comment chaque entrée dans l’indice influe sur sa valeur. Selon Balk (2008), un indice de prix admet une décomposition additive s’il existe des facteurs de pondération qui lui permettent d’être représenté sous forme d’une moyenne arithmétique des rapports de prix, et il admet une décomposition multiplicative s’il y a des facteurs de pondération qui lui permettent d’être représenté comme une moyenne géométrique. Remplacer des prix par des quantités donne les énoncés analogues pour un indice de quantité et rien n’est perdu en mettant l’accent sur les indices de prix.

Il existe un certain nombre de décompositions bien connues pour les types les plus courants des indices de prix bilatéraux. Balk (2008, équation 4.13) donne une décomposition additive pour tout indice fondé sur la moyenne géométrique en transmuant les facteurs de pondération dans la moyenne géométrique par la moyenne logarithmique. Il s’agit de la même décomposition dérivée par Reinsdorf et al. (2002, équation 20) pour l’indice de Törnqvist. Une approche similaire donne une décomposition multiplicative pour tout indice fondé sur la moyenne arithmétique, en utilisant de nouveau la moyenne logarithmique (Balk, 2008, équation 4.8). La combinaison de ces résultats donne des décompositions additives et multiplicatives pour l’indice de Fisher (Reinsdorf et al., 2002, section 6).^Note  Chacune de ces décompositions entraîne des facteurs de pondération qui sont positifs et dont la somme s’élève à un, comme requis pour représenter un indice comme une moyenne arithmétique ou géométrique^Note .

L’objectif de la présente remarque est de démontrer que les décompositions additives et multiplicatives pour des indices géométriques, arithmétiques et de type Fisher qui utilisent la moyenne logarithmique peuvent être consolidées et être rendues plus générales en remplaçant la moyenne logarithmique par la moyenne étendue plus générale. Le résultat principal est une fonction qui transmue les facteurs de pondération dans une moyenne généralisée d’un ordre donné pour qu’elle puisse être représentée comme une moyenne généralisée de tout autre ordre. Cela couvre les décompositions additives et multiplicatives pour les indices qui n’appartiennent pas aux familles arithmétiques et géométriques, comme les indices harmoniques ou l’indice de Lloyd-Moulton, et qui permettent aux décompositions additives et multiplicatives d’être couvertes les deux par une seule équation, plutôt que de les traiter comme des cas différents. L’expression d’un indice généralisé comme une moyenne généralisée de tout autre ordre permet également la décomposition des indices qui sont des moyennes généralisées imbriquées, comme la famille des indices moyens quadratiques superlatifs qui comprennent l’indice de Fisher, ou l’indice de moyenne AG par Lent et Dorfman (2009).

Le résultat de cette remarque est en partie d'un intérêt théorique, car il montre comment les décompositions existantes peuvent être appliqués à une gamme plus large de formules d'indices, et donne des décompositions pour des indices comme l'indice de Lloyd-Moulton et l’indice de moyenne AG qui ne sont pas couverts par les résultats existants. Le résultat s'applique également aux situations où seuls les prix et les facteurs de pondération sont connus, plutôt que les prix et les quantités, serait le cas avec les données d'échantillon. Cela facilite l'utilisation d'une plus grande collection de formules d'indices dans les contextes où l'on s'attend à disposer de données sur la contribution que chaque produit fait à la valeur d'un indice. Une utilisation pratique de cette décomposition plus générale est l’élaboration d’un logiciel pour calculer les indices de prix, car les décompositions additives et multiplicatives pour une grande collection d'indices peuvent être incorporés simplement en utilisant la moyenne étendue plutôt que d’avoir recours à un grand nombre de cas spéciaux.

2 Décomposition des indices de moyenne généralisée

Une extension naturelle des décompositions pour des indices fondés sur les moyennes arithmétiques et géométriques est de dériver des facteurs de pondération qui transforment un indice fondé sur une moyenne généralisée d’ordre $\rho \in ℝ$ en une fondée sur une moyenne généralisée d’ordre $\varsigma \in ℝ$ . Pour fixer la notation, laisser $r=\left(r_1,r_2,\dots ,r_n\right)\in {ℝ}_{++}^n$ être un vecteur de rapports de prix pour $n$ produits et laisser $w=\left(w_1,w_2,\dots ,w_n\right)\in {\text{Δ}}^{n-1}$ être les facteurs de pondération correspondants, où ${\text{Δ}}^{n-1}=\left\{w\in {ℝ}_{+}^n|{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{w}_i=1\right\}$ est l’unité simplex. L’objectif est de trouver une fonction à valeur vectorielle

$$v\left(r,w;\rho ,\varsigma \right)=\left(v_1\left(r,w;\rho , \varsigma \right),v_2\left(r,w;\rho , \varsigma \right),\dots ,v_n\left(r,w;\rho , \varsigma \right)\right)$$

par mappage dans ${\text{Δ}}^{n-1}$ telle que

$${\mathfrak{M}}_{\rho }\left(r,w\right)\equiv {\mathfrak{M}}_{\varsigma }\left(r, v\left(r,w;\rho ,\varsigma \right)\right),$$

où ${\mathfrak{M}}_{\rho }$ est la moyenne généralisée d’ordre $\rho$

$${\mathfrak{M}}_{\rho }(r,w)=\{\begin{array}{ll}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{w}_i}{r}_i^{\rho }\right)}^{1/\rho }\hfill & \text{si }\rho \ne 0\hfill \\ \exp \left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{w}_i}\log (r_i)\right)\hfill & \text{si }\rho =0.\hfill \end{array}$$

En établissant $\varsigma =1$ donne alors une décomposition additive pour tout indice fondé sur une moyenne généralisée d’ordre $\rho$ , de sorte que

$${\mathfrak{M}}_{\rho }\left(r,w\right)\equiv {\displaystyle \sum _{i=1}^n{v}_i}(r,w;\rho ,1)r_i,$$

et établir $\varsigma =0$ donne une décomposition multiplicative,

$${\mathfrak{M}}_{\rho }\left(r,w\right)\equiv {\displaystyle \prod }_{i=1}^n{r}_i{}^{v_i(r,w;\rho ,0)}.$$

Les résultats selon Balk (2008) et Reinsdorf et al. (2002) montrent comment dériver $v\left(r,w;\rho ,\varsigma \right)$ quand $\rho = 1$ et $\varsigma = 0$ (décomposition multiplicative d’un indice arithmétique) et $\rho = 0$ et $\varsigma = 1$ (décomposition additive d’un indice géométrique), en utilisant la moyenne logarithmique. La généralisation de ces résultats suit le remplacement de la moyenne logarithmique par la moyenne étendue plus générale (Bullen, 2003, p. 393), définie pour tout $a,b \in {ℝ}_{++}$ comme

$${\mathfrak{E}}_{\rho \varsigma }(a,b)=\{\begin{array}{ll}{\left(\frac{\varsigma (a^{\rho }-b^{\rho })}{\rho (a^{\varsigma }-b^{\varsigma })}\right)}^{1/(\rho -\varsigma )}\hfill & \text{si }\rho \ne \varsigma ,\rho \ne 0,\varsigma \ne 0,a\ne b\hfill \\ {\left(\frac{a^{\rho }-b^{\rho }}{\rho \log (a/b)}\right)}^{1/\rho }\hfill & \text{si }\rho \ne 0,\varsigma =0,a\ne b\hfill \\ {\left(\frac{a^{\varsigma }-b^{\varsigma }}{\varsigma \log (a/b)}\right)}^{1/\varsigma }\hfill & \text{si }\rho =0,\varsigma \ne 0,a\ne b\hfill \\ \frac{1}{\exp {(1)}^{1/\rho }}{\left(\frac{a^{a^{\rho }}}{b^{b^{\rho }}}\right)}^{1/(a^{\rho }-b^{\rho })}\hfill & \text{si }\rho =\varsigma \ne 0,a\ne b\hfill \\ \sqrt{ab}\hfill & \text{si }\rho =\varsigma =0,a\ne b\hfill \\ a\hfill & \text{si }a=b.\hfill \end{array}$$

La moyenne étendue diminue jusqu’à la moyenne logarithmique soit lorsque $\rho = 0$ et $\varsigma = 1$ , ou $\rho = 1$ et $\varsigma = 0$ . Mais utiliser la moyenne étendue au lieu de la moyenne logarithmique permet des décompositions des indices fondés sur d’autres types de moyennes, comme les indices harmoniques ( $\rho = -1$ ) et l’indice de Lloyd-Moulton ( $\rho = 1 - \sigma$ , où $\sigma$ est une élasticité de substitution).

La clé de la transformation des facteurs de pondération dans une moyenne d’ordre généralisée $\rho$ dans les facteurs de pondération pour une moyenne d’ordre généralisée $\varsigma$ vient de la notation que la moyenne étendue est toujours positive et répond à l’identité^Note 

$$(1){\displaystyle \sum _{i=1}^n{w}_i}{\mathfrak{E}}_{\rho \varsigma }{(r_i,{\mathfrak{M}}_{\rho }(r,w))}^{\rho -\varsigma }{d}_i(r,w;\rho ,\varsigma )\equiv 0,$$

où $d_i$ est l’écart par rapport à la moyenne généralisée

$$d_i(r,w;\rho ,\varsigma )=\{\begin{array}{ll}{r}_i^{\varsigma }-{\mathfrak{M}}_{\rho }{(r,w)}^{\varsigma }\hfill & \text{si }\varsigma \ne 0\hfill \\ \log (r_i)-\log ({\mathfrak{M}}_{\rho }(r,w))\hfill & \text{si }\varsigma =0.\hfill \end{array}$$

Réorganiser (1) donne

$${\mathfrak{M}}_{\rho }(r,w)\equiv \{\begin{array}{ll}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{w_i{\mathfrak{E}}_{\rho \varsigma }{(r_i,{\mathfrak{M}}_{\rho }(r,w))}^{\rho -\varsigma }}{{\displaystyle \sum _{j=1}^n{w}_j}{\mathfrak{E}}_{\rho \varsigma }{(r_j,{\mathfrak{M}}_{\rho }(r,w))}^{\rho -\varsigma }}}{r}_i^{\varsigma }\right)}^{1/\varsigma }\hfill & \text{si }\varsigma \ne 0\hfill \\ \exp \left({\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{w_i{\mathfrak{E}}_{\rho \varsigma }{(r_i,{\mathfrak{M}}_{\rho }(r,w))}^{\rho -\varsigma }}{{\displaystyle \sum _{j=1}^n{w}_j}{\mathfrak{E}}_{\rho \varsigma }{(r_j,{\mathfrak{M}}_{\rho }(r,w))}^{\rho -\varsigma }}}\log (r_i)\right)\hfill & \text{si }\varsigma =0,\hfill \end{array}$$

de sorte que le réglage

$$(2)v_i(r,w;\rho ,\varsigma )=w_i{\mathfrak{E}}_{\rho \varsigma }{(r_i,{\mathfrak{M}}_{\rho }(r,w))}^{\rho -\varsigma }/{\displaystyle \sum _{j=1}^n{w}_j}{\mathfrak{E}}_{\rho \varsigma }{(r_j,{\mathfrak{M}}_{\rho }(r,w))}^{\rho -\varsigma }$$

donne une fonction adéquate pour trouver les facteurs de pondération qui transforment un indice fondé sur une moyenne d’ordre généralisée $\rho$ en un indice fondé sur une moyenne d’ordre généralisée $\varsigma$ . (Il est évident que la fonction $v$ définie par (2) se reporte dans ${\Delta }^{n-1}$ .) Fixer $\rho = 0$ et $\varsigma = 1$ , ou $\rho = 1$ et $\varsigma = 0$ , donne les cas spéciaux dans Balk (2008) et Reinsdorf et al. (2002).

Il est intéressant de noter que la fonction donnée par (2) n’est pas nécessairement unique et qu’il existe d’autres fonctions qui décomposent des indices fondés sur la moyenne généralisée^Note . Malgré cela, toute fonction qui décompose la moyenne généralisée quand $n = 2$ doit être en accord avec (2) lorsque $r_1\ne r_2$ , et (2) est la seule telle fonction qui retourne toujours à $w$ quand $r_1 = r_2$ ^Note . Ce doit être $n \ge 3$ pour que toute autre fonction transforme avec succès les facteurs de pondération en une moyenne généralisée lorsque tous les rapports de prix ne sont pas égaux et cela suppose que toute autre fonction $u$ qui décompose la moyenne généralisée peut être écrite comme une extension de (2)

$$u(r,w;\rho ,\varsigma ,n)=\{\begin{array}{ll}v(r,w;\rho ,\varsigma )\hfill & \text{si }n=2\hfill \\ u(r,w;\rho ,\varsigma )\hfill & \text{si }n\ge 3.\hfill \end{array}$$

3 Décomposition des indices superlatifs

Les décompositions additives et multiplicatives pour l’indice de Fisher par Reinsdorf et al. (2002, section 6) peuvent être généralisées de la même manière que les décompositions pour les indices arithmétiques et géométriques en notant que l’indice de Fisher est simplement une moyenne généralisée imbriquée des indices fondés sur la moyenne généralisée. Pour une paire de moyennes généralisées $({\mathfrak{M}}_{{\rho }_1}(r,w_1),{\mathfrak{M}}_{{\rho }_2}(r,w_2))$ se reportant dans ${ℝ}_{++}^2$ avec des facteurs de pondération $({\omega }_1,{\omega }_2)\in {\Delta }^1$ , un indice fondé sur des moyennes généralisées imbriquées est écrit comme

$$(3){\mathfrak{M}}_{\rho }(({\mathfrak{M}}_{{\rho }_1}(r,w_1),{\mathfrak{M}}_{{\rho }_2}(r,w_2)),({\omega }_1,{\omega }_2)).$$

La famille générale de la moyenne quadratique superlative des indices d’ordre $\tau$ proviennent de l’établissement de $\rho = 0$ , ${\rho }_1 = \tau /2$ , et ${\rho }_2 = -\tau /2$ quand ${\omega }_1={\omega }_2 = 1/2$ , $w_1$ sont des parts des dépenses/recettes de la période de référence et $w_2$ sont des parts des dépenses/recettes de la période actuelle. En particulier, établir $\rho = 0$ , ${\rho }_1 = 1$ et ${\rho }_2 = -1$ donne l’indice de Fisher. Mais (3) couvre d’autres types d’indices également. Par exemple, établir chaque élément de $w_1$ et $w_2$ à $1/n$ donne l’indice de Carruthers-Sellwood-Ward-Dalén qui sert d’estimateur pour l’indice de Fisher, alors qu’établir $\rho = -1$ donne l’analogue harmonique de l’indice de Fisher. Établir $\rho = {\rho }_1 = {\rho }_2$ et $w_1 = w_2$ donne un indice fondé sur une moyenne généralisée d’ordre $\rho$ , de sorte que la décomposition d’un indice fondé sur la moyenne généralisée est un cas spécial de la décomposition pour (3).   

Un indice de forme (3) peut être transformé en un indice fondé sur la moyenne généralisée d’ordre $\rho$ en utilisant les facteurs de pondération dans (2), comme on peut l’écrire ici

$${\mathfrak{M}}_{\rho }(r,{\omega }_{1}v(r,w_1;{\rho }_1,\rho )+{\omega }_{2}v(r,w_2;{\rho }_2,\rho )).$$

La transformation dans (2) s’applique alors comme avant, remplaçant seulement $w$ par des facteurs de pondération plus compliqués ${\omega }_{1}v(r,w_1;{\rho }_1,\rho )+{\omega }_{2}v(r,w_2;{\rho }_2,\rho )$ .

4 Exemple numérique

Il est facile de voir comment ces décompositions fonctionnent avec un petit exemple numérique en utilisant des valeurs provenant des tableaux 19.1 et 19.2 du manuel de l’indice des prix à la production (ILO et al., 2004). Ces valeurs sont reproduites dans le tableau 1, avec le tableau 2 qui donne les décompositions additives ( $\varsigma = 1$ ) pour les indices de Fisher ( $\rho = 0, {\rho }_1 = 1, {\rho }_2 = -1$ ), de Törnqvist ( $\rho = 0$ ), de Lloyd-Moulton ( $\rho = 1.75$ ) et de Carruthers-Sellwood-Ward-Dalén ( $\rho = 0, {\rho }_1 = 1, {\rho }_2 = -1$ ), de même qu’avec les parts de recettes de la période de référence et de la période actuelle.

 

Les décompositions pour les indices de Fisher et de Törnqvist sont simplement celles de Reinsdorf et al. (2002), et elles racontent la même histoire. Les facteurs de pondération pour transformer ces indices en des moyennes arithmétiques sont assez semblables aux parts de recettes de la période de référence, ces parts descendant pour des produits avec de plus grands rapports de prix, et augmentant pour des produits avec de plus petits rapports de prix. La décomposition de l’indice de Lloyd-Moulton est en grande partie la même, car la valeur de l’indice est assez semblable aux indices de Fisher et de Törnqvist et suit de près les parts de recettes de la période de référence. Toutefois, avec cette décomposition, les parts de recettes de la période de référence descendent pour des produits avec de plus petits rapports de prix et augmentent pour des produits avec de plus grands rapports de prix. La décomposition de l’indice de Carruthers-Sellwood-Ward-Dalén est assez différente, car cet indice utilise uniquement des données de prix. Par conséquent, les facteurs de pondération sont beaucoup plus uniformes que pour les autres indices. Mais la mécanique de la décomposition est semblable à celle des indices de Fisher et Törnqvist, alors que des produits avec de plus petits rapports de prix présentent un plus grand facteur de pondération.

5 Conclusion

Les décompositions pour les indices de prix sont utiles pour comprendre comment chaque rapport de prix influe sur la valeur d’un indice et il existe plusieurs décompositions bien connues qui couvrent les cas les plus importants. Cette remarque élabore une simple généralisation qui consolide les décompositions existantes pour des indices bilatéraux et les applique à une plus grande gamme d’indices de prix. Bien que cette nouvelle décomposition couvre une grande collection d’indices de prix, elle n’est pas exhaustive et il existe des indices bilatéraux non linéaires (comme ceux fondés sur la médiane, plutôt que sur la moyenne) qui nécessitent une approche différente. Une avenue intéressante pour de futurs travaux vient de l’observation que la décomposition dans (2) peut être utilisée pour exprimer une moyenne généralisée alors que d’autres types de moyennes, comme une moyenne de Lehmer (Bullen, 2003, p. 245), suggérant que ces types de moyennes pourraient être pertinents pour la construction d’indices de prix.

Remerciements

Ce travail a bénéficié de commentaires utiles de Justin Francis, Zachary Glazier, Xin Ha, Brett Harper, Dragos Ifrim, Klaus Kostenbauer et Clément Yélou.

Bibliographie

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Bullen, P. S. (2003). Handbook of Means and their Inequalities. Springer Science+Business Media.

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Lent, J. et Dorfman, A. H. (2009). Using a weighted average of base period price indexes to approximate a superlative index. Journal of Official Statistics, 25(1):139–149.

ILO, IMF, OECD, Eurostat, UN, et World Bank (2004). Producer Price Index Manual: Theory and Practice. International Monetary Fund.

Reinsdorf, M. B., Diewert, W. E., et Ehemann, C. (2002). Additive decompositions for Fisher, Törnqvist and geometric mean indexes. Journal of Economic and Social Measurement, 28(1-2):51–61.