Estimation de quantiles sur petits domaines à l’aide de la régression spline et de la vraisemblance empirique

Section 6. Application empirique

Nous illustrons maintenant les estimateurs proposés à partir de l’ensemble de données de l’Enquête sur la dynamique du travail et du revenu (EDTR) fourni par Statistique Canada (2014) et téléchargé du centre de données de la bibliothèque de l’Université de la Colombie-Britannique. Les données contiennent 147 variables et 47 705 unités d’échantillonnage. Nous remercions Statistique Canada de rendre l’ensemble de données disponible, mais nous ne nous attardons pas à l’objectif initial de l’enquête ici. Nous l’utilisons plutôt comme une superpopulation afin d’étudier l’efficacité de l’estimateur proposé des quantiles sur petits domaines.

Dans cette étude, nous avons isolé 9 des 147 variables. Il s’agit des variables ttin, gender, spouse, edu, âge, yrx, tweek, jobdur et tpaid, qui désignent respectivement : le revenu total, le sexe, si la personne vit avec son conjoint, le plus haut niveau de scolarité, l’âge, les années d’expérience, le nombre de semaines d’emploi, le niveau de scolarité, la durée de l’emploi actuel (en mois) et le nombre total d’heures rémunérées pour cet emploi. Après avoir retiré les unités qui renfermaient des valeurs manquantes dans ces 9 variables et celles où ttin 0 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyizImQaaG imaiaacYcaaaa@3913@ nous avons obtenu un ensemble de données contenant 28 302 unités d’échantillonnage. Les moyennes de puissances des covariables au niveau de la population sont toujours calculées à partir de toutes les observations disponibles. Nous avons créé 28 sous-populations (soit les petits domaines) étiquetées comme 4 ( k 1 ) + i , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGinamaabm aabaGaam4AaiabgkHiTiaaigdaaiaawIcacaGLPaaacqGHRaWkcaWG PbGaaGilaaaa@3D59@ k = 1, 2, , 7, MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4Aaiaai2 dacaaIXaGaaGilaiaaysW7caaIYaGaaGilaiaaysW7cqWIMaYscaaI SaGaaGjbVlaaiEdacaaISaaaaa@4284@ i = 1, 2, 3, 4 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyAaiaai2 dacaaIXaGaaGilaiaaikdacaaISaGaaG4maiaaiYcacaaI0aaaaa@3CBF@ à partir des combinaisons de sexe-conjoint-scolarité. Ici, k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4Aaaaa@36E4@ désigne le niveau de scolarité et i=1, 2, 3, 4 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyAaiaai2 dacaaIXaGaaGilaiaabccacaaIYaGaaGilaiaabccacaaIZaGaaGil aiaabccacaaI0aaaaa@3EA5@ désignent respectivement un homme vivant avec un conjoint ou une conjointe, une femme vivant avec un conjoint ou une conjointe, un homme ne vivant pas avec un conjoint ou une conjointe et une femme ne vivant pas avec un conjoint ou une conjointe. Les niveaux de scolarité sont décrits comme suit.

k L e   p l u s   h a u t   n i v e a u   d e   s c o l a r i t é 1 Pas plus de dix années d’études primaires et secondaires 2 De 11 à 13 années d’études primaires et secondaires  ( sans diplôme ) 3 Diplôme d’études secondaires 4 Quelques études postsecondaires universitaires ou non universitaires, sans certificat 5 Certificat d’études postsecondaires universitaires ou non universitaires inférieur au baccalauréat 6 Baccalauréat 7 Certificat d’études universitaires supérieur au baccalauréat MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeaabGGafa qaeeaacaWHRbaabaGaaCitaiaahwgaqaaaaaaaaaWdbiaabccapaGa aCiCaiaahYgacaWH1bGaaC4Ca8qacaqGGaWdaiaahIgacaWHHbGaaC yDaiaahshapeGaaeiia8aacaWHUbGaaCyAaiaahAhacaWHLbGaaCyy aiaahwhapeGaaeiia8aacaWHKbGaaCyza8qacaqGGaWdaiaahohaca WHJbGaaC4BaiaahYgacaWHHbGaaCOCaiaahMgacaWH0bGaaCy6aaqa aiaaigdaaeaapeGaaeiuaiaabggacaqGZbGaaeiiaiaabchacaqGSb GaaeyDaiaabohacaqGGaGaaeizaiaabwgacaqGGaGaaeizaiaabMga caqG4bGaaeiiaiaabggacaqGUbGaaeOBaiaabMoacaqGLbGaae4Cai aabccacaqGKbGaaeygGiaabMoacaqG0bGaaeyDaiaabsgacaqGLbGa ae4CaiaabccacaqGWbGaaeOCaiaabMgacaqGTbGaaeyyaiaabMgaca qGYbGaaeyzaiaabohacaqGGaGaaeyzaiaabshacaqGGaGaae4Caiaa bwgacaqGJbGaae4Baiaab6gacaqGKbGaaeyyaiaabMgacaqGYbGaae yzaiaabohaa8aabaGaaGOmaaqaa8qacaqGebGaaeyzaiaabccacaqG XaGaaeymaiaabccacaqGGdGaaeiiaiaabgdacaqGZaGaaeiiaiaabg gacaqGUbGaaeOBaiaabMoacaqGLbGaae4CaiaabccacaqGKbGaaeyg GiaabMoacaqG0bGaaeyDaiaabsgacaqGLbGaae4CaiaabccacaqGWb GaaeOCaiaabMgacaqGTbGaaeyyaiaabMgacaqGYbGaaeyzaiaaboha caqGGaGaaeyzaiaabshacaqGGaGaae4CaiaabwgacaqGJbGaae4Bai aab6gacaqGKbGaaeyyaiaabMgacaqGYbGaaeyzaiaabohacaqGGaWd amaabmaabaWdbiaabohacaqGHbGaaeOBaiaabohacaqGGaGaaeizai aabMgacaqGWbGaaeiBaiaabspacaqGTbGaaeyzaaWdaiaawIcacaGL PaaaaeaacaaIZaaabaWdbiaabseacaqGPbGaaeiCaiaabYgacaqG0d GaaeyBaiaabwgacaqGGaGaaeizaiaabMbicaqGPdGaaeiDaiaabwha caqGKbGaaeyzaiaabohacaqGGaGaae4CaiaabwgacaqGJbGaae4Bai aab6gacaqGKbGaaeyyaiaabMgacaqGYbGaaeyzaiaabohaa8aabaGa aGinaaqaa8qacaqGrbGaaeyDaiaabwgacaqGSbGaaeyCaiaabwhaca qGLbGaae4CaiaabccacaqGPdGaaeiDaiaabwhacaqGKbGaaeyzaiaa bohacaqGGaGaaeiCaiaab+gacaqGZbGaaeiDaiaabohacaqGLbGaae 4yaiaab+gacaqGUbGaaeizaiaabggacaqGPbGaaeOCaiaabwgacaqG ZbGaaeiiaiaabwhacaqGUbGaaeyAaiaabAhacaqGLbGaaeOCaiaabo hacaqGPbGaaeiDaiaabggacaqGPbGaaeOCaiaabwgacaqGZbGaaeii aiaab+gacaqG1bGaaeiiaiaab6gacaqGVbGaaeOBaiaabccacaqG1b GaaeOBaiaabMgacaqG2bGaaeyzaiaabkhacaqGZbGaaeyAaiaabsha caqGHbGaaeyAaiaabkhacaqGLbGaae4CaiaabYcacaqGGaGaae4Cai aabggacaqGUbGaae4CaiaabccacaqGJbGaaeyzaiaabkhacaqG0bGa aeyAaiaabAgacaqGPbGaae4yaiaabggacaqG0baapaqaaiaaiwdaae aapeGaae4qaiaabwgacaqGYbGaaeiDaiaabMgacaqGMbGaaeyAaiaa bogacaqGHbGaaeiDaiaabccacaqGKbGaaeygGiaabMoacaqG0bGaae yDaiaabsgacaqGLbGaae4CaiaabccacaqGWbGaae4BaiaabohacaqG 0bGaae4CaiaabwgacaqGJbGaae4Baiaab6gacaqGKbGaaeyyaiaabM gacaqGYbGaaeyzaiaabohacaqGGaGaaeyDaiaab6gacaqGPbGaaeOD aiaabwgacaqGYbGaae4CaiaabMgacaqG0bGaaeyyaiaabMgacaqGYb GaaeyzaiaabohacaqGGaGaae4BaiaabwhacaqGGaGaaeOBaiaab+ga caqGUbGaaeiiaiaabwhacaqGUbGaaeyAaiaabAhacaqGLbGaaeOCai aabohacaqGPbGaaeiDaiaabggacaqGPbGaaeOCaiaabwgacaqGZbGa aeiiaiaabMgacaqGUbGaaeOzaiaabMoacaqGYbGaaeyAaiaabwgaca qG1bGaaeOCaiaabccacaqGHbGaaeyDaiaabccacaqGIbGaaeyyaiaa bogacaqGJbGaaeyyaiaabYgacaqGHbGaaeyDaiaabkhacaqGPdGaae yyaiaabshaa8aabaGaaGOnaaqaa8qacaqGcbGaaeyyaiaabogacaqG JbGaaeyyaiaabYgacaqGHbGaaeyDaiaabkhacaqGPdGaaeyyaiaabs haa8aabaGaaG4naaqaa8qacaqGdbGaaeyzaiaabkhacaqG0bGaaeyA aiaabAgacaqGPbGaae4yaiaabggacaqG0bGaaeiiaiaabsgacaqGza Iaaey6aiaabshacaqG1bGaaeizaiaabwgacaqGZbGaaeiiaiaabwha caqGUbGaaeyAaiaabAhacaqGLbGaaeOCaiaabohacaqGPbGaaeiDai aabggacaqGPbGaaeOCaiaabwgacaqGZbGaaeiiaiaabohacaqG1bGa aeiCaiaabMoacaqGYbGaaeyAaiaabwgacaqG1bGaaeOCaiaabccaca qGHbGaaeyDaiaabccacaqGIbGaaeyyaiaabogacaqGJbGaaeyyaiaa bYgacaqGHbGaaeyDaiaabkhacaqGPdGaaeyyaiaabshaaaaaaa@CCF1@

Nous avons considéré le (ttin) comme la variable de réponse et ajusté les régressions non paramétriques linéaires et additives pour cinq autres variables. Selon toutes les données, le R-carré ajusté pour l’ajustement non paramétrique est 0,482, soit bien supérieur au 0,370 obtenu en ajustant la régression linéaire. Cela donne à penser qu’un modèle mixte non paramétrique est un bon choix. La figure 6.1 montre les courbes ajustées du log(ttin) pour ces deux covariables. Par ailleurs, le R-carré augmente pour s’établir à 0,483, même si le modèle comprend seulement les covariables âge et tpaid, ainsi qu’un effet aléatoire. Ces analyses exploratoires nous incitent à n’utiliser que ces deux covariables dans notre simulation. Nous avons effectué la simulation avec des tailles d’échantillons n = 200 ; 500 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiaai2 dacaaIYaGaaGimaiaaicdacaGG7aGaaGjbVlaaiwdacaaIWaGaaGim aaaa@3E5D@ et 1 000. Pour que les proportions des échantillons dans les petits domaines s’approchent de leur taille, nous supposons que n i = a i + 2, i = 1, , 28 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBamaaBa aaleaacaWGPbaabeaakiaai2dacaWGHbWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqa aOGaey4kaSIaaGOmaiaaiYcacaaMe8UaamyAaiaai2dacaaIXaGaaG ilaiaaysW7cqWIMaYscaaISaGaaGjbVlaaikdacaaI4aGaaiilaaaa @4903@ a i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@37F4@ est généré à partir de la distribution multinomiale où p i = N i / N . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiCamaaBa aaleaacaWGPbaabeaakiaai2dadaWcgaqaaiaad6eadaWgaaWcbaGa amyAaaqabaaakeaacaWGobaaaiaac6caaaa@3C66@

Figure 6.1 Courbes ajustées du log(ttin) pour âge et tpaid

Description de la figure 6.1 

Figure présentant deux graphiques des courbes du log(ttin) pour l’âge et tpaid. Log(ttin) est sur les axes des y, allant de -1,5 à 0,5. Pour le premier graphique, l’âge est sur l’axe des x, allant de moins de 20 ans à 70 ans. Log(ttin) croît fortement quand l’âge augmente, atteint ensuite un plateau un peu au-dessus de 0 d’environ 30 à 60 ans, et se remet ensuite à croître. Pour le deuxième graphique, tpaid est sur l’axe des x, allant de 0 à 5 000. Log(ttin) montre une croissance marquée (jusqu’à une valeur de presque 0,5) de tpaid = 0 jusqu’à environ tpaid = 2 000, avant de décroître ensuite lentement jusqu’à environ log(ttin) = 0.

L’AMSE simulée de 10 estimateurs à partir de 1 000 répétitions est présentée au tableau 6.1. Nous remarquons d’abord que nos estimateurs des VEP donnent de meilleurs résultats que les autres estimateurs, en général, ce qui fait ressortir l’avantage qu’offre notre technique d’estimation sur petits domaines fondée sur un MRD non paramétrique. La VEP1, comparée à VEP2, obtient l’AMSE la plus basse pour les quantiles de 5 %, 25 %, et 50 %, mais une AMSE légèrement plus élevée pour les quantiles de 75 % et 95 %, ce qui démontre que l’hétéroscédasticité des données n’est pas grave. Malgré les estimateurs de VEP, nous constatons que les estimateurs de VEL obtiennent de meilleurs résultats que d’autres estimateurs pour le quantile de 5 % et qu’ils ont un rendement semblable pour les autres quantiles. Quand on augmente la taille de l’échantillon, l’AMSE de tous les estimateurs diminue. De toute évidence, il est difficile d’estimer le quantile de 5 % avec une grande précision parce que les données sont asymétriques vers la gauche; il y a donc peu d’observations pour estimer les quantiles inférieurs. Fait intéressant, VEL1 n’est pas autant touchée par l’asymétrie. Nous sommes d’avis que l’étape (3.7) du lissage par la méthode du noyau est utile ici. Sans l’étape du lissage, VEL1 obtiendrait un bien moins bon résultat. Les simulations non présentées démontrent que l’ABIAS de tous les estimateurs diminue en général à mesure que la taille de l’échantillon augmente, et cela est surtout évident pour l’ED.

Pour vérifier le rendement du premier estimateur proposé, nous utilisons uniquement les données moyennes sur les covariables. Dans la figure 6.2, nous illustrons les quantiles de 2,5 %, 50 %, et 97,5 % de 1 000 estimations médianes sur petits domaines à l’aide de l’ED, de VEL1, VEL2, VEP1, VEP2, lorsque la taille de l’échantillon n = 200 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiaai2 dacaaIYaGaaGimaiaaicdaaaa@39DE@ et les véritables médianes sont indiquées par des points. L’axe des Y représente le revenu total et l’axe des X, le niveau de scolarité. On peut voir que les barres correspondant à VEP2 sont les plus courtes pour la plupart des petits domaines.

Le tableau 6.2 montre les estimations des EQM bootstrap ainsi que les ratios moyens des EQM bootstrap et simulées pour les estimateurs médians des petits domaines, où F ^ i ( a ) ( u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOrayaaja Waa0baaSqaaiaadMgaaeaadaqadaqaaiaadggaaiaawIcacaGLPaaa aaGcdaqadaqaaiaadwhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3CE6@ et F ^ i ( b ) ( u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOrayaaja Waa0baaSqaaiaadMgaaeaadaqadaqaaiaadkgaaiaawIcacaGLPaaa aaGcdaqadaqaaiaadwhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3CE7@ et la taille de l’échantillon n = 200. MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiaai2 dacaaIYaGaaGimaiaaicdacaGGUaaaaa@3A90@ Le nombre de répétitions de simulations est de 500 et la fonction de base q 1 ( u ) = ( 1, u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaaBa aaleaacaaIXaaabeaakmaabmaabaGaamyDaaGaayjkaiaawMcaaiaa i2dadaqadaqaaiaaigdacaaISaGaaGjbVlaadwhaaiaawIcacaGLPa aadaahaaWcbeqaaOGamai2gkdiIcaaaaa@43C1@ et B = 100, L = 100. MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqaiaai2 dacaaIXaGaaGimaiaaicdacaaISaGaaGjbVlaadYeacaaI9aGaaGym aiaaicdacaaIWaGaaiOlaaaa@406D@ Nous pouvons voir que l’estimateur F ^ i ( a ) ( u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOrayaaja Waa0baaSqaaiaadMgaaeaadaqadaqaaiaadggaaiaawIcacaGLPaaa aaGcdaqadaqaaiaadwhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3CE6@ a une EQM plus élevée que F ^ i ( b ) ( u ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOrayaaja Waa0baaSqaaiaadMgaaeaadaqadaqaaiaadkgaaiaawIcacaGLPaaa aaGcdaqadaqaaiaadwhaaiaawIcacaGLPaaacaGGSaaaaa@3D97@ et que la plupart des ratios moyens s’approchent de un.


Tableau 6.1
AMSE des estimateurs de quantiles sur petits domaines à partir de données réelles
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de AMSE des estimateurs de quantiles sur petits domaines à partir de données réelles α MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeqySdegaaa@39C3@ , EB0, EB1, EB2, MQ0, MQ1, MQ2, VEL1, VEL2, VEP1 et VEP2(figurant comme en-tête de colonne).
α MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeqySdegaaa@39C3@ EB0 EB1 EB2 MQ0 MQ1 MQ2 VEL1 VEL2 VEP1 VEP2
n = 200 5 % 0,784 0,769 0,901 0,714 0,763 0,885 0,245 0,421 0,242 0,336
25 % 0,107 0,256 0,488 0,102 0,261 0,467 0,115 0,131 0,097 0,152
50 % 0,080 0,119 0,236 0,064 0,116 0,223 0,076 0,095 0,056 0,102
75 % 0,122 0,100 0,142 0,085 0,102 0,138 0,085 0,076 0,069 0,068
95 % 0,233 0,190 0,280 0,141 0,138 0,266 0,217 0,179 0,117 0,096
n = 500 5 % 0,793 0,603 0,826 0,710 0,579 0,805 0,173 0,345 0,210 0,301
25 % 0,072 0,110 0,207 0,076 0,119 0,197 0,069 0,127 0,063 0,091
50 % 0,049 0,050 0,074 0,036 0,050 0,072 0,053 0,076 0,040 0,043
75 % 0,108 0,044 0,060 0,055 0,046 0,058 0,054 0,047 0,046 0,043
95 % 0,257 0,128 0,152 0,109 0,058 0,148 0,138 0,125 0,086 0,077
n = 1,000 5 % 0,792 0,397 0,542 0,706 0,377 0,528 0,078 0,130 0,095 0,144
25 % 0,054 0,056 0,098 0,066 0,067 0,095 0,041 0,043 0,038 0,056
50 % 0,034 0,026 0,032 0,027 0,026 0,031 0,019 0,028 0,018 0,024
75 % 0,102 0,024 0,030 0,043 0,026 0,030 0,037 0,033 0,019 0,023
95 % 0,270 0,088 0,090 0,095 0,114 0,090 0,074 0,067 0,053 0,057

Tableau 6.2
Estimations des EQM bootstrap et des ratios moyens des EQM estimées et simulées
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Estimations des EQM bootstrap et des ratios moyens des EQM estimées et simulées, Les données sont présentées selon (titres de rangée), F ^ i ( a ) ( u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGabmOrayaaja Waa0baaSqaaiaadMgaaeaadaqadaqaaiaadggaaiaawIcacaGLPaaa aaGcdaqadaqaaiaadwhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3F16@ et F ^ i ( b ) ( u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGabmOrayaaja Waa0baaSqaaiaadMgaaeaadaqadaqaaiaadkgaaiaawIcacaGLPaaa aaGcdaqadaqaaiaadwhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3F17@ (figurant comme en-tête de colonne).
F ^ i ( a ) ( u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGabmOrayaaja Waa0baaSqaaiaadMgaaeaadaqadaqaaiaadggaaiaawIcacaGLPaaa aaGcdaqadaqaaiaadwhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3F16@ F ^ i ( b ) ( u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGabmOrayaaja Waa0baaSqaaiaadMgaaeaadaqadaqaaiaadkgaaiaawIcacaGLPaaa aaGcdaqadaqaaiaadwhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3F17@
5 % 25 % 50 % 75 % 95 % 5 % 25 % 50 % 75 % 95 %
EQM 0,542 0,196 0,117 0,098 0,165 0,204 0,093 0,068 0,062 0,102
Ratio 0,843 0,959 1,014 0,988 0,871 0,969 0,994 1,003 0,996 0,975

Figure 6.2 Les lignes du bas, du milieu et du haut de chaque barre désignent
    les quantiles de 2,5 %, 50 % et 97,5 % de 1 000 estimations
    sur petits domaines du revenu total. Le point dans chaque barre désigne la
    médiane véritable du petit domaine. Cinq barres dans chaque grappe sont formées
    par les estimations de l’ED, de VEL1, VEL2, VEP1 et VEP2. Dans les deux
    graphiques du haut : homme vivant (à gauche) et ne vivant pas (à droite) avec
    un conjoint ou une conjointe; dans les deux graphiques du bas : femme
    vivant (à gauche) et ne vivant pas (à droite) avec un conjoint ou une conjointe.
    Sept grappes dans chaque graphique correspondent à sept niveaux de scolarité

Description de la figure 6.2 

Figure illustrant les quantiles 2,5 %, 50 % et 97,5 % de 1 000 estimations médianes sur petits domaines du revenu total pour cinq estimateurs : ED, VEL1, VEL2, VEP1 et VEP2. Il y a quatre graphiques : homme vivant (a) et ne vivant pas (b) avec un conjoint ou une conjointe et femme vivant (c) et ne vivant pas (d) avec un conjoint ou une conjointe. Le revenu est sur les axes des y allant de 0 à 160 000, de 0 à 150 000, de 0 à un peu plus de 105 000 et de 0 à un peu plus de 115 000 pour les graphiques (a) à (d) respectivement. La scolarité divisée en sept grappes est sur les axes des x. Pour chaque grappe de scolarité, les quantiles obtenus avec les cinq estimateurs ci-dessous sont représentés par une barre verticale. Les lignes du bas, du milieu et du haut de chaque barre désignent les quantiles 2,5 %, 50 % et 97,5 %. La médiane réelle est aussi représentée dans chaque barre. Les barres les plus étendues et les plus hautes correspondent à la grappe de scolarité 7 pour chaque graphique. Pour les graphiques (b) et (d), les barres les plus courtes et les plus basses correspondent à la grappe de scolarité 2. Pour les graphiques (a) et (c), les quantiles de revenu augmentent lorsque la scolarité augmente. Les barres correspondant à VEP2 sont les plus courtes dans la plupart des cas.


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