Élaboration d’un système d’estimation sur petits domaines à Statistique Canada

Section 7. Conclusion

Les utilisateurs des données des ONS demandent souvent une plus grande précision pour répondre à leurs besoins de planification et de recherche sur les politiques. Les ONS ne peuvent plus se contenter d’augmenter la taille des échantillons de leurs enquêtes pour obtenir des estimations fiables au niveau de détail demandé. Les raisons à cela comprennent les coûts élevés de cette démarche, les préoccupations relatives au fardeau de réponse, ainsi que la difficulté d’obtenir des réponses des unités échantillonnées. Comme solution de rechange, de nombreux ONS envisagent d’utiliser des techniques d’estimation sur petits domaines qui permettent de répondre à la demande de données plus détaillées. C’est dans cet esprit que Statistique Canada a commencé à mettre au point un système de production des EPD au début des années 2000 et qu’il dispose maintenant d’un tel système pour ses programmes statistiques. Le système de production traite des modèles au niveau du domaine et de l’unité, qui offrent de nombreuses options, comme les différentes méthodes permettant d’estimer les composantes de la variance, les divers modèles de lien et les méthodes d’estimation EBLUP et HB. Il sert actuellement à produire des estimations expérimentales pour plusieurs programmes statistiques de Statistique Canada et les premières estimations sur petits domaines devraient être diffusées en 2019.

Comme nous l’avons mentionné dans l’introduction, le seul logiciel existant en 2006 qui pouvait donner des estimations sur petits domaines et leurs erreurs quadratiques moyennes associées a été commandité par le projet EURAREA (2004). L’actuel système de production mis au point à Statistique Canada est rédigé en SAS, sa méthodologie suit de près Rao (2003) et comprend certaines percées récentes. À l’heure actuelle, il remplit les exigences en matière d’estimation sur petits domaines à Statistique Canada. Toutefois, à mesure que l’utilisation d’estimations sur petits domaines deviendra plus courante à Statistique Canada, il faudra ajouter des fonctionnalités au système pour répondre à cette demande. L’ouvrage récent de Rao et Molina (2015) donne une idée de l’ampleur de l’évolution des estimations sur petits domaines au cours des dernières années. Il faudrait énormément de temps pour intégrer tous ces progrès dans le système de production, cela coûterait cher et ne s’appliquerait peut-être pas directement aux besoins de Statistique Canada. Il faut donc envisager d’autres options que la programmation de ces nouvelles fonctionnalités dans l’actuel système de production en SAS. Une option consisterait à étudier de quelle manière des progiciels conçus ailleurs, comme ceux rédigés en R , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuaiaacY caaaa@377E@ pourraient y être intégrés. Parmi les progiciels rédigés en R, mentionnons sae (Molina et Marhuenda, 2015), mme (Lopez-Vizcaino, Lombardia et Morales, 2014), saery (Esteban, Morales et Perez, 2014) et sae2 (Fay et Diallo, 2015). Ces progiciels comprennent des procédures sur petits domaines qui ne figurent pas dans le système actuel, comme des modèles linéaires mixtes multinomiaux, des modèles au niveau du domaine avec des effets temporels et des modèles au niveau du domaine en série chronologique soutenant des applications univariées et multivariées. Puisque le système de production actuel en SAS répond aux besoins de Statistique Canada à ce stade-ci, il n’y a pas de plans concrets pour y ajouter des fonctionnalités.

Remerciements

Nous tenons à remercier les examinateurs pour leurs commentaires et suggestions qui ont permis d’améliorer le présent document.

Annexe

Justification du coefficient de détermination

Afin de déterminer un coefficient de détermination associé au modèle de lien, θ i = z i T β + b i v i , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiUde3aaS baaSqaaiaadMgaaeqaaOGaeyypa0JaaCOEamaaDaaaleaacaWGPbaa baGaamivaaaakiaahk7acqGHRaWkcaWGIbWaaSbaaSqaaiaadMgaae qaaOGaamODamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaacYcaaaa@43D2@ nous l’avons d’abord récrit comme suit :

θ ˜ i = z ˜ i T β + v i , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqiUdeNbaG aadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccqGH9aqpceWH6bGbaGaadaqhaaWc baGaamyAaaqaaiaadsfaaaGccaWHYoGaey4kaSIaamODamaaBaaale aacaWGPbaabeaakiaacYcaaaa@41E4@

θ ˜ i = θ i / b i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqiUdeNbaG aadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccqGH9aqpdaWcgaqaaiabeI7aXnaa BaaaleaacaWGPbaabeaaaOqaaiaadkgadaWgaaWcbaGaamyAaaqaba aaaaaa@3ED7@ et z ˜ i = z i / b i . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCOEayaaia WaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaeyypa0ZaaSGbaeaacaWH6bWaaSba aSqaaiaadMgaaeqaaaGcbaGaamOyamaaBaaaleaacaWGPbaabeaaaa GccaGGUaaaaa@3E2D@ Nous supposons qu’une ordonnée à l’origine est implicitement ou explicitement comprise dans z ˜ i ; MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpiea0xc9LqFf0d c9qqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0xXdbbf9Ve0db9WqpeeaY=brpue9 Fve9Fre8meaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaaceWH6bGbaG aadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaGG7aaaaa@3879@ c’est-à-dire qu’il existe un vecteur λ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaC4Udaaa@373E@ de telle sorte que λ T z ˜ i = 1. MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaC4UdmaaCa aaleqabaGaamivaaaakiqahQhagaacamaaBaaaleaacaWGPbaabeaa kiabg2da9iaaigdacaGGUaaaaa@3CF7@ En d’autres termes, nous supposons qu’il existe un vecteur λ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaC4Udaaa@373E@ de telle sorte que b i = λ T z i . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOyamaaBa aaleaacaWGPbaabeaakiabg2da9iaahU7adaahaaWcbeqaaiaadsfa aaGccaWH6bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiOlaaaa@3E38@ Si θ ˜ i , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqiUdeNbaG aadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaGGSaaaaa@3990@ i = 1 , , m , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyAaiabg2 da9iaaigdacaGGSaGaaGjbVlablAciljaacYcacaaMe8UaamyBaiaa cYcaaaa@3FE4@ étaient connus, nous pourrions estimer le vecteur inconnu des paramètres du modèle β MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCOSdaaa@3735@ à l’aide de l’estimateur par les moindres carrés :

β ^ * = ( i = 1 m z ˜ i z ˜ i T ) 1 i = 1 m z ˜ i θ ˜ i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCOSdyaaja WaaSbaaSqaaiaacQcaaeqaaOGaeyypa0ZaaeWaaeaadaaeWbqaaiqa hQhagaacamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiqahQhagaacamaaDaaale aacaWGPbaabaGaamivaaaaaeaacaWGPbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaa d2gaa0GaeyyeIuoaaOGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaeyOeI0 IaaGymaaaakmaaqahabaGabCOEayaaiaWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqa aOGafqiUdeNbaGaadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaaabaGaamyAaiabg2 da9iaaigdaaeaacaWGTbaaniabggHiLdaaaa@52A1@

et la variance inconnue du modèle σ v 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4Wdm3aa0 baaSqaaiaadAhaaeaacaaIYaaaaaaa@399E@ à l’aide de l’estimateur sans biais :

σ ^ v * 2 = i = 1 m ( θ ˜ i z ˜ i T β ^ * ) 2 m q . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafq4WdmNbaK aadaqhaaWcbaGaamODaiaacQcaaeaacaaIYaaaaOGaeyypa0ZaaSaa aeaadaaeWaqaamaabmaabaGafqiUdeNbaGaadaWgaaWcbaGaamyAaa qabaGccqGHsislceWH6bGbaGaadaqhaaWcbaGaamyAaaqaaiaadsfa aaGcceWHYoGbaKaadaWgaaWcbaGaaiOkaaqabaaakiaawIcacaGLPa aadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaabaGaamyAaiabg2da9iaaigdaaeaa caWGTbaaniabggHiLdaakeaacaWGTbGaeyOeI0IaamyCaaaacaGGUa aaaa@502E@

Le coefficient de détermination ajusté bien connu est :

R idéal 2 = 1 σ ^ v * 2 ( m 1 ) 1 i = 1 m ( θ ˜ i θ ˜ ¯ ) 2 , ( A .1 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuamaaDa aaleaacaqGPbGaaeizaiaabMoacaqGHbGaaeiBaaqaaiaaikdaaaGc cqGH9aqpcaaIXaGaeyOeI0YaaSaaaeaacuaHdpWCgaqcamaaDaaale aacaWG2bGaaiOkaaqaaiaaikdaaaaakeaadaqadaqaaiaad2gacqGH sislcaaIXaaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXa aaaOWaaabmaeaadaqadeqaaiqbeI7aXzaaiaWaaSbaaSqaaiaadMga aeqaaOGaeyOeI0IafqiUdeNbaGGbaebaaiaawIcacaGLPaaadaahaa WcbeqaaiaaikdaaaaabaGaamyAaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGTbaa niabggHiLdaaaOGaaiilaiaaywW7caaMf8UaaGzbVlaaywW7caaMf8 UaaiikaiaabgeacaqGUaGaaGymaiaacMcaaaa@63C7@

θ ˜ ¯ = m 1 i = 1 m θ ˜ i . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqiUdeNbaG GbaebacqGH9aqpcaWGTbWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaaaOWa aabmaeaacuaH4oqCgaacamaaBaaaleaacaWGPbaabeaaaeaacaWGPb Gaeyypa0JaaGymaaqaaiaad2gaa0GaeyyeIuoakiaac6caaaa@44DD@ Il s’agit d’un coefficient de détermination idéal parce qu’il ne peut pas être calculé (étant donné que θ ˜ i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqiUdeNbaG aadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaaaaa@38D6@ est inconnu), mais c’est la cible que nous aimerions estimer. Le simple fait de remplacer θ i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiUde3aaS baaSqaaiaadMgaaeqaaaaa@38C7@ par θ ^ i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqiUdeNbaK aadaqhaaWcbaGaamyAaaqaaaaaaaa@38D8@ ne règle pas le problème puisque θ ^ i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqiUdeNbaK aadaqhaaWcbaGaamyAaaqaaaaaaaa@38D8@ représente le modèle combiné et non simplement le modèle de lien. Le coefficient de détermination ainsi obtenu serait habituellement trop petit. Pour obtenir une meilleure estimation de R idéal 2 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuamaaDa aaleaacaqGPbGaaeizaiaabMoacaqGHbGaaeiBaaqaaiaaikdaaaGc caGGSaaaaa@3D83@ nous devons d’abord décomposer i = 1 m ( θ ˜ i θ ˜ ¯ ) 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabmaeaada qadeqaaiqbeI7aXzaaiaWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaeyOeI0Ia fqiUdeNbaGGbaebaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaaikdaaa aabaGaamyAaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGTbaaniabggHiLdaaaa@43B4@ comme ceci :

i = 1 m ( θ ˜ i θ ˜ ¯ ) 2 = i = 1 m ( θ ˜ i z ˜ i T β ^ * ) 2 + i = 1 m ( z ˜ i T β ^ * θ ˜ ¯ ) 2 + 2 i = 1 m ( θ ˜ i z ˜ i T β ^ * ) ( z ˜ i T β ^ * θ ˜ ¯ ) . ( A .2 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaada qadaqaaiqbeI7aXzaaiaWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaeyOeI0Ia fqiUdeNbaGGbaebaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaaikdaaa aabaGaamyAaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGTbaaniabggHiLdGccqGH 9aqpdaaeWbqaamaabmaabaGafqiUdeNbaGaadaWgaaWcbaGaamyAaa qabaGccqGHsislceWH6bGbaGaadaqhaaWcbaGaamyAaaqaaiaadsfa aaGcceWHYoGbaKaadaWgaaWcbaGaaiOkaaqabaaakiaawIcacaGLPa aadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaabaGaamyAaiabg2da9iaaigdaaeaa caWGTbaaniabggHiLdGccqGHRaWkdaaeWbqaamaabmaabaGabCOEay aaiaWaa0baaSqaaiaadMgaaeaacaWGubaaaOGabCOSdyaajaWaaSba aSqaaiaacQcaaeqaaOGaeyOeI0IafqiUdeNbaGGbaebaaiaawIcaca GLPaaadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaabaGaamyAaiabg2da9iaaigda aeaacaWGTbaaniabggHiLdGccqGHRaWkcaaIYaWaaabCaeaadaqada qaaiqbeI7aXzaaiaWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaeyOeI0IabCOE ayaaiaWaa0baaSqaaiaadMgaaeaacaWGubaaaOGabCOSdyaajaWaaS baaSqaaiaacQcaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaeWaaeaaceWH6bGb aGaadaqhaaWcbaGaamyAaaqaaiaadsfaaaGcceWHYoGbaKaadaWgaa WcbaGaaiOkaaqabaGccqGHsislcuaH4oqCgaacgaqeaaGaayjkaiaa wMcaaaWcbaGaamyAaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGTbaaniabggHiLd GccaGGUaGaaGzbVlaaywW7caGGOaGaaeyqaiaab6cacaaIYaGaaiyk aaaa@8AC7@

En supposant qu’une ordonnée à l’origine est implicitement ou explicitement comprise dans z ˜ i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpiea0xc9LqFf0d c9qqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0xXdbbf9Ve0db9WqpeeaY=brpue9 Fve9Fre8meaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaaceWH6bGbaG aadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaaaaa@37B0@ et à partir de l’expression de β ^ * , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCOSdyaaja WaaSbaaSqaaiaacQcaaeqaaOGaaiilaaaa@38D9@ nous obtenons ceci :

i = 1 m ( θ ˜ i z ˜ i T β ^ * ) z ˜ i = 0 ( A .3 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaada qadaqaaiqbeI7aXzaaiaWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaeyOeI0Ia bCOEayaaiaWaa0baaSqaaiaadMgaaeaacaWGubaaaOGabCOSdyaaja WaaSbaaSqaaiaacQcaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaGabCOEayaaiaWa aSbaaSqaaiaadMgaaeqaaaqaaiaadMgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaam yBaaqdcqGHris5aOGaeyypa0JaaCimaiaaywW7caaMf8UaaGzbVlaa ywW7caaMf8UaaiikaiaabgeacaqGUaGaaG4maiaacMcaaaa@55B5@

et

i = 1 m ( θ ˜ i z ˜ i T β ^ * ) = 0. ( A .4 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaada qadaqaaiqbeI7aXzaaiaWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaeyOeI0Ia bCOEayaaiaWaa0baaSqaaiaadMgaaeaacaWGubaaaOGabCOSdyaaja WaaSbaaSqaaiaacQcaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaaaleaacaWGPbGa eyypa0JaaGymaaqaaiaad2gaa0GaeyyeIuoakiabg2da9iaaicdaca GGUaGaaGzbVlaaywW7caaMf8UaaGzbVlaaywW7caGGOaGaaeyqaiaa b6cacaaI0aGaaiykaaaa@5448@

En utilisant (A.4), nous pouvons récrire θ ˜ ¯ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqiUdeNbaG Gbaebaaaa@37D3@ sous la forme de θ ˜ ¯ = z ˜ ¯ T β ^ * , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqiUdeNbaG GbaebacqGH9aqpceWH6bGbaGGbaebadaahaaWcbeqaaiaadsfaaaGc ceWHYoGbaKaadaWgaaWcbaGaaiOkaaqabaGccaGGSaaaaa@3DF4@ z ˜ ¯ = m 1 i = 1 m z ˜ i . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCOEayaaiy aaraGaeyypa0JaamyBamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGymaaaakmaa qadabaGabCOEayaaiaWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaaqaaiaadMgacq GH9aqpcaaIXaaabaGaamyBaaqdcqGHris5aOGaaiOlaaaa@4377@ Par conséquent, le terme du produit croisé sous (A.2) s’estompe et l’équation (A.2) est ramenée à celle-ci :

i=1 m ( θ ˜ i θ ˜ ¯ ) 2 = i=1 m ( θ ˜ i z ˜ i T β ^ * ) 2 + i=1 m ( z ˜ i T β ^ * z ˜ ¯ T β ^ * ) 2 = ( mq ) σ ^ v* 2 +( m1 ) S 2 ( β ^ * ), (A.5) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeaabiWaaa qaamaaqahabaWaaeWaaeaacuaH4oqCgaacamaaBaaaleaacaWGPbaa beaakiabgkHiTiqbeI7aXzaaiyaaraaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaS qabeaacaaIYaaaaaqaaiaadMgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamyBaaqd cqGHris5aaGcbaGaeyypa0dabaWaaabCaeaadaqadaqaaiqbeI7aXz aaiaWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaeyOeI0IabCOEayaaiaWaa0ba aSqaaiaadMgaaeaacaWGubaaaOGabCOSdyaajaWaaSbaaSqaaiaacQ caaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaqaaiaa dMgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamyBaaqdcqGHris5aOGaey4kaSYaaa bCaeaadaqadaqaaiqahQhagaacamaaDaaaleaacaWGPbaabaGaamiv aaaakiqahk7agaqcamaaBaaaleaacaGGQaaabeaakiabgkHiTiqahQ hagaacgaqeamaaCaaaleqabaGaamivaaaakiqahk7agaqcamaaBaaa leaacaGGQaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaa aaaeaacaWGPbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaad2gaa0GaeyyeIuoaaOqa aaqaaiabg2da9aqaamaabmaabaGaamyBaiabgkHiTiaadghaaiaawI cacaGLPaaacuaHdpWCgaqcamaaDaaaleaacaWG2bGaaiOkaaqaaiaa ikdaaaGccqGHRaWkdaqadaqaaiaad2gacqGHsislcaaIXaaacaGLOa GaayzkaaGaam4uamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakmaabmaabaGabCOS dyaajaWaaSbaaSqaaiaacQcaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaGaaiilaa aacaaMf8UaaGzbVlaaywW7caaMf8UaaGzbVlaacIcacaqGbbGaaeOl aiaaiwdacaGGPaaaaa@8AB1@

S 2 ( β ^ * ) = i = 1 m ( z ˜ i T β ^ * z ˜ ¯ T β ^ * ) 2 m 1 . ( A .6 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uamaaCa aaleqabaGaaGOmaaaakmaabmaabaGabCOSdyaajaWaaSbaaSqaaiaa cQcaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyypa0ZaaSaaaeaadaaeWaqaam aabmaabaGabCOEayaaiaWaa0baaSqaaiaadMgaaeaacaWGubaaaOGa bCOSdyaajaWaaSbaaSqaaiaacQcaaeqaaOGaeyOeI0IabCOEayaaiy aaraWaaWbaaSqabeaacaWGubaaaOGabCOSdyaajaWaaSbaaSqaaiaa cQcaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaqaai aadMgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamyBaaqdcqGHris5aaGcbaGaamyB aiabgkHiTiaaigdaaaGaaiOlaiaaywW7caaMf8UaaGzbVlaaywW7ca aMf8UaaiikaiaabgeacaqGUaGaaGOnaiaacMcaaaa@5DE0@

Selon (A.5), il s’ensuit que nous pouvons récrire le coefficient de détermination idéal (A.1) comme ceci :

R idéal 2 = 1 σ ^ v * 2 ( m q ) ( m 1 ) σ ^ v * 2 + S 2 ( β ^ * ) f ( β ^ * , σ ^ v * 2 ) . ( A .7 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuamaaDa aaleaacaqGPbGaaeizaiaabMoacaqGHbGaaeiBaaqaaiaaikdaaaGc cqGH9aqpcaaIXaGaeyOeI0YaaSaaaeaacuaHdpWCgaqcamaaDaaale aacaWG2bGaaiOkaaqaaiaaikdaaaaakeaadaWcaaqaamaabmaabaGa amyBaiabgkHiTiaadghaaiaawIcacaGLPaaaaeaadaqadaqaaiaad2 gacqGHsislcaaIXaaacaGLOaGaayzkaaaaaiqbeo8aZzaajaWaa0ba aSqaaiaadAhacaGGQaaabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaadofadaahaa WcbeqaaiaaikdaaaGcdaqadaqaaiqahk7agaqcamaaBaaaleaacaGG QaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaaaacqGHHjIUcaWGMbGaaiikaiqahk 7agaqcamaaBaaaleaacaGGQaaabeaakiaacYcacaaMe8Uafq4WdmNb aKaadaqhaaWcbaGaamODaiaacQcaaeaacaaIYaaaaOGaaiykaiaac6 cacaaMf8UaaGzbVlaaywW7caaMf8UaaGzbVlaacIcacaqGbbGaaeOl aiaaiEdacaGGPaaaaa@7059@

Les seules quantités inconnues dans (A.7) sont β ^ * MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCOSdyaaja WaaSbaaSqaaiaacQcaaeqaaaaa@381F@ et σ ^ v * 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafq4WdmNbaK aadaqhaaWcbaGaamODaiaacQcaaeaacaaIYaaaaOGaaiOlaaaa@3B18@ Nous pouvons donc obtenir un coefficient de détermination calculable en remplaçant β ^ * MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCOSdyaaja WaaSbaaSqaaiaacQcaaeqaaaaa@381F@ et σ ^ v * 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafq4WdmNbaK aadaqhaaWcbaGaamODaiaacQcaaeaacaaIYaaaaaaa@3A5C@ dans (A.7) par β ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCOSdyaaja aaaa@3745@ et σ ^ v 2 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafq4WdmNbaK aadaqhaaWcbaGaamODaaqaaiaaikdaaaGccaGGSaaaaa@3A68@ les estimateurs convergents de β MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCOSdaaa@3735@ et σ v 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4Wdm3aa0 baaSqaaiaadAhaaeaacaaIYaaaaaaa@399E@ mis en œuvre dans le système de l’EPD et décrits dans la section 3. Le coefficient de détermination ainsi obtenu peut s’exprimer comme R 2 = f ( β ^ , σ ^ v 2 ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuamaaCa aaleqabaGaaGOmaaaakiabg2da9iaadAgadaqadaqaaiqahk7agaqc aiaacYcacaaMe8Uafq4WdmNbaKaadaqhaaWcbaGaamODaaqaaiaaik daaaaakiaawIcacaGLPaaacaGGSaaaaa@4337@ avec la fonction f ( , ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzamaabm aabaGaeyyXICTaaiilaiabgwSixdGaayjkaiaawMcaaaaa@3DAF@ définie dans (A.7), et il est un estimateur convergent du coefficient de détermination idéal R idéal 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuamaaDa aaleaacaqGPbGaaeizaiaabMoacaqGHbGaaeiBaaqaaiaaikdaaaGc caGGUaaaaa@3D85@

Bibliographie

Battese, G.E., Harter, R.M. et Fuller, W.A. (1988). An error-components model for prediction of crop areas using survey and satellite data. Journal of the American Statistical Association, 83, 28-36.

Beaumont, J.-F., et Bocci, C. (2016). Small area estimation in the Labour Force Survey. Document présenté au Comité consultatif des méthodes statistiques, mai 2016, Statistique Canada.

Brackstone, G.J. (1987). Small area data: Policy issues and technical challenges. Dans Small Area Statistics, (Éds., R. Platek, J.N.K. Rao, C.-E. Särndal et M.P. Singh), New York: John Wiley & Sons, Inc., 3-20.

Chib, S., et Greenberg, E. (1995). Understanding the Metropolis-Hastings algorithm. American Statistician, 49, 327-335.

Dick, P. (1995). Modélisation du sous-dénombrement net dans le recensement du Canada de 1991. Techniques d’enquête, 21, 1, 51-61. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/fr/pub/12-001-x/1995001/article/14411-fra.pdf.

Drew, D., Singh, M.P. et Choudhry, G.H. (1982). Évaluation des techniques d’estimation pour les petites régions dans l’Enquête sur la population active au Canada. Techniques d’enquête, 8, 1, 19-52. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/fr/pub/12-001-x/1982001/article/14328-fra.pdf.

Esteban, M.D., Morales, D. et Perez, A. (2014). saery: Small Area Estimation for Rao and Yu Model. URL http://CRAN.R-project.org/package=saery. R package version 1.0.

Estevao, V., Hidiroglou, M.A. et You, Y. (2015). Area Level Model, Unit Level, and Hierarchical Bayes Methodology Specifications. Document interne, Statistique Canada.

EURAREA (2004). Enhancing Small Area Estimation Techniques to meet European Needs. https://cordis.europa.eu/project/rcn/58374_en.html.

Fay, R.E., et Diallo, M. (2015). sae2: Small Area Estimation: Time-Series Models. URL https://CRAN.R-project.org/package=sae2. R package version 0.1-1.

Fay, R.E., et Herriot, R.A. (1979). Estimation of income for small places: An application of James-Stein procedures to Census data. Journal of the American Statistical Association, 74, 269-277.

Fuller, W.A., et Rao, J.N.K. (2001). Un estimateur composite de régression qui s’applique à l’Enquête sur la population active du Canada. Techniques d’enquête, 27, 1, 49-56. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/fr/pub/12-001-x/2001001/article/5853-fra.pdf.

Gambino, J., Kennedy, B. et Singh, M.P. (2001). Estimation composite par regression pour l’Enquête sur la population active du Canada : Évaluation et application. Techniques d’enquête, 27, 1, 69-79. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/pub/12-001-x/2001001/article/5855-fra.pdf.

Gelfand, A.E., et Smith, A.F.M. (1990). Sample-based approaches to calculating marginal densities. Journal of the American Statistical Association, 85, 972-985.

Ghangurde, P.D., et Singh, M.P. (1977). Synthetic estimation in periodic household surveys. Techniques d’enquête, 3, 2, 152-181.

Gonzalez, M.E., et Hoza, C. (1978). Small-area estimation with application to unemployment and housing estimates. Journal of the American Statistical Association, 73, 7-15.

Kott, P. (1989). Estimaton robuste pour petits domaines à l’aide du modèle des effets aléatoires. Techniques d’enquête, 15, 1, 3-13. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/pub/12-001-x/1989001/article/14581-fra.pdf.

Li, H., et Lahiri, P. (2010). Adjusted maximum method in the small area estimation problem. Journal of Multivariate Analysis, 101, 882-892.

Lopez-Vizcaino, E., Lombardia, M.J. et Morales, D. (2014). mme: Multinomial Mixed Effects Models, 2014. URL http://CRAN.R-project.org/package=mme. R package version 0.1-5.

Molina, I. , et Marhuenda, Y. (2015). sae: An R package for small area estimation. The R Journal, 7, 1, 81-98.

Prasad, N.G.N., et Rao, J.N.K. (1990). The estimation of the mean squared error of small-area estimators. Journal of the American Statistical Association, 85, 163-171.

Prasad, N.G.N., et Rao, J.N.K. (1999). Estimation régionale robuste au moyen d’un modèle simple  à effets aléatoires. Techniques d’enquête, 25, 1, 73-79. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/pub/12-001-x/1999001/article/4713-fra.pdf.

Rao, J.N.K. (2003). Small Area Estimation. New York : John Wiley & Sons, Inc.

Rao, J.N.K., et Molina, I. (2015). Small Area Estimation. New York : John Wiley & Sons, Inc.

Rivest, L.-P., et Belmonte, E. (2000). Une erreur quadratique moyenne conditionnelle des estimateurs régionaux. Techniques d’enquête, 26, 1, 79-90. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/pub/12-001-x/2000001/article/5179-fra.pdf.

Rubin-Bleuer, S. (2014). Specifications for EBLUP and Pseudo-EBLUP Estimators with Nonnegligible Sampling Fractions. Document interne, Statistique Canada.

Rubin-Bleuer, S., Jang, L. et Godbout, S. (2016). The Pseudo-EBLUP estimator for a weighted average with an application to the Canadian Survey of Employment, Payrolls and Hours. Journal of Survey Statistics and Methodology, 4, 417-435.

Singh, M.P., et Tessier, R. (1976). Some estimators for domain totals. Journal of the American Statistical Association, 71, 322-325.

Singh, A.C., Kennedy, B. et Wu, S. (2001). Estimation composite par régression pour l’Enquête sur la population active du Canada avec plan de sondage à renouvellement de panel. Techniques d’enquête, 27, 1, 35-48. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/fr/pub/12-001-x/2001001/article/5852-fra.pdf.

Stukel, D., et Rao, J.N.K. (1997). Small-area estimation under two-fold nested error regression model. Journal of Statistical Planning and Inference, 78, 131-147.

Wang, J., et Fuller, W.A. (2003). The mean square error of small area estimators constructed with estimated area variances. Journal of American Statistical Association, 98, 716-723.

Wang, J., Fuller, W.A. et Qu, Y. (2008). Estimation pour petits domaines sous une contrainte. Techniques d’enquête, 34, 1, 33-40. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/pub/12-001-x/2008001/article/10619-fra.pdf.

You, Y., et Rao, J.N.K. (2002). A pseudo empirical best linear unbiased prediction approach to small area estimation using survey weights. The Canadian Journal of Statistics, 30, 431-439.

You, Y., Rao, J.N.K. et Dick, P. (2004). Benchmarking hierarchical Bayes small area estimators in the Canadian census undercoverage estimation. Statistics in Transition, 6, 631-640.

You, Y., Rao, J.N.K. et Hidiroglou, M. (2013). De la performance des estimateurs sur petits domaines autocalés sous le modèle au niveau du domaine de Fay-Herriot. Techniques d’enquête, 39, 1, 243-255. Article accessible à l’adresse https://www150.statcan.gc.ca/n1/pub/12-001-x/2013001/article/11830-fra.pdf.


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