Le document de référence de l’Indice des prix à la consommation canadien
Chapitre 6 – Calculs de l’Indice des prix à la consommation

6.1 L’Indice des prix à la consommation (IPC) est calculé en deux étapes, appelées niveau inférieur et niveau supérieur.

6.2 À l’étape du calcul de niveau inférieur, on estime la variation des prix pour les agrégats élémentaires. Ces agrégats se trouvent au niveau d’agrégation le plus faible des classifications des produits et des domaines géographiques de l’IPC et sont le plus souvent calculés en utilisant une formule d’indice de Jevons (moyenne géométrique). Les agrégats élémentaires sont constitués de groupes similaires de produits dans une strate géographique. ^Note 

6.3 Au niveau supérieur, une formule d’indice des prix de Lowe (de type Laspeyres) à panier fixe pondérée asymétriquement est utilisée pour combiner les agrégats élémentaires afin d’obtenir des indices agrégés de niveau supérieur.

6.4 Le présent chapitre traite du calcul en deux étapes de l’IPC, en commençant par le calcul des indices élémentaires au niveau inférieur. L’accent sera mis sur la méthode classique de calcul des indices, mais certaines méthodes non classiques utilisées dans le calcul de l’IPC seront également abordées. Puis, on expliquera la méthode utilisée pour agréger les indices élémentaires des prix au niveau supérieur.

Calcul des indices élémentaires (niveau inférieur)

6.5 Au niveau inférieur, les indices élémentaires des prix sont calculés pour environ 645 classes de produits élémentaires dans chacune des 19 strates géographiques de l’IPC.^Note  Les indices élémentaires peuvent être interprétés comme étant les éléments servant à la construction de l’IPC et représentent le niveau d’agrégation le plus bas de la hiérarchie de l’indice à panier fixe. L’estimation de la variation des prix à ce niveau est habituellement faite selon une approche classique de calcul des indices élémentaires des prix. Certaines exceptions sont faites pour des cas particuliers examinés plus loin dans le chapitre.^Note 

6.6 Les indices élémentaires ne sont pas tous calculés directement au moyen de prix observés. Au niveau du Canada, environ 75% des indices élémentaires, selon la pondération du panier, sont calculés directement au moyen de prix observés dans leur classe de produits et domaine géographique. La proportion d’indices élémentaires estimés par observation directe des prix varie d’un domaine géographique à l’autre. Les indices élémentaires restants sont imputés, soit en partant d’une autre classe de produits étroitement apparentée, ou de la même classe de produits dans une autre strate géographique.^Note 

6.7 La plupart des agrégats élémentaires qui ne sont pas calculés en utilisant des prix observés sont des classes de produits « fourre-tout »; elles représentent donc des variétés de produits plus marginales et diverses, qui ne se classent nettement dans aucune des autres classes de produits élémentaires. Habituellement, pour ces classes de produits « fourre-tout », l’estimation par observation directe des prix est aussi considérablement plus coûteuse. On estime généralement leur variation des prix en imputant le mouvement des prix tiré d’un autre indice élémentaire des prix pour lequel les prix sont observés.

6.8 Même s’il peut sembler idéal que tous les indices élémentaires des prix soient calculés en utilisant des prix observés dans leur propre classe de produits, cela n’est pas toujours nécessaire. Puisque l’objectif de l’IPC est de mesurer la variation des prix et non les niveaux absolus des prix, des stratégies d’échantillonnage sont élaborées pour tenir compte des offres de produit qu’il importe le plus de saisir directement, et de celles qui pourraient être estimées adéquatement par imputation.^Note 

6.9 Pour calculer les indices élémentaires des prix, le programme de l’IPC suit l’approche de l’appariement de modèles qui consiste à suivre des offres de produit identiques (dont la quantité et la qualité sont constantes) au cours du temps. Cependant, il n’est pas toujours possible de suivre les mêmes produits dans le temps, car de nouveaux biens et services font constamment leur apparition et d’anciens disparaissent. Lorsqu’on ne peut pas relever le prix d’une offre de produit identique lors d’une période subséquente, il faut observer une offre de produit de remplacement. Le présent chapitre ne traitera pas des situations où les offres de produit sont remplacées.^Note 

6.10 Les exemples de situations où le calcul des indices élémentaires des prix est relativement simple correspondent aux quelques agrégats élémentaires comprenant un seul produit n’ayant qu’un seul prix. Ces classes de produits contiennent habituellement des biens ou des services pour lesquels les prix sont déterminés par un palier d’administration publique, tels que les droits de permis de conduire ou de passeport. Le cas échéant, le rapport du prix durant un mois donné au prix du mois précédent est la meilleure estimation de la variation du prix. Cependant, pour la majorité des classes de produits élémentaires, la situation réelle est plus complexe, principalement parce qu’il existe de nombreux types de produits concurrents et en constante évolution.

6.11 Dans la majorité des cas, les indices élémentaires des prix sont basés sur un échantillon de prix pour un ou plusieurs biens ou services appartenant à la classe de produits élémentaire. Les offres de produit échantillonnées reçoivent la même pondération dans ce calcul élémentaire, parce que l’information sur la pondération en dépenses de consommation n’est habituellement pas disponible à ce niveau.

6.12 La section qui suit décrit l’approche classique de calcul des indices élémentaires des prix. L’exposé passe ensuite à la discussion de plusieurs indices élémentaires des prix pour lesquels les méthodes d’estimation diffèrent de l’approche classique, en raison de la nature complexe de l’estimation de la variation des prix pour les biens et services compris dans la classe de produits élémentaire ou de la disponibilité d’information supplémentaire qui peut être utilisée pour produire un indice élémentaire des prix amélioré.

Approche classique de calcul des indices élémentaires des prix

6.13 Par approche classique, on entend la méthode utilisée le plus fréquemment pour combiner les prix afin d’estimer la variation des prix pour les agrégats élémentaires dans l’IPC. Habituellement, on ne connaît pas les profils des dépenses de consommation à un niveau inférieur à celui des agrégats élémentaires et on utilise donc la moyenne géométrique pondérée implicitement, appelée formule de Jevons (6.1), pour calculer un ratio de prix moyen d’après l’échantillon des offres de produit relevées. Cela signifie qu’une importance égale est attribuée dans le calcul au ratio de prix de chaque offre de produit relevée. Statistique Canada utilise la formule de Jevons depuis 1995 comme formule principale pour le calcul des indices élémentaires des prix dans l’IPC.

$$I_{J,a}^{t-1:t}={{\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(\frac{p_i^t}{p_i^{t-1}}\right)}}^{{}^1{/}_n}\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}(6.1)}$$

où :       $I_{J,a}^{t-1:t}$ est l’indice des prix de Jevons pondéré implicitement pour l’agrégat élémentaire $a$ entre les périodes $t-1$ et $t$; 

$n$ est le nombre d’offres de produit $i$ dans l’agrégat élémentaire $a$; et

$\frac{p_i^t}{p_i^{t-1}}$ est le ratio de prix pour l’offre de produit $i$ entre les périodes $t-1$ et $t.$

6.14 La formule de Jevons (6.1) peut également être calculée en prenant le rapport des moyennes géométriques implicitement pondérées des prix des offres de produit observées durant les deux périodes comparées (6.2).

$$I_{J,a}^{t-1:t}=\frac{{\displaystyle \prod _{i=1}^n{(p_i^t)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$n$}\right.}}}{{\displaystyle \prod _{i=1}^n{(p_i^{t-1})}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$n$}\right.}}}\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}(6.2)}$$

où :           ${\displaystyle \prod _{i=1}^n{(p_i^t)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$n$}\right.}}$ est la moyenne géométrique des prix de toutes les offres de produit $i$ pour l’agrégat élémentaire $a$ à la période $t$; et

${\displaystyle \prod _{i=1}^n{(p_i^{t-1})}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$n$}\right.}}$ est la moyenne géométrique des prix de toutes les offres de produit $i$ pour l’agrégat élémentaire $a$ à la période $t-1$.

6.15 La formule de Jevons a été adoptée parce qu’elle offre plusieurs avantages par rapport à la formule de Dutot utilisée antérieurement.^Note  Premièrement, la moyenne géométrique des ratios de prix (Jevons) est moins influencée par les prix extrêmes que le rapport des moyennes arithmétiques des prix (Dutot). Les indices élémentaires de prix résultants sont moins volatils.^Note  Deuxièmement, les indices élémentaires de prix qui sont calculés sous forme de moyennes géométriques des ratios de prix (Jevons) peuvent être interprétés de deux façons; en premier lieu, comme une moyenne des variations des prix (6.1) et en deuxième lieu, comme une variation des prix moyens (6.2). La première interprétation, qui ne s’applique qu’à la formule de Jevons, est utile pour expliquer la composition des variations des prix agrégés.

Autres méthodes de calcul des indices élémentaires des prix

6.16 Parmi les indices de prix des produits élémentaires, il existe plusieurs écarts par rapport à l’approche classique. Des exceptions à la méthode classique sont habituellement faites parce que l’on dispose de renseignements plus complets sur l’univers des transactions à l’intérieur de l’agrégat élémentaire.

6.17 À partir de 1995, des formules arithmétiques ont été retenues pour le calcul de quelques indices élémentaires de prix (les loyers, les primes d’assurance de véhicule automobile et les frais de scolarité). Ces agrégats élémentaires se distinguent des autres du fait que les offres de produit échantillonnées sont tirées d’une base de sondage représentative de la population et que l’on est certain que l’échantillon est suffisamment représentatif de l’univers des dépenses de consommation pour ces classes de produits. En outre, la nature contractuelle des dépenses liées à ces classes de produits signifie qu’il est probable qu’une substitution de produit n’aura pas lieu au cours de la période de comparaison des prix. La formule arithmétique non-pondérée qui est utilisée dans l’IPC canadien est celle de Dutot (6.3).^Note 

$$I_{D,a}^{t-1:t}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{1}{n}{p}_i^t}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{1}{n}{p}_i^{t-1}}}\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}(6.3)}$$

où :

$I_{D,a}^{t-1:t}$ est l’indice des prix de Dutot pour l’agrégat élémentaire $a$ entre les périodes $t-1$ et $t$;  $n$ est le nombre d’offres de produit $i$ dans l’agrégat élémentaire $a$;

${\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{1}{n}{p}_i^t}$ est la moyenne arithmétique des prix pour toutes les offres de produit $i$ pour l’agrégat élémentaire $a$ à la période $t$; et

${\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{1}{n}{p}_i^{t-1}}$ est la moyenne arithmétique des prix pour toutes les offres de produit $i$ pour l’agrégat élémentaire $a$ à la période $t-1$.

6.18 Une formule de Jevons explicitement pondérée (6.4) est utilisée dans quelques cas particuliers où des renseignements plus détaillés sur les dépenses sont disponibles à un niveau inférieur à celui de l’agrégat élémentaire. Les indices calculés pour les frais de services postaux, les journaux et magazines, les tarifs de transport en commun et les tarifs de stationnement sont des exemples d’indices calculés au moyen de la formule de Jevons pondérée explicitement.

$$I_{WJ,a}^{t-1:t}=\frac{{\displaystyle \prod _{i=1}^n{\left(p_i^t\right)}^{w_i/{\displaystyle \sum _{i=1}^n{w}_i}}}}{{\displaystyle \prod _{i=1}^n{\left(p_i^{t-1}\right)}^{w_i/{\displaystyle \sum _{i=1}^n{w}_i}}}}\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}(6.4)}$$

où : 

$I_{WJ,a}^{t-1:t}$ est l’indice des prix de Jevons pondéré explicitement pour l’agrégat élémentaire $a$ entre les périodes $t-1$ et $t$; $n$ est le nombre d’offres de produit $i$ relevées dans l’agrégat élémentaire $a$;

${\displaystyle \prod _{i=1}^n{\left(p_i^t\right)}^{w_i/{\displaystyle \sum _{i=1}^n{w}_i}}}$ est la moyenne géométrique pondérée explicitement des prix de toutes les offres de produit $i$ dans l’agrégat élémentaire $a$ à la période $t$;

${\displaystyle \prod _{i=1}^n{\left(p_i^{t-1}\right)}^{w_i/{\displaystyle \sum _{i=1}^n{w}_i}}}$ est la moyenne géométrique pondérée explicitement des prix de toutes les offres de produit $i$ dans l’agrégat élémentaire $a$ à la période $t-1$; et

${}^{{}^{w_i/{\displaystyle \sum _{i=1}^n{w}_i}}}$   est le poids de l’offre de produit $i$ proportionnellement au poids agrégé pour toutes les offres de produit. 

6.19 Les pondérations utilisées dans le calcul n’ont pas à être reliées à la période de comparaison des prix, mais elles sont fixes durant chaque période comparée. Les pondérations sont tirées de dossiers administratifs et d’autres sources de données. Ces cas peuvent être considérés comme des améliorations de l’approche standard, parce qu’au lieu d’attribuer implicitement une même importance à chaque ratio de prix (6.1), ils tiennent compte de l’information supplémentaire au sujet de l’importance relative, ou de la grandeur, de chaque groupe de transactions.

6.20 Lorsque différents types de produits sont disponibles dans un agrégat élémentaire, mais que chaque type de produit est homogène, le calcul d’un indice de valeur unitaire est une méthode privilégiée pour les indices élémentaires de prix. Un indice de valeur unitaire est simplement la moyenne pondérée en quantités des prix de transaction de tous les produits dans un agrégat élémentaire durant une période, divisée par la moyenne pondérée en quantités des prix de transaction à la période précédente. L’utilisation du calcul des valeurs unitaires doit être justifiée par l’hypothèse raisonnable que les variations dans ces prix moyens ne capturent pas des différences de qualité à travers le temps. Autrement, l’indice pourrait présenter un biais.^Note 

6.21 Le programme de l’IPC utilise le calcul des valeurs unitaires pour l’Indice des prix des spectacles, qui comprend les prix des sièges dans les stades et des spectacles sur scène. L’hypothèse qui sous-tend cet indice est que le stade ou le théâtre fonctionne à bureau fermé durant chacune des deux périodes comparées, qu’il n’y a vraisemblablement pas de variation de la qualité globale, même si la valeur des sièges peut différer. En effet, on utilise le prix de l’ensemble des sièges dans le stade ou le théâtre plutôt que de quelques sièges individuels. Une approche similaire est utilisée pour calculer l’Indice des prix du transport aérien.

6.22 Le calcul des valeurs unitaires est également utilisé dans l’indice élémentaire des prix pour l’impôt foncier. On sélectionne un échantillon de propriétés pour pouvoir calculer l’impôt foncier annuel moyen payé dans une municipalité donnée. Cet impôt annuel moyen est ensuite multiplié par le stock total de logements dans chaque municipalité afin d’obtenir l’impôt foncier annuel moyen dans chaque strate géographique de l’IPC. Aucune tentative n’est faite en vue de tenir compte des différences entre les municipalités quant à la qualité des services que reçoivent les propriétaires en échange de l’impôt qu’ils versent. En outre, aucun ajustement n’est appliqué pour tenir compte des variations de la qualité des services municipaux d’une période à l’autre. Il n’est pas possible de tenir compte de ces différences, car il n’existe pas de données associant des services municipaux particuliers aux proportions de l’impôt foncier versé.^Note 

Calcul de l’Indice des prix à la consommation à un niveau plus élevé que les indices élémentaires (niveau supérieur)

6.23 Le calcul de l’IPC au niveau supérieur est relativement simple comparativement au calcul de niveau inférieur. Il consiste en l’agrégation des indices élémentaires de prix calculés en utilisant une formule de panier fixe arithmétique pondérée asymétriquement afin d’obtenir les indices agrégés. Ces derniers culminent en bout de ligne avec l’IPC d’ensemble.^Note 

6.24 La formule de Laspeyres (6.5) est une méthode de base de calcul des indices des prix qui est en harmonie avec le concept de panier fixe de l’IPC. Elle exprime la variation du coût, entre les périodes $0$ et $t$, de l’achat d’un panier fixe de produits, en agrégeant les prix des produits compris dans le panier en se servant des quantités consommées de la période de référence des prix $0$ comme pondérations.

$$I_{L,A}^{0:t}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^t{q}_i^0}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^0{q}_i^0}}\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}(6.5)}$$

 où : 

$I_{L,A}^{0:t}$ est l’indice des prix de Laspeyres de la classe agrégée $A$ entre les périodes $0$ et $t$;

$n$ est le nombre d’agrégats élémentaires $i$ dans la classe agrégée $A$;

$p_i^t$ est le prix de l’agrégat élémentaire $i$ à la période $t$;

$p_i^0$ est le prix de l’agrégat élémentaire $i$ à la période $0$; et

$q_i^0$ est la quantité servant de pondération de l’agrégat élémentaire $i$, durant la période de référence des prix $0$.

6.25 En pratique, l’indice de Laspeyres n’est pas utilisé fréquemment pour calculer l’IPC, parce qu’il nécessite des données sur les quantités consommées^Note  durant la période de référence des prix $0$ et que ces données ne sont pas disponibles en temps voulu. Cela tient au fait que les données recueillies auprès des ménages sont habituellement produites avec un décalage. Par conséquent, puisque Statistique Canada vise à produire un IPC qui est d’actualité, c’est-à-dire qui mesure les variations des prix pour les périodes récentes, la formule de Laspeyres doit être modifiée afin d’utiliser les quantités provenant d’une période qui précède la période de référence des prix $0$. Cette transformation donne la formule de Lowe (6.6), qui est une forme plus générale de l’indice de Laspeyres, parce que les quantités proviennent d’une période de référence des pondérations $b$  choisie antérieure à la période de référence des prix $0$.

$$I_{Lo,A}^{0:t}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^t{q}_i^b}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^0{q}_i^b}}\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}(6.6)}$$

où : 

$I_{Lo,A}^{0:t}$ est l’indice des prix de Lowe de la classe agrégée $A$ entre les périodes $0$ et $t$;

$n$ est le nombre d’agrégats élémentaires $i$ dans la classe agrégée $A$;

$p_i^t$  est le prix de l’agrégat élémentaire $i$, à la période $t;$

$p_i^0$  est le prix de l’agrégat élémentaire $i$, à la période $0;$

$q_i^b$  est la quantité servant de pondération de l’agrégat élémentaire $i$, durant la période de référence des pondérations $b$, avec $b\le 0<t$.

6.26 L’indice de Lowe peut aussi être exprimé comme la somme pondérée des indices élémentaires des prix (6.7) en se servant des parts des dépenses comme pondérations.

$$I_{Lo,A}^{0:t}={\displaystyle \sum _{i=1}^n(p_i^t/p_i^0)s_i^{0b}}\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}(6.7)}$$

où :

$p_i^t/p_i^0$ est l’indice des prix de l’agrégat élémentaire ( $i$ ) entre les périodes $0$ et $t$; et

$$s_i^{0b}\equiv \frac{p_i^0{q}_i^b}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^0{q}_i^b}}\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}(6.8)}$$.

6.27 Les parts des dépenses $s_i^{0b}$ dans la formule de Lowe (6.7) sont des dépenses hybrides, parce que les prix et les quantités (dont le produit donne les dépenses) proviennent de périodes différentes, $0$ et $b$.

6.28 Les parts des dépenses hybrides (6.8) sont obtenues en mettant à jour les pondérations originales en dépenses $p_i^b{q}_i^b$ (observés à la période de référence des pondérations $b$ ) pour refléter les prix de la période de référence des prix $0$  en utilisant les ratios de prix $p_i^0/p_i^b$. Ce processus est souvent appelé actualisation par les prix et, donc, les pondérations en dépenses hybrides sont fréquemment appelées pondérations actualisées par les prix.^Note  L’utilisation des pondérations actualisées par les prix, ou des dépenses hybrides, est un élément essentiel du concept du panier à quantités fixes de l’IPC.

6.29 Comme les pondérations utilisées dans le calcul de l’IPC sont obtenues en partant de données sur les dépenses de consommation dont la période de référence des pondérations précède la période de référence des prix $0$, la formule de l’indice de Lowe est l’option pratique pour calculer un IPC dont la valeur est actuelle.

6.30 À part cet avantage pratique, la formule de Lowe possède aussi de nombreuses propriétés désirables. L’une d’elles est la cohérence de l’agrégation. Autrement dit, peu importe l’ordre dans lequel les indices élémentaires de prix sont agrégés (par exemple d’abord par strate géographique, puis par classe de produits, ou l’inverse), les indices agrégés résultants sont les mêmes.

6.31 Une autre propriété désirable de la formule de Lowe est sa transitivité^Note  , par laquelle le rapport de deux indices de Lowe utilisant le même ensemble de quantités de référence du panier $q^b$ est également un indice de Lowe (6.9).^Note  Cette propriété est utile, parce qu’elle permet aux statisticiens qui produisent les indices de calculer des mouvements de prix à court terme. Par exemple, la variation des prix entre les périodes $t-1$ et $t$ peut être estimée en prenant le rapport de deux indices des prix de Lowe à long terme, l’un comparant les périodes $0$ et $t-1$, et l’autre, les périodes $0$ et $t$.

$$I_{Lo,A}^{t-1:t}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^t{q}_i^b}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^{t-1}{q}_i^b}}=\frac{\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^t{q}_i^b}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^0{q}_i^b}}}{\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^{t-1}{q}_i^b}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^0{q}_i^b}}}=\left(\frac{I_{Lo,A}^{0:t}}{I_{Lo,A}^{0:t-1}}\right)\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}(6.9)}$$

où :

$I_{Lo,A}^{t-1:t}$ est l’indice de Lowe à court terme pour la classe agrégée $A$ entre les périodes $t-1$ et $t$;

$I_{Lo,A}^{0:t}$ est l’indice de Lowe à long terme pour la classe agrégée $A$ entre les périodes $0$ et $t$;

$I_{Lo,A}^{0:t-1}$ est l’indice de Lowe à long terme pour la classe agrégée $A$ entre les périodes $0$ et $t-1$.

6.32 La propriété de transitivité de la formule de Lowe permet aussi aux statisticiens qui produisent les indices de calculer la variation des prix à long terme en enchaînant des indices des prix à court terme. Par exemple, un indice de Lowe comparant les prix de la période $t$ aux prix de la période de référence des prix $0$ s’obtient en multipliant l’indice de Lowe qui compare la période t à la période $t-1$ par l’indice de Lowe de la période $t-1$ à la période de référence des prix $0$ (6.10). Le produit des indices mensuels en chaîne donne des résultats identiques à un indice qui compare directement les prix de la période $t$ aux prix de la période de référence des prix $0$.

$$I_{Lo,A}^{0:t}=\underset{I_{Lo,A}^{0:t-1}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^{t-1}{q}_i^b}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^0{q}_i^b}}}{\underbrace{\underset{I_{Lo,A}^{0:1}}{\underbrace{\left[\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^1{q}_i^b}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^0{q}_i^b}}\right]}}\times \underset{I_{Lo,A}^{1:2}}{\underbrace{\left[\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^2{q}_i^b}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^1{q}_i^b}}\right]}}\times \mathrm{....}\times \underset{I_{Lo,A}^{t-3:t-2}}{\underbrace{\left[\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^{t-2}{q}_i^b}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^{t-3}{q}_i^b}}\right]}}\times \underset{I_{Lo,A}^{t-2:t-1}}{\underbrace{\left[\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^{t-1}{q}_i^b}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^{t-2}{q}_i^b}}\right]}}}}\times \underset{I_{Lo,A}^{t-1:t}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\frac{p_i^t}{p_i^{t-1}}\right)s_i^{t-1b}}}{\underbrace{\left[\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^t{q}_i^b}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^{t-1}{q}_i^b}}\right]}}\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}(6.10)}$$

où :

$I_{Lo,A}^{0:t}$ est l’indice de Lowe à long terme pour la classe agrégée A entre les périodes $0$ et $t$;

$I_{Lo,A}^{t-1:t}$ est l’indice de Lowe mensuel à court terme pour l’agrégat $A$;

$s_i^{t-1b}$ est la part des dépenses hybrides de l’agrégat élémentaire $i$, avec les quantités pour la période de référence du panier $b$ exprimée aux prix de la période $t-1$, calculée sous la forme (6.11).

$$s_i^{t-1b}\equiv \frac{p_i^{t-1}{q}_i^b}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i^{t-1}{q}_i^b}}\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}(6.11)}$$.

6.33 Pour toute période donnée $t$, les parts des dépenses hybrides avec actualisation par les prix par rapport à la période $t-1$ sont utilisées pour agréger les indices élémentaires des prix. Puisque les pondérations en dépenses hybrides sont une estimation de la valeur de l’achat des quantités provenant de la période de référence des pondérations b exprimée aux prix de la période $t-1$, elles ne reflètent pas les variations des habitudes d’achat des consommateurs. Leur utilisation est nécessaire afin de respecter le concept de quantités fixes de la formule de Lowe.

6.34 Dans la pratique actuelle de compilation de l’IPC, les parts de dépenses hybrides (6.11) ne sont pas calculées explicitement. On applique plutôt la formule de Lowe équivalente (6.12), où les ratios de prix mensuels $\left(\frac{p_i^t}{p_i^{t-1}}\right)$ multipliés par les pondérations en dépenses hybrides exprimées aux prix de la période $t-1$ sont comparés aux dépenses hybrides exprimées aux prix de la période $0$ afin d’obtenir la variation des prix entre les périodes $0$ et $t$.

$$I_{Lo,A}^{0:t}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\frac{p_i^t}{p_i^{t-1}}\right)\left(p_i^{t-1}{q}_i^b\right)}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(p_i^0{q}_i^b\right)}}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\frac{p_i^t}{p_i^{t-1}}\right)\left(\frac{p_i^{t-1}}{p_i^0}\right)}\left(p_i^0{q}_i^b\right)}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(p_i^0{q}_i^b\right)}}.\text{\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}(6.12)}$$

6.35 Malgré tous les avantages pratiques de l’utilisation de la formule de Lowe pour le calcul de niveau supérieur de l’IPC, il s’agit d’un indice des prix pondéré asymétriquement, ce qui signifie que les pondérations utilisées pour agréger les indices élémentaires des prix font référence à une période qui précède le mois de référence des prix. Par conséquent, la formule de Lowe ne représente pas les habitudes de dépenses courantes des consommateurs et est donc sujette à un biais de substitution.^Note