Estimation de quantiles sur petits domaines à l’aide de la régression spline et de la vraisemblance empirique

Section 5. Simulations de Monte Carlo

Dans la présente section, nous utilisons une simulation pour évaluer le rendement des estimateurs de vraisemblance empirique fondés sur le modèle proposé de régression spline pénalisé (VEP) et leurs estimations de l’EQM. Lorsque seules les moyennes de la population de covariables sont connues, les estimateurs proposés sont comparés uniquement à l’estimateur de la vraisemblance empirique fondé sur le modèle de régression linéaire à erreurs emboîtées (VEL) de Chen et Liu (2018) et à l’estimateur direct (ED). Lorsque les valeurs des covariables sont connues pour toutes les unités d’échantillonnage, la comparaison est élargie afin d’inclure également six estimateurs de Tzavidis et coll. (2010), désignés comme EBLUP/naïve, EBLUP/CD, EBLUP/RKM, M-quantile/naïve, M-quantile/CD et M-quantile/RKM. Ici, EBLUP/CD et M-quantile/CD désignent la EBLUP et l’estimateur de M-quantile s’obtient à partir de la FDC proposée par Chambers et Dunstan (1986), et les estimateurs correspondants fondés sur la FDC proposée par Rao, Kovar et Mantel (1990), désignés comme RKM.

Tout comme Chen et Liu (2018), nous devons choisir q ( u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaabm aabaGaamyDaaGaayjkaiaawMcaaaaa@3974@ dans le MRD. Il y a deux candidats, soit q 1 ( u ) = ( 1, u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaaBa aaleaacaaIXaaabeaakmaabmaabaGaamyDaaGaayjkaiaawMcaaiaa i2dadaqadaqaaiaaigdacaaISaGaaGjbVlaadwhaaiaawIcacaGLPa aadaahaaWcbeqaaOGamai2gkdiIcaaaaa@43C4@ et q 2 ( u ) = ( 1, sign ( u ) | u | ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaaBa aaleaacaaIYaaabeaakmaabmaabaGaamyDaaGaayjkaiaawMcaaiaa i2dadaqadaqaaiaaigdacaaISaGaaGjbVlaabohacaqGPbGaae4zai aab6gadaqadaqaaiaadwhaaiaawIcacaGLPaaadaGcaaqaamaaemaa baGaaGPaVlaadwhacaaMc8oacaGLhWUaayjcSdaaleqaaaGccaGLOa GaayzkaaWaaWbaaSqabeaakiadaITHYaIOaaGaaiOlaaaa@5114@ Selon quelques résultats provisoires de la simulation, q 1 ( u ) = ( 1, u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaaBa aaleaacaaIXaaabeaakmaabmaabaGaamyDaaGaayjkaiaawMcaaiaa i2dadaqadaqaaiaaigdacaaISaGaaGjbVlaadwhaaiaawIcacaGLPa aadaahaaWcbeqaaOGamai2gkdiIcaaaaa@43C4@ fonctionne bien pour le modèle de régression non paramétrique ajusté aux P-splines, mais ce n’est pas le cas de q 2 ( u ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaaBa aaleaacaaIYaaabeaakmaabmaabaGaamyDaaGaayjkaiaawMcaaiaa c6caaaa@3B18@ Le choix de q 2 * ( u ) = ( 1, u , u 2 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaaDa aaleaacaaIYaaabaGaaiOkaaaakmaabmaabaGaamyDaaGaayjkaiaa wMcaaiaai2dadaqadaqaaiaaigdacaaISaGaaGjbVlaadwhacaaISa GaaGjbVlaadwhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakiaawIcacaGLPaaa daahaaWcbeqaaOGamai2gkdiIcaaaaa@48A4@ donne plutôt un rendement concurrentiel. Nous utilisons donc q 1 ( u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaaBa aaleaacaaIXaaabeaakmaabmaabaGaamyDaaGaayjkaiaawMcaaaaa @3A65@ et q 2 * ( u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaaDa aaleaacaaIYaaabaGaaiOkaaaakmaabmaabaGaamyDaaGaayjkaiaa wMcaaaaa@3B15@ dans notre simulation.

Dans le sillage de Rao et coll. (2014) et de Torabi et Shokoohi (2015), nous avons généré des données à partir de trois modèles :

A : y i j = 1 + x i j + v i + ε i j , B : y i j = 1 + x i j + x i j 2 + v i + ε i j , C : y i j = 1 x i j + 0,5 exp ( x i j ) + v i + ε i j . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeaabmGaaa qaaiaabgeacaaMe8UaaiOoaaqaaiaadMhadaWgaaWcbaGaamyAaiaa dQgaaeqaaOGaaGypaiaaigdacqGHRaWkcaWG4bWaaSbaaSqaaiaadM gacaWGQbaabeaakiabgUcaRiaadAhadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGc cqGHRaWkcqaH1oqzdaWgaaWcbaGaamyAaiaadQgaaeqaaOGaaGilaa qaaiaabkeacaaMe8UaaiOoaaqaaiaadMhadaWgaaWcbaGaamyAaiaa dQgaaeqaaOGaaGypaiaaigdacqGHRaWkcaWG4bWaaSbaaSqaaiaadM gacaWGQbaabeaakiabgUcaRiaadIhadaqhaaWcbaGaamyAaiaadQga aeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamODamaaBaaaleaacaWGPbaabeaaki abgUcaRiabew7aLnaaBaaaleaacaWGPbGaamOAaaqabaGccaaISaaa baGaae4qaiaaysW7caGG6aaabaGaamyEamaaBaaaleaacaWGPbGaam OAaaqabaGccaaI9aGaaGymaiabgkHiTiaadIhadaWgaaWcbaGaamyA aiaadQgaaeqaaOGaey4kaSIaaeimaiaabYcacaqG1aGaciyzaiaacI hacaGGWbWaaeWaaeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaadMgacaWGQbaabeaa aOGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRiaadAhadaWgaaWcbaGaamyAaaqaba GccqGHRaWkcqaH1oqzdaWgaaWcbaGaamyAaiaadQgaaeqaaOGaaGOl aaaaaaa@80EC@

Ceux-ci donnent respectivement des fonctions de régressions linéaires, quadratiques et exponentielles. Nous avons établi le nombre de petits domaines à 30 et la taille de la population d’un domaine à N i = 500 ( i + 1 ) , i = 0, 1, , 29. MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOtamaaBa aaleaacaWGPbaabeaakiaai2dacaaI1aGaaGimaiaaicdadaqadaqa aiaadMgacqGHRaWkcaaIXaaacaGLOaGaayzkaaGaaGilaiaaysW7ca WGPbGaaGypaiaaicdacaaISaGaaGjbVlaaigdacaaISaGaaGjbVlab lAciljaaiYcacaaMe8UaaGOmaiaaiMdacaGGUaaaaa@4E85@ Nous avons généré la covariable x i j MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaBa aaleaacaWGPbGaamOAaaqabaaaaa@38FD@ à partir de N ( 0, 1 ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOtamaabm aabaGaaGimaiaaiYcacaaMe8UaaGymaaGaayjkaiaawMcaaiaac6ca aaa@3CBD@ Après avoir généré x i j , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaBa aaleaacaWGPbGaamOAaaqabaGccaGGSaaaaa@39B7@ nous les avons traités comme étant fixes dans la simulation. L’effet aléatoire propre au domaine v i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamODamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@380C@ a été obtenu à partir de N ( 0, 1 ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOtamaabm aabaGaaGimaiaaiYcacaaMe8UaaGymaaGaayjkaiaawMcaaiaacYca aaa@3CBB@ et les erreurs ε i j MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyTdu2aaS baaSqaaiaadMgacaWGQbaabeaaaaa@39A7@ ont été obtenues à partir des quatre distributions suivantes.

( i ) : N ( 0, 1 ) , ( ii ) : t ( 3 ) , ( iii ) :   combinaison   normale   0,5 N ( 1 ; 1 ) + 0,5 N ( 1 ; 1 ) , ( iv ) : N ( 0, σ i 2 ) , σ i U ( 0,5; 2 ) , i = 0, , 29. MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeaabqGaaa aabaWaaeWaaeaacaqGPbaacaGLOaGaayzkaaaabaGaaiOoaiaaysW7 caWGobWaaeWaaeaacaaIWaGaaGilaiaaysW7caaIXaaacaGLOaGaay zkaaGaaGilaaqaamaabmaabaGaaeyAaiaabMgaaiaawIcacaGLPaaa aeaacaGG6aGaaGjbVlaadshadaqadaqaaiaaiodaaiaawIcacaGLPa aacaaISaaabaWaaeWaaeaacaqGPbGaaeyAaiaabMgaaiaawIcacaGL PaaaaeaacaqG6aGaaGjbVlaabogacaqGVbGaaeyBaiaabkgacaqGPb GaaeOBaiaabggacaqGPbGaae4Caiaab+gacaqGUbGaaGjbVlaab6ga caqGVbGaaeOCaiaab2gacaqGHbGaaeiBaiaabwgacaaMe8Uaaeimai aabYcacaqG1aGaamOtamaabmaabaGaeyOeI0IaaGymaiaacUdacaaM e8UaaGymaaGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRiaabcdacaqGSaGaaeynai aad6eadaqadaqaaiaaigdacaGG7aGaaGjbVlaaigdaaiaawIcacaGL PaaacaaISaaabaWaaeWaaeaacaqGPbGaaeODaaGaayjkaiaawMcaaa qaaiaacQdacaaMe8UaamOtamaabmaabaGaaGimaiaaiYcacaaMe8Ua eq4Wdm3aa0baaSqaaiaadMgaaeaacaaIYaaaaaGccaGLOaGaayzkaa GaaGilaiaaysW7caqGVbGaaey+aiaaysW7cqaHdpWCdaWgaaWcbaGa amyAaaqabaqeeuuDJXwAKbsr4rNCHbacfaGccqWF8iIocaWGvbWaae WaaeaacaqGWaGaaeilaiaabwdacaqG7aGaaGjbVlaaikdaaiaawIca caGLPaaacaaISaGaaGjbVlaadMgacaaI9aGaaGimaiaaiYcacaaMe8 UaeSOjGSKaaGilaiaaysW7caaIYaGaaGyoaiaai6caaaaaaa@AA38@

La distribution (ii) a une queue lourde, les distributions (ii) et (iii) sont symétriques, et la distribution (iv) est hétéroscédastique.

Nous avons utilisé R = 1 000 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuaiaai2 dacaqGXaGaaGjbVlaabcdacaqGWaGaaeimaaaa@3BEF@ répétitions dans la simulation et prélevé des échantillons aléatoires de taille n = 500 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiaai2 dacaaI1aGaaGimaiaaicdaaaa@39E4@ sans remplacement de la population à chaque répétition. Pour éviter la possibilité que certains petits domaines comportent trop peu d’unités d’échantillonnage, nous avons pris n 60 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiabgk HiTiaaiAdacaaIWaaaaa@3951@ unités au niveau de la population et affecté deux autres unités à chaque petit domaine. Nous avons utilisé la routine R mgcv pour la méthode REML avec des options par défaut pour les valeurs de p MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiCaaaa@36EC@ et K MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4saaaa@36C7@ lors de l’ajustement de la fonction P-spline (2.4). Nous avons calculé les estimations des quantiles sur petits domaines de 5 %, 25 %, 50 %, 75 % et 95 % désignés comme ED, VEL1, VEL2, VEP1, VEP2, pour l’estimateur direct, les estimateurs de Chen et Liu (2018) et les estimateurs proposés à l’aide de q 1 ( ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaaBa aaleaacaaIXaaabeaakmaabmaabaGaeyyXICnacaGLOaGaayzkaaaa aa@3BB5@ et q 2 ( ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaaBa aaleaacaaIYaaabeaakmaabmaabaGaeyyXICnacaGLOaGaayzkaaGa aiOlaaaa@3C68@ Nous présentons leur erreur quadratique moyenne relative (AMSE) et les biais absolus (ABIAS) qui sont définis comme ceci :

AMSE   =  { R ( m + 1 ) } 1 i = 0 m r = 1 R ( ξ ^ i ( r ) ξ i ( r ) ) 2 , ABIAS = ( m + 1 ) 1 i = 0 m | R 1 r = 1 R ξ ^ i ( r ) R 1 r = 1 R ξ i ( r ) | , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeaabiGaaa qaaiaabgeacaqGnbGaae4uaiaabweaaeaacaaI9aWaaiWaaeaacaWG sbWaaeWaaeaacaWGTbGaey4kaSIaaGymaaGaayjkaiaawMcaaaGaay 5Eaiaaw2haamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGymaaaakmaaqahabeWc baGaamyAaiaai2dacaaIWaaabaGaamyBaaqdcqGHris5aOWaaabCae aadaqadaqaaiqbe67a4zaajaWaa0baaSqaaiaadMgaaeaadaqadaqa aiaadkhaaiaawIcacaGLPaaaaaGccqGHsislcqaH+oaEdaqhaaWcba GaamyAaaqaamaabmaabaGaamOCaaGaayjkaiaawMcaaaaaaOGaayjk aiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeaacaWGYbGaaGypaiaaig daaeaacaWGsbaaniabggHiLdGccaaISaaabaGaaeyqaiaabkeacaqG jbGaaeyqaiaabofaaeaacaaI9aWaaeWaaeaacaWGTbGaey4kaSIaaG ymaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGymaaaakmaa qahabeWcbaGaamyAaiaai2dacaaIWaaabaGaamyBaaqdcqGHris5aO WaaqWaaeaacaaMc8UaamOuamaaCaaaleqabaGaeyOeI0IaaGymaaaa kmaaqahabaGafqOVdGNbaKaadaqhaaWcbaGaamyAaaqaamaabmaaba GaamOCaaGaayjkaiaawMcaaaaaaeaacaWGYbGaaGypaiaaigdaaeaa caWGsbaaniabggHiLdGccqGHsislcaWGsbWaaWbaaSqabeaacqGHsi slcaaIXaaaaOWaaabCaeaacqaH+oaEdaqhaaWcbaGaamyAaaqaamaa bmaabaGaamOCaaGaayjkaiaawMcaaaaaaeaacaWGYbGaaGypaiaaig daaeaacaWGsbaaniabggHiLdGccaaMc8oacaGLhWUaayjcSdGaaGil aaaaaaa@90C1@

ξ ^ i ( r ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqOVdGNbaK aadaqhaaWcbaGaamyAaaqaamaabmaabaGaamOCaaGaayjkaiaawMca aaaaaaa@3B65@ est soit l’une des estimations des quantiles pour le i e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyAamaaCa aaleqabaGaaeyzaaaaaaa@37FA@ petit domaine dans la r e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCamaaCa aaleqabaGaaeyzaaaaaaa@3803@ répétition. Les résultats sous les modèles A, B, et C figurent aux tableaux 5.1 à 5.3, respectivement. La VEP et la VEL sont fondées sur F ^ i ( a ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOrayaaja Waa0baaSqaaiaadMgaaeaadaqadaqaaiaadggaaiaawIcacaGLPaaa aaaaaa@3A5C@ et sa version mirroir dans Chen et Liu (2018).

Sous le modèle A, le modèle linéaire est valide. Par conséquent, nous nous attendons à ce que la VEL soit supérieure. Selon le tableau 5.1, deux méthodes sont similaires pour les quantiles de 25 %, 50 % et 75 %. Les VEL donnent de meilleurs résultats que les VEP pour le quantile de 5 %, tandis que la comparaison est inversée pour le quantile de 95 %. Les VEP et les VEL donnent un meilleur résultat que l’ED pour les quantiles de 25 %, 50 % et 75 % avec des marges importantes. Cela donne l’impression générale que les méthodes proposées fonctionnent toujours de façon satisfaisante.

Sous le modèle B, le modèle linéaire se détériore légèrement. Les résultats du tableau 5.2 montrent que les estimateurs des VEP ont une AMSE plus basse pour les quantiles inférieurs. Les VEL ont toujours une AMSE basse, malgré un ABIAS plus élevé. L’avantage des VEP proposées dans les modèles de régressions non paramétriques à erreurs emboîtées tient dans les quantiles des niveaux du centre. Comme il y a moins d’observations dans les quantiles qui s’approchent des extrémités, il est difficile d’ajuster le modèle non paramétrique.

La linéarité est gravement enfreinte sous le modèle C. La VEL devrait avoir un mauvais rendement et cela est évident dans le tableau 5.3. Parallèlement, les VEP fonctionnent bien pour les quantiles des 25 %, 50 % et 75 %. Le choix de q 2 * ( u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaaDa aaleaacaaIYaaabaGaaiOkaaaakmaabmaabaGaamyDaaGaayjkaiaa wMcaaaaa@3B15@ est aussi utile en général. Pour les quantiles extrêmes, les VEP ne justifient pas les difficultés comparativement à l’ED.


Tableau 5.1
AMSE et ABIAS des estimateurs de quantiles sur petits domaines sous le modèle A
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de AMSE et ABIAS des estimateurs de quantiles sur petits domaines sous le modèle A α MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeqySdegaaa@39C3@ , AMSE et ABIAS(figurant comme en-tête de colonne).
α MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeqySdegaaa@39C3@ AMSE ABIAS
ED VEL1 VEL2 VEP1 VEP2 ED VEL1 VEL2 VEP1 VEP2
Distribution des erreurs (i) 5 % 0,470 0,120 0,142 0,121 0,162 0,346 0,022 0,028 0,024 0,032
25 % 0,219 0,074 0,080 0,074 0,082 0,081 0,006 0,006 0,006 0,006
50 % 0,187 0,067 0,067 0,067 0,068 0,011 0,005 0,005 0,006 0,006
75 % 0,218 0,074 0,079 0,074 0,082 0,081 0,007 0,005 0,008 0,006
95 % 0,470 0,121 0,142 0,123 0,165 0,340 0,024 0,031 0,023 0,033
Distribution des erreurs (ii) 5 % 1,287 0,249 0,786 0,276 1,726 0,352 0,011 0,023 0,011 0,089
25 % 0,297 0,196 0,217 0,178 0,186 0,084 0,022 0,036 0,021 0,031
50 % 0,238 0,187 0,182 0,167 0,154 0,011 0,010 0,010 0,010 0,009
75 % 0,304 0,197 0,233 0,179 0,189 0,081 0,023 0,038 0,023 0,032
95 % 1,344 0,249 1,919 0,319 2,297 0,349 0,013 0,034 0,015 0,100
Distribution des erreurs (iii) 5 % 0,636 0,165 0,199 0,163 0,234 0,408 0,008 0,013 0,008 0,019
25 % 0,340 0,132 0,147 0,133 0,152 0,109 0,010 0,007 0,011 0,008
50 % 0,306 0,128 0,128 0,130 0,132 0,014 0,007 0,007 0,007 0,007
75 % 0,340 0,133 0,151 0,134 0,156 0,108 0,011 0,009 0,012 0,008
95 % 0,651 0,168 0,205 0,166 0,243 0,410 0,010 0,016 0,010 0,022
Distribution des erreurs (iv) 5 % 1,225 2,589 0,787 2,679 0,651 0,504 0,220 0,028 0,222 0,071
25 % 0,574 0,681 0,380 0,652 0,349 0,114 0,174 0,047 0,157 0,017
50 % 0,488 0,273 0,277 0,241 0,291 0,017 0,010 0,010 0,009 0,010
75 % 0,571 0,700 0,383 0,670 0,349 0,121 0,183 0,057 0,166 0,012
95 % 1,251 2,611 0,795 2,709 0,655 0,519 0,207 0,037 0,210 0,082

Tableau 5.2
AMSE et ABIAS des estimateurs de quantiles sur petits domaines sous le modèle B
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de AMSE et ABIAS des estimateurs de quantiles sur petits domaines sous le modèle B α MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeqySdegaaa@39C3@ , AMSE et ABIAS(figurant comme en-tête de colonne).
α MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeqySdegaaa@39C3@ AMSE ABIAS
ED VEL1 VEL2 VEP1 VEP2 ED VEL1 VEL2 VEP1 VEP2
Distribution des erreurs (i) 5 % 0,524 2,998 2,991 0,404 0,439 0,382 1,520 1,502 0,017 0,019
25 % 0,474 0,182 0,183 0,259 0,262 0,177 0,118 0,123 0,018 0,017
50 % 0,865 0,907 0,951 0,215 0,219 0,092 0,785 0,791 0,031 0,031
75 % 1,963 0,985 1,170 0,817 0,825 0,132 0,602 0,616 0,021 0,021
95 % 7,850 3,083 3,783 9,163 9,193 1,200 1,159 1,185 0,251 0,251
Distribution des erreurs (ii) 5 % 1,227 2,768 3,065 0,492 1,691 0,352 1,430 1,423 0,067 0,143
25 % 0,562 0,280 0,268 0,331 0,327 0,189 0,087 0,087 0,027 0,024
50 % 0,976 0,924 0,957 0,287 0,281 0,098 0,728 0,733 0,046 0,046
75 % 2,119 1,023 1,231 0,817 0,854 0,129 0,557 0,572 0,034 0,034
95 % 8,392 2,989 4,864 8,405 9,180 1,250 1,140 1,147 0,112 0,119
Distribution des erreurs (iii) 5 % 0,842 2,171 2,207 0,425 0,491 0,500 1,252 1,238 0,013 0,014
25 % 0,657 0,209 0,209 0,292 0,296 0,176 0,076 0,077 0,010 0,011
50 % 0,935 0,791 0,805 0,244 0,249 0,082 0,679 0,682 0,026 0,027
75 % 1,983 0,981 1,086 0,739 0,752 0,131 0,588 0,597 0,024 0,024
95 % 8,020 2,782 3,251 8,344 8,385 1,219 1,059 1,078 0,144 0,145
Distribution des erreurs (iv) 5 % 1,458 3,913 3,066 2,414 0,814 0,557 1,195 1,172 0,226 0,053
25 % 0,919 0,460 0,397 0,474 0,472 0,206 0,154 0,137 0,058 0,017
50 % 1,183 0,913 0,920 0,398 0,416 0,071 0,629 0,640 0,048 0,023
75 % 2,195 1,223 1,209 1,022 0,902 0,163 0,471 0,511 0,033 0,031
95 % 8,043 2,954 3,420 7,476 7,639 1,268 0,975 1,042 0,104 0,115

Tableau 5.3
AMSE et ABIAS des estimateurs de quantiles sur petits domaines sous le modèle C
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de AMSE et ABIAS des estimateurs de quantiles sur petits domaines sous le modèle C α MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeqySdegaaa@39C3@ , AMSE et ABIAS(figurant comme en-tête de colonne).
α MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeqySdegaaa@39C3@ AMSE ABIAS
ED VEL1 VEL2 VEP1 VEP2 ED VEL1 VEL2 VEP1 VEP2
Distribution des erreurs (i) 5 % 0,279 1,340 1,258 0,092 0,151 0,267 0,997 0,978 0,051 0,031
25 % 0,146 0,316 0,263 0,087 0,098 0,068 0,282 0,280 0,035 0,046
50 % 0,152 0,326 0,403 0,094 0,096 0,011 0,215 0,227 0,019 0,015
75 % 0,335 0,868 1,368 0,225 0,244 0,029 0,665 0,700 0,043 0,044
95 % 7,011 0,890 6,818 27,970 27,810 0,291 0,206 0,301 1,398 1,384
Distribution des erreurs (ii) 5 % 1,180 1,181 1,355 0,278 1,776 0,286 0,849 0,836 0,090 0,174
25 % 0,205 0,461 0,395 0,201 0,208 0,063 0,317 0,327 0,085 0,098
50 % 0,201 0,450 0,502 0,201 0,191 0,024 0,226 0,235 0,013 0,012
75 % 0,528 0,943 1,422 0,390 0,422 0,017 0,641 0,681 0,096 0,104
95 % 7,478 0,890 6,306 23,330 25,010 0,479 0,089 0,107 1,055 1,084
Distribution des erreurs (iii) 5 % 0,438 1,063 1,004 0,157 0,240 0,349 0,826 0,803 0,065 0,034
25 % 0,299 0,328 0,289 0,158 0,181 0,120 0,158 0,161 0,009 0,020
50 % 0,305 0,364 0,409 0,174 0,179 0,013 0,151 0,157 0,035 0,029
75 % 0,428 0,709 1,035 0,275 0,308 0,077 0,499 0,524 0,015 0,017
95 % 6,718 0,974 4,704 24,790 25,040 0,232 0,321 0,378 1,336 1,325
Distribution des erreurs (iv) 5 % 1,078 4,146 2,303 3,378 0,685 0,444 0,918 0,803 0,409 0,035
25 % 0,530 0,829 0,531 0,668 0,380 0,107 0,105 0,156 0,147 0,071
50 % 0,490 0,526 0,565 0,297 0,344 0,021 0,177 0,188 0,054 0,017
75 % 0,718 1,454 1,412 1,149 0,542 0,076 0,438 0,542 0,061 0,048
95 % 6,430 2,492 4,002 22,540 21,920 0,462 0,364 0,242 1,258 1,042

Ensuite, nous étudions les estimateurs qui s’appliquent lorsque les valeurs des covariables sont connues pour toutes les unités d’échantillonnage. La simulation comprend EB0, EB1, EB2, MQ0, MQ1 et MQ2 qui désignent respectivement EBLUP/naïve, EBLUP/CD, EBLUP/RKM, M-quantile/naïve, M-quantile/CD et M-quantile/RKM. Nous établissons une taille de population relativement petite N i = 500 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOtamaaBa aaleaacaWGPbaabeaakiaai2dacaaI1aGaaGimaiaaicdaaaa@3AE5@ pour épargner certains calculs. Le tableau 5.4 présente l’AMSE de ces estimateurs sous les modèles A, B et C avec une distribution des erreurs N ( 0, 1 ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOtamaabm aabaGaaGimaiaaiYcacaaMe8UaaGymaaGaayjkaiaawMcaaiaac6ca aaa@3CBA@ Pour économiser de l’espace, nous ne présentons pas les résultats des biais correspondants. Les résultats des simulations montrent que la méthode proposée donne en général des AMSE et des ABIAS (non présentés) inférieurs. Elle fonctionne bien, même pour les quantiles à des niveaux relativement extrêmes.

Pour économiser de l’espace, nous regroupons les résultats de l’AMSE des cinq niveaux de quantiles figurant au tableau 5.5. L’entrée correspondant à A i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@37D4@ est l’AMSE moyenne de l’estimation des quantiles à des niveaux de 5 %, 25 %, 50 %, 75 %, et 95 % lorsque les données sont générées à partir du modèle A avec la distribution des erreurs (i). Nous constatons que, lorsqu’il y a plus de détails sur les covariables, les estimateurs des VEL et des VEP sont bien plus exacts que les résultats des tableaux 5.1 à5.3. Du modèle A au modèle C, la ligne de régression devient moins linéaire. Parallèlement, les estimateurs de quantiles proposés offrent plus d’avantages que les autres estimateurs.

Maintenant, nous évaluons l’estimateur de l’EQM bootstrap proposé dans la section 4. Parce que cette méthode comporte beaucoup de calculs, nous avons restreint la simulation à l’estimateur fondé sur F ^ i ( b ) ( u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOrayaaja Waa0baaSqaaiaadMgaaeaadaqadaqaaiaadkgaaiaawIcacaGLPaaa aaGcdaqadaqaaiaadwhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3CE7@ avec la fonction de base q 1 ( u ) = ( 1, u ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyCamaaBa aaleaacaaIXaaabeaakmaabmaabaGaamyDaaGaayjkaiaawMcaaiaa i2dadaqadaqaaiaaigdacaaISaGaaGjbVlaadwhaaiaawIcacaGLPa aadaahaaWcbeqaaOGamai2gkdiIcaaaaa@43C1@ et B = 100, L = 100. MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqaiaai2 dacaaIXaGaaGimaiaaicdacaaISaGaaGjbVlaadYeacaaI9aGaaGym aiaaicdacaaIWaGaaiOlaaaa@406D@ Nous signalons les ratios moyens des EQM estimés et les EQM simulés dans tous les petits domaines. Plus le ratio s’approche de un, plus l’estimation de l’EQM bootstrap est exacte. Dans le tableau 5.6, nous pouvons voir que les ratios moyens tournent autour de un dans la majorité des situations, sauf pour la distribution des erreurs (iv) aux niveaux extrêmes des quantiles. Nous en concluons que l’estimateur de l’EQM bootstrap est généralement satisfaisant.


Tableau 5.4
AMSE de 10 estimateurs de quantiles lorsque toutes les valeurs de covariance sont connues avec une distribution des erreurs N(0, 1)
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de AMSE de 10 estimateurs de quantiles lorsque toutes les valeurs de covariance sont connues avec une distribution des erreurs N(0 α MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeqySdegaaa@39C3@ , EB0, EB1, EB2, MQ0, MQ1, MQ2, VEL1, VEL2, VEP1 et VEP2 (figurant comme en-tête de colonne).
α MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeqySdegaaa@39C3@ EB0 EB1 EB2 MQ0 MQ1 MQ2 VEL1 VEL2 VEP1 VEP2
Modèle A 5 % 0,477 0,123 0,501 0,536 0,127 0,499 0,128 0,146 0,078 0,110
25 % 0,139 0,073 0,154 0,198 0,074 0,154 0,073 0,078 0,065 0,073
50 % 0,061 0,066 0,124 0,119 0,066 0,124 0,066 0,066 0,064 0,064
75 % 0,145 0,074 0,149 0,204 0,074 0,149 0,074 0,080 0,066 0,073
95 % 0,491 0,125 0,394 0,552 0,129 0,395 0,126 0,146 0,079 0,113
Modèle B 5 % 1,270 2,500 0,928 1,682 2,575 0,946 2,965 2,949 0,079 0,110
25 % 0,351 0,152 0,239 0,262 0,149 0,239 0,193 0,193 0,069 0,069
50 % 0,834 0,723 0,285 0,631 0,722 0,284 0,899 0,944 0,071 0,073
75 % 0,314 0,634 0,532 0,257 0,644 0,530 0,986 1,160 0,082 0,084
95 % 3,710 2,095 3,690 4,209 2,059 3,685 3,235 3,900 0,154 0,156
Modèle C 5 % 0,346 0,830 0,415 0,708 0,307 0,351 1,087 1,028 0,075 0,130
25 % 0,345 0,173 0,169 0,388 0,110 0,154 0,263 0,224 0,066 0,075
50 % 0,340 0,170 0,142 0,207 0,150 0,136 0,291 0,349 0,065 0,067
75 % 0,288 0,577 0,211 0,191 0,376 0,227 0,731 1,088 0,068 0,087
95 % 2,578 11,470 8,087 5,194 14,640 11,960 0,868 4,215 0,148 0,156

Tableau 5.5
AMSE moyenne pour 5 quantiles lorsque toutes les valeurs des covariables sont connues
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de AMSE moyenne pour 5 quantiles lorsque toutes les valeurs des covariables sont connues. Les données sont présentées selon Modèle (titres de rangée) et EB0, EB1, EB2, MQ0, MQ1, MQ2, VEL1, VEL2, VEP1 et VEP2(figurant comme en-tête de colonne).
Modèle EB0 EB1 EB2 MQ0 MQ1 MQ2 VEL1 VEL2 VEP1 VEP2
A i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@39F8@ 0,263 0,092 0,264 0,322 0,094 0,264 0,093 0,103 0,070 0,087
A ii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@39F8@ 0,810 1,379 1,822 0,810 1,381 1,796 0,217 0,370 0,203 0,744
A iii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@39F8@ 0,754 0,183 0,408 0,819 0,183 0,407 0,149 0,168 0,135 0,168
A iv MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@39F8@ 0,687 0,186 0,399 0,746 0,188 0,399 0,281 0,196 0,256 0,164
B i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@39F9@ 1,296 1,221 1,135 1,408 1,230 1,138 1,832 1,829 0,091 0,098
B ii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@39F9@ 1,442 1,714 2,348 1,496 1,718 2,343 1,596 1,812 0,230 0,504
B iii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@39F9@ 1,270 1,081 1,357 1,348 1,088 1,351 1,399 1,521 0,163 0,179
B iv MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@39F9@ 1,346 1,177 1,315 1,436 1,183 1,317 1,565 1,701 0,205 0,166
C i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4qamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@39FA@ 0,799 2,645 1,805 1,339 3,117 2,566 0,648 1,381 0,084 0,103
C ii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4qamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@39FA@ 1,441 3,439 3,368 2,232 3,967 3,898 0,725 1,168 0,241 0,377
C iii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4qamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@39FA@ 1,141 2,516 1,898 1,834 2,937 2,572 0,595 1,133 0,153 0,186
C iv MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4qamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@39FA@ 1,149 2,499 1,909 1,821 2,933 2,639 0,767 1,176 0,280 0,179

Tableau 5.6
Ratios moyens des EQM bootstrap et des EQM simulés
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Ratios moyens des EQM bootstrap et des EQM simulés. Les données sont présentées selon α MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeqySdegaaa@39C3@ (titres de rangée) et A i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ , A ii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ , A iii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ , A iv MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ , B i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ , B ii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ , B iii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ , B iv MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ , C i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ , C ii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ , C iii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ and C iv MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ (figurant comme en-tête de colonne).
α MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaeqySdegaaa@39C3@ A i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ A ii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ A iii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ A iv MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamyqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A02@ B i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamOqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A03@ B ii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamOqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A03@ B iii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamOqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A03@ B iv MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaamOqamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A03@ C i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaam4qamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A04@ C ii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaam4qamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A04@ C iii MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaam4qamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A04@ C iv MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqk0Jf9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbeqabeWacmGabiqabeqabmqabeabbaGcbaGaam4qamaaBa aaleaacaqGPbaabeaaaaa@3A04@
5 % 1,01 1,03 1,05 0,36 1,05 0,98 1,01 0,39 0,99 1,19 1,10 0,27
25 % 1,00 0,99 1,05 0,74 1,03 0,99 0,95 1,03 1,03 0,97 0,99 0,73
50 % 1,06 1,04 0,97 1,10 1,01 1,03 0,96 0,99 1,09 0,96 0,97 1,03
75 % 1,01 0,99 1,06 0,76 1,10 1,01 0,98 0,90 1,06 0,96 1,03 0,52
95 % 1,04 1,20 1,10 0,33 0,89 1,02 1,13 1,02 0,95 1,37 1,13 0,69

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