Estimation linéaire optimale dans un échantillonnage à deux phases
Section 2. Plan d’échantillonnage à deux phases : structure et notation

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Soit $U=\left\{\mathrm{1,}\dots ,k\mathrm{,}\dots ,N\right\}$ une population finie de $N$ unités. Un échantillon de la première phase $s_1$ de taille $n_1$ est tiré de la population $U,$ au moyen d’un plan de sondage qui définit la probabilité d’inclusion ${\pi }_{1k}=P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\in s_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour l’unité $k\in U$ et la probabilité d’inclusion conjointe ${\pi }_{1kl}=P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{,}l\in s_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour les unités $k\mathrm{,}l\in U.$ Ensuite, un échantillon de la deuxième phase $s_2$ de taille $n_2$ est tiré de $s_1$ au moyen d’un plan de sondage qui définit la probabilité d’inclusion conditionnelle ${\pi }_{2k}=P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\in s_2|s_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour $k\in s_1,$ et la probabilité d’inclusion conditionnelle conjointe ${\pi }_{2kl}=P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{,}l\in s_2|s_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour les unités $k\mathrm{,}l\in s_1.$ En supposant que ${\pi }_{1k}>0$ pour tous les $k\in U$ et ${\pi }_{2k}>0$ pour tous les $k\in s_1,$ le poids de sondage de la première phase pour $k\in s_1$ est $w_{1k}=1/{\pi }_{1k},$ le poids de sondage conditionnel de la deuxième phase pour $k\in s_2$ est $w_{2k}=1/{\pi }_{2k},$ et le poids de sondage global pour $k\in s_2$ est $w_k=w_{1k}{w}_{2k}.$

Le type standard de variables auxiliaires dans un échantillonnage à deux phases (voir, par exemple, Särndal et coll. (1992)) comporte un vecteur de variables auxiliaires $x,$ partitionné comme étant $x=\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1^{\prime }\mathrm{,}{x_2^{\prime }}_{}{)}^{\prime }$  par $p$ et $q$ de ses composantes, avec un total de population $t_x={\displaystyle {\sum }_U}{x}_k$ et un total connu $t_{x_1}={\displaystyle {\sum }_U}{x}_{1k}$ de $x_1.$ La valeur $x_k$ est observée pour chaque unité $k\in s_1,$ alors que pour un vecteur à $d$ dimensions de variables cibles $y,$ avec un total $t_y={\displaystyle {\sum }_U}{y}_k,$ la valeur $y_k$ est observée seulement pour les unités $k\in s_2.$ Dans certaines enquêtes, les composantes du vecteur $x_2$ sont aussi des variables cibles. Un estimateur sans biais du total $t_y,$ l’estimateur commun de Horvitz-Thompson (HT), donné par ${\tilde{t}}_y={\displaystyle {\sum }_{s_2}}{w}_k{y}_k,$ est obtenu au moyen de l’échantillon de la deuxième phase $s_2,$ tandis que deux estimateurs de HT du total $t_x,$ donnés par ${\widehat{t}}_x={\displaystyle {\sum }_{s_1}}{w}_{1k}{x}_k$ et ${\tilde{t}}_x={\displaystyle {\sum }_{s_2}}{w}_k{x}_k,$ sont obtenus respectivement au moyen des échantillons $s_1$ et $s_2.$ Dans le calcul des résultats comprenant ces estimateurs, nous utilisons la notation de vecteur ${\tilde{t}}_y=Y_2^{\prime }w,$ ${\widehat{t}}_x=X_1^{\prime }{w}_1,$  ${\tilde{t}}_x=X_2^{\prime }w,$  ${\widehat{t}}_{x_1}=X_{11}^{\prime }{w}_1,$  où $w_1$ et $w$ désignent les vecteurs des poids de sondage pour les échantillons $s_1$ et $s_2,$ respectivement, $X_1$ et $X_{11}$ désignent les matrices de l’échantillon $s_1$ de $x$ et $x_1$ de dimensions $n_1\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p+q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et $n_1\times p,$ respectivement, et $Y_2,$ $X_2$ désignent les matrices de l’échantillon $s_2$ de $y$ et $x$ de dimensions $n_2\times d$ et $n_2\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p+q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

La principale cible de l’estimation est le total $t_y.$ Cependant, pour mieux comprendre la construction des estimateurs proposés, et puisque les composantes du vecteur $x_2$ peuvent également être des variables cibles, nous adopterons une approche unifiée pour estimer à la fois $t_y$ et $t_x.$

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