Inférence bayésienne pour les données multinomiales issues de petits domaines et intégrant l’incertitude sur la restriction d’ordre
Section 6. Conclusion

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Le modèle multinomial de Dirichlet comportant des restrictions d’ordre mixte constitue une extension de $M_2.$ Il augmente la robustesse et la souplesse grâce à son incertitude. Nous avons également montré la façon d’obtenir des échantillons du modèle comportant une restriction d’ordre mixte. Dans notre application et notre simulation, nous trouvons que, avec l’incertitude, le modèle multinomial de Dirichlet comportant des restrictions d’ordre mixte peut s’avérer le meilleur modèle pour tous les cas ayant une unimodalité variée et inconnue. Dans la plupart des cas, nous ne pourrions pas connaître la restriction d’ordre unimodal, même si nous croyons qu’elle existe. Il est nécessaire d’introduire l’incertitude dans le modèle. Nous remarquons aussi qu’en raison de sa complexité, il est difficile de calculer sa vraisemblance marginale. Nous montrons une méthode pour estimer les probabilités a posteriori de l’emplacement du mode, qui est $P\left(L_{\text{pos}}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{ℓ}|n\right).$ Il y a toutefois un compromis entre la précision et l’efficacité.

Cependant, comme le montrent les figures 4.2 et 4.3, la même restriction d’ordre unimodal pour tous les comtés peut rester forte malgré l’incertitude. Certains comtés ont plus de personnes se situant dans le niveau d’IMC normal, et certains comtés ont plus de personnes dans le niveau d’IMC en surpoids. Nandram et Sedransk (1995) et Nandram, Sedransk et Smith (1997) ont présenté une bonne discussion sur la restriction d’ordre unimodal dans une population stratifiée. À l’aide de l’incertitude, ils ont effectué des inférences sur la proportion d’entreprises et de poissons appartenant à chacune des multiples catégories lorsqu’il existe des relations d’ordre unimodal entre les proportions. Dans le présent article, les hyperparamètres sont précisés et il n’existe aucun problème d’estimation sur petits domaines; notre problème est beaucoup plus difficile même si nous envisageons une structure de modèle d’incertitude similaire.

Dans la section 4.2.2, le modèle comportant des restrictions d’ordre fixe constitue un meilleur modèle pour les données de l’IMC en raison de sa plus grande PVML. Cependant, sans aucun contexte, assumer la position modale est risqué et peut entraîner une inférence erronée. Le modèle multinomial de Dirichlet comportant des restrictions d’ordre, et incorporant l’incertitude, peut réduire le risque et est plus robuste. Dans la simulation, le modèle $M_2$ est le meilleur modèle pour les données IMC simulées. Le modèle $M_4$ montre une meilleure cohérence pour les données d’IMC simulées et les données d’IMC réelles.

L’ensemble définitif de données relatives à l’IMC pour la présente étude repose uniquement sur les 35 plus grands comtés ayant une population d’au moins 500 000 habitants pour des catégories d’âge sélectionnées par sexe (hommes, femmes) et par race (personnes blanches non hispaniques, personnes noires non hispaniques, personnes hispaniques, autres). Nous pouvons facilement appliquer notre méthode aux petits domaines formés par la race, l’âge et le sexe, comme les données sur l’IMC des hommes hispaniques. Mais les cellules des tables multinomiales deviendront clairsemées. Nous pouvons éliminer certains comtés qui deviennent petits ou nous pouvons en combiner certains. Cependant, en raison des structures des modèles multinomiaux de Dirichlet comportant des restrictions d’ordre, nous ne pouvons pas ajouter la race, l’âge et le sexe comme covariables dans le modèle.

Puisque les données relatives à l’IMC proviennent de l’échantillonnage de l’enquête et que les personnes sont sélectionnées avec des probabilités différentes, il nous faut tenir compte des poids d’enquête. Il est également possible d’inclure les poids d’enquête dans notre modèle. Laissons $W_{ig}$ correspondre au poids d’enquête, ce qui équivaut à la taille de la population dans chaque comté, $i=\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}\text{ℓ},$ à l’indice de l’échantillon $g\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{n}_i$ et à l’indice des cellules $j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}K.$ Yang (2021) a fourni les poids ajustés suivants :

$${\omega }_{ig}\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_i\frac{W_{ig}}{{\displaystyle {\sum }_{g=1}^{n_i}{W}_{ig}}},$$

et ${\displaystyle {\sum }_{g\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{n_i}{\omega }_{ig}}\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_{i\mathrm{.}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{n}_{ij}}.$ Yang (2021) a utilisé des distributions de vraisemblance pondérées pour un modèle multinomial unique; voir également Nandram, Choi et Liu (2021). Yang (2021) a découvert qu’il existe une très petite différence entre la probabilité pondérée normalisée et non normalisée.

Nous pouvons transformer les données de l’IMC en utilisant les poids ajustés en comptes ajustés. Laissons $I_{igj}$ correspondre à l’indicateur de catégorie d’IMC pour la personne $g$ dans le comté $i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}\text{ℓ}$ à la cellule $j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}K.$ Nous définissons $I_{igj}\mathrm{<mo>=</mo>}0$ ou 1 avec ${\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K{I}_{igj}}=1,$ par exemple, si une personne répond dans la cellule $j,$ une valeur « 1 » est déclarée, et toutes les autres cellules ont des valeurs « 0 ». Pour simplifier, nous pouvons avoir la distribution conjointe a posteriori pondérée non normalisée sous la forme suivante :

$$\begin{array}{ll}\pi \left(\theta \mathrm{,}\mu \mathrm{,}\tau \mathrm{,}p\mathrm{,}\varphi |n\right)\hfill & \propto {\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{\text{ℓ}}\{\frac{\left({\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K{\displaystyle {\sum }_{g\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{n_i}{I}_{igj}{\omega }_{ig}}}\right)!}{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K\left({\displaystyle {\sum }_{g\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{n_i}{I}_{igj}{\omega }_{ig}}\right)}\mathrm{<mo>!</mo>}}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{{\displaystyle {\sum }_{g=1}^{n_i}{I}_{igj}{w}_{ig}}}}}\hfill \\ \hfill & \left[p_i{\displaystyle \frac{\text{Dirichlet}\left(\mu \tau \right)}{{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}\text{Dirichlet}\left(\mu \tau \right)d{\theta }_i}}}{\displaystyle \frac{\left(K-1\right)!}{{\left(1+\tau \right)}^2}}+\left(1-p_i\right)\text{Dirichlet}\left(1,\dots ,1\right)\right]\hfill \\ \hfill & {}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{}}}}}}}}{\displaystyle \frac{p_i^{\varphi {\tau }_0-1}{\left(1-p_i\right)}^{\left(1-\varphi \right){\tau }_0-1}}{B\left(\varphi {\tau }_0\mathrm{,}\left(1-\varphi \right){\tau }_0\right)}}\}.\hfill \end{array}$$

Nos approches peuvent être appliquées directement aux comptes ajustés.

Il est possible d’assouplir quelque peu la restriction de l’ordre unimodal. Il est possible de restreindre la position du mode sans aucun ordre à sa gauche ou à sa droite; nous pouvons toujours avoir le mode à 2 ou 3 pour les données de l’IMC pour fournir un modèle comportant une incertitude sur la position modale. Cela peut être fait dans le même esprit que celui de nos travaux actuels.

Nous remarquons que la même structure unimodale pour tous les comtés n’est pas respectée. L’emprunt de renseignements dans ces domaines peut avoir un effet négatif sur l’inférence du modèle. Neuenschwander, Wandel, Roychoudhury et Bailey (2016) ont présenté une approche différente pour augmenter la robustesse du modèle dans la mise au point de médicaments. Ils ont proposé l’approche échangeabilité non-échangeabilité (EXNEX) pour réduire le risque d’un rétrécissement trop important et d’un emprunt excessif pour les strates extrêmes. Nous pouvons emprunter leur approche pour accroître la robustesse de notre modèle statistique. Nous pensons toutefois qu’il est très difficile de faire des inférences en utilisant le modèle multinomial de Dirichlet comportant une valeur a priori EXNEX, puisque la complexité du modèle augmente considérablement.

Annexe

A.1   Échantillonneur de Gibbs pour $\mu$ et $\tau$ dans $M_2$ et $M_3$

Nous présentons l’échantillonneur de Gibbs à grille, un algorithme de la méthode de Monte Carlo par chaîne de Markov (MCMC), pour $\mu$ avec la restriction d’ordre et $\tau .$

Liu et Sabatti (2000) ont présenté une discussion complète de l’échantillonneur général de Gibbs, qui est une MCMC plus efficace pour l’inférence bayésienne. Ils ont étudié son lien avec la méthode Monte Carlo multigrille et son utilisation pour concevoir des échantillonneurs plus efficaces. L’échantillonneur de Gibbs peut être plus efficace dans notre modèle hiérarchique. Nous utilisons donc l’échantillonneur de Gibbs pour générer les échantillons a posteriori pour l’inférence bayésienne.

Nous présentons l’échantillonneur de Gibbs modifié pour $\mu \in C_{\mu }$ et $\tau .$ La densité a posteriori conjointe est :

$$\pi \left(\theta \mathrm{,}\mu \mathrm{,}\tau |n\right)\propto {\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^I\left\{\frac{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{n_{ij}+{\mu }_j\tau -1}{I}_C{I}_{C_{\mu }}}}{D\left(\mu \tau \right)C\left(\mu \tau \right)}\right\}\frac{1_{}}{{\left(1+\tau \right)}^2},}$$

où

$$C\left(\mu \tau \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}\frac{\Gamma \left({\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\mu }_j\tau }\right)}{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K\Gamma \left({\mu }_j\tau \right)}}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{{\mu }_j\tau -1}d{\theta }_i}}\mathrm{.}$$

Il n’existe pas de distribution conditionnelle reconnaissable de $\mu$ et $\tau$ pour créer des échantillons. Nous utilisons donc la méthode de la grille pour établir $\mu$ ainsi que $\tau$ à partir de $\pi \left(\mu \mathrm{,}\tau |n\right)$ après une intégration par rapport à $\theta ,$ nous obtenons :

$$\begin{array}{ll}\pi \left(\mu \mathrm{,}\tau |n\right)\hfill & \propto {\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^I\left\{\frac{D\left(\mu \tau +n_i\right)C\left(\mu \tau +n_i\right)}{D\left(\mu \tau \right)C\left(\mu \tau \right)}\right\}}{\displaystyle \frac{I_{C_{\mu }}}{{\left(1+\tau \right)}^2}}\hfill \\ \hfill & \propto {\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^I\left\{\frac{{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{{\mu }_j\tau +n_{ij}-1}d{\theta }_i}}}{{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{{\mu }_j\tau -1}d{\theta }_i}}}\right\}}{\displaystyle \frac{I_{C_{\mu }}}{{\left(1+\tau \right)}^2}}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Chen et Shao (1997) ont mentionné que l’échantillonnage par importance pouvait être utilisé pour estimer le rapport :

$$\frac{{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{{\mu }_j\tau +n_{ij}-1}d{\theta }_i}}}{{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{{\mu }_j\tau -1}d{\theta }_i}}}.$$

Nous considérons Dirichlet $\left(r{\overline{n}}_j\right)$ comme notre fonction d’importance de tous les comtés, où $r$ est un rapport ajustable et où

$${\overline{n}}_j\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^I{n}_{ij}}}{I}.$$

Il combine des renseignements. Comme notre fonction d’importance ne dépend pas des inconnues $\mu$ et $\tau ,$ nous pouvons créer un seul ensemble de nombres pour toutes les itérations. Dans notre exemple numérique, il a été prouvé qu’il s’agit d’un moyen efficace de générer des échantillons a posteriori.

Étapes de l’échantillonneur Gibbs :

1.    Établissons $\tau$ à partir de $\pi \left(\tau |\mu ,n\right);$
2.    Pour $j$ de $m-1$ à 1, établissons ${\mu }_j$ à partir de $\pi \left({\mu }_j|{\mu }^{\left(-j\right)}\mathrm{,}\tau \mathrm{,}n\right),$ où

   $$0<{\mu }_j<\min \left\{{\mu }_{j+1}\mathrm{,}\frac{1-{\displaystyle {\sum }_{t\mathrm{<mo>=</mo>1,}t\ne m\mathrm{,}t\ne j}^K{\mu }_t}}{2}\right\};$$

3.    Pour $j$ de $m+1$ à $K,$ établissons ${\mu }_j$ à partir de $\pi \left({\mu }_j|{\mu }^{\left(-j\right)}\mathrm{,}\tau \mathrm{,}n\right),$ où

   $$0<{\mu }_j<\min \left\{{\mu }_{j-1}\mathrm{,}\frac{1-{\displaystyle {\sum }_{t\mathrm{<mo>=</mo>1,}t\ne m\mathrm{,}t\ne j}^K{\mu }_t}}{2}\right\};$$

4.    Obtenons ${\mu }_m\mathrm{<mo>=</mo>}1-{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1,}j\ne m}^K{\mu }_j},$ répétons l’étape 1 à l’étape 4 jusqu’à convergence,

   $${\mu }^{\left(-j\right)}=\left({\mu }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\mu }_{j-1}\mathrm{,}{\mu }_{j+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\mu }_K\right).$$

A.2   Échantillonnage $\theta$ dans $M_2$ et $M_3$

L’aspect a posteriori de $\theta$ a une distribution reconnaissable, soit la distribution de Dirichlet comportant la restriction d’ordre. Au lieu de tirer des échantillons directement de la distribution de Dirichlet comportant la restriction d’ordre, Chen et Nandram (2019) présentent un échantillonnage direct à partir de distributions Gamma tronquées, où Nadarajah et Kotz (2006) ont proposé une méthode pour les Gamma tronqués.

Désignons $\beta \mathrm{<mo>=</mo>}\left({\beta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\beta }_K\right),$ si $0\le {\theta }_1\le {\theta }_2\le \dots \le {\theta }_m\ge \dots \ge {\theta }_K$ et le mode est ${\theta }_m,$ alors nous supposons $0\le {\beta }_1\le {\beta }_2\le \dots \le {\beta }_m\ge \dots \ge {\beta }_K,$ le mode est ${\beta }_m.$

Étapes de l’échantillonnage de $\theta$ à partir de Dirichlet $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\alpha }_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}:$

1.    Établissons ${\beta }_m~\text{Gamma}\left({\alpha }_m\mathrm{,}1\right),$ où $0\le {\beta }_m<\infty ;$
2.    Établissons à partir de ${\beta }_{m-1}$ jusqu’à ${\beta }_1,$

   ${\beta }_{m-1}~$ Gamma tronqué $\left({\alpha }_{m-1}\mathrm{,}1\right),$ où $0\le {\beta }_{m-1}\le {\beta }_m,$

   $\dots$

   ${\beta }_1~$ Gamma tronqué $\left({\alpha }_1\mathrm{,}1\right),$ où $0\le {\beta }_1\le {\beta }_2;$

3.    Établissons à partir de ${\beta }_{m+1}$ jusqu’à ${\beta }_K,$

   ${\beta }_{m+1}~$ Gamma tronqué $\left({\alpha }_{m+1}\mathrm{,}1\right),$ où $0\le {\beta }_{m+1}\le {\beta }_m,$

   $\dots$

   ${\beta }_K~$ Gamma tronqué $\left({\alpha }_K\mathrm{,}1\right),$ où $0\le {\beta }_K\le {\beta }_{K-1}.$

Alors,

$${\theta }_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\beta }_1}{{\beta }_1+{\beta }_2+\dots +{\beta }_K}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_{K-1}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\beta }_{K-1}}{{\beta }_1+{\beta }_2+\dots +{\beta }_K}\mathrm{,}{\theta }_K\mathrm{<mo>=</mo>}1-{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{K-1}{\theta }_i}\mathrm{.}$$

A.3   Diagnostics bayésiens de $M_2,$ $M_3,$ et $M_4$

Comme la seule différence entre $M_2$ et $M_3$ est l’hypothèse de restriction d’ordre et que les OPC de $M_2$ et $M_3$ sont similaires, nous ne présentons ici que l’OPC de $M_2,$

                 $$\begin{array}{ll}{\widehat{\text{OPC}}}_{i \left(M_2\right)}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\left[{\displaystyle \frac{1}{M}}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>1}}^M\frac{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{n}_{ij}!}}{n_{i\mathrm{.}}\mathrm{<mo>!</mo>}}}{\displaystyle \frac{D\left({\mu }^{(h)}{\tau }^{(h)}\right)C\left({\mu }^{(h)}{\tau }^{(h)}\right)}{D\left(n_i+{\mu }^{(h)}{\tau }^{(h)}\right)C\left(n_i+{\mu }^{(h)}{\tau }^{(h)}\right)}}\right]}^{-1}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\left[{\displaystyle \frac{1}{M}}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>1}}^M\frac{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{n}_{ij}!}}{n_{i\mathrm{.}}\mathrm{<mo>!</mo>}}}{\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{{\mu }_{(h)}{\tau }_{(h)}-1}d{\theta }_i}}}{{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{n_{ij}+{\mu }_{(h)}{\tau }_{(h)}-1}d{\theta }_i}}}}\right]}^{-1}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\left[{\displaystyle \frac{1}{M}}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>1}}^M\frac{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{n}_{ij}!}}{n_{i\mathrm{.}}\mathrm{<mo>!</mo>}}}{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}\frac{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{{\mu }_{(h)}{\tau }_{(h)}-1}}}{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{n_{ij}+{\mu }_{(h)}{\tau }_{(h)}-1}}}\frac{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{n_{ij}+{\mu }_{(h)}{\tau }_{(h)}-1}}}{{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{n_{ij}+{\mu }_{(h)}{\tau }_{(h)}-1}}}}d{\theta }_i}\right]}^{-1}\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où

$$\frac{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{n_{ij}+{\mu }_{(h)}{\tau }_{(h)}-1}}}{{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{n_{ij}+{\mu }_{(h)}{\tau }_{(h)}-1}d{\theta }_i}}}$$

est la fonction de densité de ${\theta }_i,$ et ${\theta }_i\in C.$

Nous remarquons que ${\mu }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ et ${\tau }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ sont les échantillons a posteriori de la section 7.2. Pour chaque paire de ${\mu }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ et ${\tau }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}},$ nous pouvons établir ${\theta }_i$ à partir de $\left(n_i+{\mu }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>}}{\tau }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>}}\right)$ de Dirichlet,

  $${\widehat{\text{OPC}}}_{i\left(M_2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left[{\displaystyle \frac{1}{M}}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>}1}^M\frac{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{n}_{ij}!\mathrm{}}}{n_{i\mathrm{.}\mathrm{<mo>!</mo>}}}}\left({\displaystyle \frac{1}{M^{\prime }}}{\displaystyle \sum _{h^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{M^{\prime }}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K{\theta }_{ij}^{{\left(h^{\prime }\right)}^{-n_{ij}}}}}\right)\right]}^{-1}\mathrm{,}$$

où ${\theta }_i^{\left(h^{\prime }\right)}~\text{Dirichlet}\left(n_i+{\mu }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\tau }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)$ comportant une restriction d’ordre. Nous obtenons alors la PVML comme $\widehat{\text{PVML}} \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^I\text{log}}\left({\widehat{\text{OPC}}}_i\right)$ .

Cependant, il n’est pas facile de calculer directement ${\text{OPC}}_i$  ou ${\widehat{\text{OPC}}}_i$  Nous présentons la façon d’utiliser les OPC connues, telles que ${\text{OPC}}_{i\left(M_2\right)}$ et ${\text{OPC}}_{i\left(M_3\right)},$  pour calculer ${\text{OPC}}_{i\left(M_4\right)},$

$$ OPC i   ( M 4 )     =     f   ( n i   |   n ( i ) )     =     ( f   ( n ( i ) ) f   ( n ) ) − 1                                                     = [ ∑ ℓ = 1 K   P   ( L = ℓ )   ∫ ∫   f   ( n ( i )   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ )   f   ( μ ,   τ   |   L = ℓ )     d   μ   d τ                                             f   ( n )                       ] − 1                                                     = [ ∑ ℓ = 1 K   P   ( L = ℓ )   ∫ ∫ f   ( n ( i )   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ )   f   ( μ ,   τ   |   L = ℓ )   f   ( n )         d   μ   d τ ]                       − 1                                                   = [ ∑ ℓ = 1 K   P   ( L = ℓ )   ∫ ∫ f   ( n i   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ )   f   ( n ( i )   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ ) f   ( μ ,   τ   |   L = ℓ )     f   ( n i   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ )   f   ( n )                   d   μ   d τ ]                         − 1                                                   = [ ∑ ℓ = 1 K   P   ( L = ℓ )   ∫ ∫ f   ( n   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ )     f   ( μ ,   τ   |   L = ℓ )   f   ( n i   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ )   f   ( n )           d   μ   d τ ]                         − 1                                                   = [ ∑ ℓ = 1 K   P   ( L = ℓ )   ∫ ∫                                   f   ( n   |   L   =   ℓ )                                               f   ( n i   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ )   f   ( n )         f   ( n   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ )   f   ( μ ,   τ   |   L = ℓ )   f   ( n   |   L   =   ℓ )             d   μ   d τ ]                         − 1                                                   = [ ∑ ℓ = 1 K   P   ( L = ℓ )   f   ( n   |   L   =   ℓ )                                                 f   ( n )                               ∫ ∫   1 f   ( n i   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ )         f   ( n   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ )   f   ( μ ,   τ   |   L = ℓ )   f   ( n   |   L   =   ℓ )             d   μ   d τ ]                         − 1                                                   = [ ∑ ℓ = 1 K   P   ( L = ℓ ) f   ( n   |   L   =   ℓ )                                   ∑ ℓ = 1 K   P   ( L = ℓ )   f   ( n   |   ℓ )               ∫ ∫   1 f   ( n i   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ )         f     ( μ ,   τ   |   n ,   L =   ℓ )     d   μ   d τ ] − 1                                                   = [ ∑ ℓ = 1 K   P   ( L = ℓ   | n )   ∫ ∫ 1 f   ( n i   |   μ ,   τ ,   L   =   ℓ )             f     ( μ ,   τ   |   n ,   L   =   ℓ )     d   μ   d τ ]                                               − 1 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8rrps0l bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9q8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa caGaaeqabaGabiWadaaakeaafaqaaeqcbaaaaaqaaiaaboeacaqGqb Gaae4tamaaBaaaleaacaWGPbGaaGPaVlaacIcacaWGnbWaaSbaaWqa aiaaisdaaeqaaSGaaiykaaqabaGccaaMe8UaaGjbVlaai2dacaaMe8 UaaGjbVlaadAgacaaMe8UaaiikamaaeiqabaGaamOBamaaBaaaleaa 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puis ${\widehat{\text{OPC}}}_{i \left(M_4\right)}\approx {\left[{\displaystyle {\sum }_{\text{ℓ}\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{K}P}\left(\widehat{L=\text{ℓ}} \text{|} n\right)\frac{1}{{\widehat{\text{OPC}}}_{i \left(L_{\text{pos}}=\text{ℓ}\right)}}\right]}^{-1},$ où ${\widehat{\text{OPC}}}_{i \left(L_{\text{pos}}=\text{ℓ}\right)}$  sont connus, comme ${\widehat{\text{OPC}}}_{i \left(M_2\right)}$  et ${\widehat{\text{OPC}}}_{i \left(M_3\right)}$ . Sans calcul supplémentaire, en profitant des OPC connues de $M_2$ et $M_3,$ nous pouvons facilement obtenir l’OPC de $M_4.$

A.4   Sommaire a posteriori de $\theta$