Inférence bayésienne pour les données multinomiales issues de petits domaines et intégrant l’incertitude sur la restriction d’ordre
Section 2. Modèle multinomial hiérarchique de Dirichlet

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Dans la section qui suit, nous passons brièvement en revue le modèle multinominal de Dirichlet et de ses extensions avec la restriction d’ordre. Pour étudier l’association entre la densité minérale osseuse et l’indice de masse corporelle (IMC) de plusieurs comtés américains, Nandram, Kim et Zhou (2019) ont fourni une analyse claire du modèle général multinomial hiérarchique de Dirichlet et de la méthodologie qu’ils ont adoptée pour l’estimation sur petits domaines. Soit $n_{ij}$  correspondant à la fréquence par cellule, qui renvoie aux nombres dans chaque catégorie $j$  pour chaque domaine $i,$   ${\theta }_{ij}$  sont les probabilités dans les cellules correspondantes, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}I,$   $j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}K,$  et le nombre total pour chaque domaine $i$  est $n_{i\mathrm{.}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^K{n}_{ij}}.$  Le modèle général multinomial hiérarchique de Dirichlet est :

$$n_i|{\theta }_i\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle ~}}\text{Multinomial}\left(n_{i.},{\theta }_i\right),n_i\mathrm{<mo>=</mo>}\left(n_{i1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{n}_{iK}\right)\mathrm{,}$$

$${\theta }_i|\mu ,\tau \stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle ~}}\text{Dirichlet}\left(\mu \tau \right)\mathrm{,}{\theta }_i\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\theta }_{i1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_{ik}\right)\mathrm{,}$$

$$\pi \left(\mu \mathrm{,}\tau \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\left(K-1\right)!}{{\left(1+\tau \right)}^2}\mathrm{,}$$

où les hyperparamètres $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}\left({\mu }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\mu }_K\right),$ ${\mu }_j>\mathrm{0,}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K{\mu }_j\mathrm{<mo>=</mo>}1}\mathrm{,}\tau >0.$

Ils suggèrent la distribution a priori non informative, laquelle sera facile à paramétrer de nouveau. Sans aucune donnée a priori, ils estiment que $\mu$ et $\tau$ sont indépendants, $E\left({\theta }_{ij}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_j,$ ${\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K{\mu }_j\mathrm{<mo>=</mo>}1}.$ En guise d’interprétation des hyperparamètres, $\mu$ est lié aux moyennes des cellules et $\tau$ est lié à une taille d’échantillon a priori. Ce modèle comprend une stratification et des hyperparamètres permettant de regrouper les données de différentes strates.

Ce modèle multinomial hiérarchique de Dirichlet est un point de départ pratique pour l’estimation sur petits domaines. Pour des raisons de commodité, nous le désignons par le modèle $M_1$ pour les analyses à venir.

2.1 Modèle multinomial hiérarchique de Dirichlet comportant des restrictions d’ordre

Chen et Nandram (2019) intègrent la restriction d’ordre dans le modèle multinomial hiérarchique bayésien de Dirichlet. Laissons $n_{ij}$ correspondre à la fréquence par cellule, ${\theta }_{ij}$ les probabilités de fréquence par cellule correspondantes, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}I,$ $j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}K,$ $n_{i.}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K{n}_{ij}}$ et supposons que la position modale de ${\theta }_i$ est ${\theta }_{im}\mathrm{,}1\le m\le K.$

Plus précisément, ils supposent

$$n_i|{\theta }_i\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle ~}}\text{Multinomial}\left(n_{i.},{\theta }_i\right)\mathrm{,}{\theta }_i\in C\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}I\mathrm{,}$$

où $C\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{{\theta }_i\mathrm{<mo>:</mo>}{\theta }_{i1}\le \dots \le {\theta }_{im}\ge \dots \ge {\theta }_{iK}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}I\right\},$ et supposent que la position modale de $m$ dans $C$ est connue.

Dans un deuxième temps, ils supposent

$${\theta }_i|\mu ,\tau \stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle ~}}\text{Dirichlet}\left(\mu \tau \right)\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}I\mathrm{,}$$

$$\pi \left(\mu \mathrm{,}\tau \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{K\left(m-1\right)!\mathrm{}\left(K-m\right)!\mathrm{}}{{\left(1+\tau \right)}^2}\mathrm{,}{\mu }_j>\mathrm{0,}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^K{\mu }_j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}\mathrm{,}\mu \in C_{\mu }\mathrm{.}$$

Puisque $E\left({\theta }_{ij}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_j,$ $\mu$ devrait avoir la même restriction d’ordre que ${\theta }_i,$ qui est $\mu \in C_{\mu },$

$$C_{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mu \mathrm{<mo>:</mo>}{\mu }_1\le \dots \le {\mu }_m\ge \dots \ge {\mu }_K\right\}\mathrm{,}$$

et nous supposons que la position modale $m$ dans $C_{\mu }$ est connue.

Distribution a posteriori ${\theta }_i|\mu \mathrm{,}\tau \mathrm{,}{n}_i\stackrel{\text{ind}}{{\displaystyle ~}}\text{Dirichlet}\left(n_i+\mu \tau \right),$   ${\theta }_i\in C_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}I,$ où

$$f_{{\theta }_i|\mu \mathrm{,}\tau \mathrm{,}n}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\frac{\Gamma \left[{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K\left(n_{ij}+{\mu }_j\tau \right)}\right]}{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K\Gamma \left(n_{ij}+{\mu }_j\tau \right)}}{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K{\theta }_{ij}^{n_{ij}+{\mu }_j\tau -1}}}{C\left(n_i+\mu \tau \right)}\mathrm{,}$$

où

$$C\left(n_i+\mu \tau \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}\frac{\Gamma \left[{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K\left(n_{ij}+{\mu }_j\tau \right)}\right]}{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^K\Gamma \left(n_{ij}+{\mu }_j\tau \right)}}}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^K{\theta }_{ij}^{n_{ij}+{\mu }_j\tau -1}d{\theta }_i}\mathrm{.}$$

Dans notre application de données sur l’IMC, il existe cinq catégories d’IMC. Nous nous intéressons uniquement au niveau d’IMC normal et en surpoids. Nous utilisons le modèle $M_2$ qui vise à représenter le modèle comportant des restrictions d’ordre, et sa position modale est la deuxième, qui correspond à un poids normal. Le modèle $M_3$ représente le modèle comportant des restrictions d’ordre, et sa position modale est la troisième, ce qui correspond à un surpoids. $M_2$ et $M_3$ sont le même modèle multinomial hiérarchique de Dirichlet, mais comportant des restrictions d’ordre différentes.

La densité a posteriori conjointe de $M_2$ ou $M_3$ est la suivante :

$$\pi \left(\theta \mathrm{,}\mu \mathrm{,}\tau |n\right)\propto {\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^I\left\{{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{n_{ij}}\frac{1}{D\left(\mu \tau \right)C\left(\mu \tau \right)}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{\theta }_{ij}^{{\mu }_j\tau -1}}}\right\}}\frac{K\left(m-1\right)!\mathrm{}\left(K-m\right)!\mathrm{}}{{\left(1+\tau \right)}^2}\mathrm{,}$$

où

$$D\left(\mu \tau \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K\Gamma \left({\mu }_j\tau \right)}}{\Gamma \left({\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K{\mu }_j\tau }\right)}$$

est la constante de normalisation de la distribution de Dirichlet,

$$C\left(\mu \tau \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{\theta }_i\in C}\frac{\Gamma \left({\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K{\mu }_j\tau }\right)}{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K\Gamma \left({\mu }_j\tau \right)}}}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^K{\theta }_{ij}^{{\mu }_j\tau -1}d{\theta }_i}\mathrm{,}$$

est la constante de normalisation de la distribution de Dirichlet tronquée, $\theta \in C\mathrm{,}\mu \in C_{\mu }.$

Nandram (1998) a montré la façon de générer des échantillons à partir du modèle $M_1.$ En fait, en utilisant l’échantillonneur de Gibbs à grille, on peut le faire plus facilement que la méthode de Nandram (1998). Chen et Nandram (2019) présentent des méthodes d’échantillonnage pour $\mu$ et $\theta$ comportant des restrictions d’ordre à partir de la distribution conjointe a posteriori du modèle $M_2$ et $M_3,$ comme dans l’annexe A.1 et l’annexe A.2.

Gelfand, Dey et Chang (1992) ont utilisé des distributions prédictives pour aborder les questions d’adéquation et de sélection des modèles. Ils ont proposé l’ordonnée prédictive conditionnelle (OPC) pour la détermination du modèle. L’OPC est basée sur une validation croisée avec retrait d’un élément. L’OPC estime la probabilité d’observer $n_i$ dans le futur si, après avoir déjà observé $n_{\left(i\right)},$ la somme de l’OPC logarithmique est un estimateur de la vraisemblance marginale logarithmique. Le « meilleur » modèle parmi les modèles concurrents présente la pseudo-vraisemblance marginale logarithmique (PVML) le plus important.

Chen et Nandram (2021) ont présenté une méthode pour calculer l’OPC et le PVML comme critères de sélection de modèles bayésiens. Dans l’annexe A.3, nous avons amélioré l’estimation en intégrant la restriction d’ordre $\theta ;$ l’OPC estimée de $M_2$ et $M_3$ sont les suivants :

                                   ${\widehat{\text{OPC}}}_{i\left(M_2\text{ ou }{M}_3\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left[{\displaystyle \frac{1}{M}}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>1}}^M\frac{{\displaystyle {\prod }_{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^K{n}_{ij}!}}{n_{i\cdot }\mathrm{<mo>!</mo>}}}\left({\displaystyle \frac{1}{M^{\prime }}}{\displaystyle \sum _{h^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{M^{\prime }}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^K{\theta }_{ij}^{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-n_{ij}}}}}\right)\right]}^{-1}\mathrm{,}$

où ${\theta }_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}~\text{Dirichlet}\left(n_i+{\mu }^{\left(\text{}h\text{}\right)}{\tau }^{\left(\text{}h\text{}\right)}\right)$ comporte la restriction d’ordre, ${\mu }^{\left(\text{}h\text{}\right)}$ et ${\tau }^{\left(\text{}h\text{}\right)}$ sont les échantillons a posteriori de la densité a posteriori conjointe.

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