Régression quantile censurée pondérée

Section 1. Introduction

Dans la régression quantile (Koenker, 2005), les quantiles conditionnels de la variable réponse pour un ensemble de variables explicatives donné sont modélisés. Les paramètres de régression sont estimés en minimisant une fonction de perte linéaire asymétrique pour un quantile précis, τ , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiXdqNaai ilaaaa@386C@ plutôt que la fonction de perte carrée comme dans le cas de la régression linéaire standard. Un modèle de régression quantile fondé sur des quantiles sélectionnés adéquatement pourrait fournir une évaluation globale des effets des covariables sur la réponse, ce dont ne tient souvent pas compte le modèle de régression linéaire standard. Récemment, on a étudié en détail la régression quantile censurée. Powell (1984) a introduit l’estimateur de l’écart absolu minimal (EAM), également appelé le modèle de régression par médiane pour les données sur la survie censurées à gauche, en utilisant le modèle Tobit censuré (Tobin, 1958). Powell (1986) a généralisé l’estimation de l’EAM à tous les quantiles.

Portnoy (2003) a introduit un modèle de régression quantile censurée sous censure aléatoire en tant que généralisation de l’estimateur de Kaplan-Meier, en utilisant l’estimateur de Kaplan-Meier (Kaplan et Meier, 1958) de manière récursive. Peng et Huang (2008) ont élaboré un modèle de régression quantile censurée d’après l’estimateur de Nelson-Aalen à l’aide de processus de dénombrement et de la théorie des martingales. Dans le contexte de l’analyse de données de survie, pour le sujet i ( i = 1 , 2 , , n ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyAamaabm aabaGaamyAaiabg2da9iaaigdacaGGSaGaaGjbVlaaikdacaGGSaGa aGjbVlablAciljaacYcacaaMe8UaamOBaaGaayjkaiaawMcaaiaacY caaaa@4555@ soit T i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamivamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@37EA@ le logarithme du temps de défaillance, C i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4qamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@37D9@ le logarithme du temps de censure à droite, X i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiwamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@37F2@ le vecteur de covariable de dimension p MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiCaaaa@36EC@ et Y i = min ( T i , C i ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamywamaaBa aaleaacaWGPbaabeaakiabg2da9iGac2gacaGGPbGaaiOBamaabmaa baGaamivamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaacYcacaaMe8Uaam4qam aaBaaaleaacaWGPbaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaaaa@4380@ le logarithme du temps de survie. Pour un quantile donné, τ , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiXdqNaai ilaaaa@386C@ on peut estimer comme suit les coefficients de régression, β ( τ ) : MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCOSdmaabm aabaGaeqiXdqhacaGLOaGaayzkaaGaaiOoaaaa@3B41@

β ^ ( τ ) = arg min β p i = 1 n ρ τ ( Y i min { C i , X i β } ) , ( 1.1 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCOSdyaaja WaaeWaaeaacqaHepaDaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpdaWfqaqaaiGa cggacaGGYbGaai4zaiGac2gacaGGPbGaaiOBaaWcbaGaeqOSdiMaey icI4SaaGjcVprr1ngBPrMrYf2A0vNCaeHbfv3ySLgzGyKCHTgD1jha iuaacqWFCeIudaahaaadbeqaaiaadchaaaaaleqaaOWaaabCaeaacq aHbpGCdaWgaaWcbaGaeqiXdqhabeaaaeaacaWGPbGaeyypa0JaaGym aaqaaiaad6gaa0GaeyyeIuoakmaabmaabaGaamywamaaBaaaleaaca WGPbaabeaakiabgkHiTiGac2gacaGGPbGaaiOBamaacmaabaGaam4q amaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaacYcacaaMe8UaaCiwamaaDaaale aacaWGPbaabaqefqvyO9wBHbacgaGaa4hPdaaakiaahk7aaiaawUha caGL9baaaiaawIcacaGLPaaacaGGSaGaaGzbVlaaywW7caaMf8UaaG zbVlaaywW7caGGOaGaaGymaiaac6cacaaIXaGaaiykaaaa@7D46@

ρ τ ( u ) = u [ τ I ( u < 0 ) ] , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyWdi3aaS baaSqaaiabes8a0bqabaGcdaqadaqaaiaadwhaaiaawIcacaGLPaaa cqGH9aqpcaWG1bWaamWaaeaacqaHepaDcqGHsisltuuDJXwAK1uy0H MmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3BaGqbaiab=Hi8jnaabmaabaGaamyD aiabgYda8iaaicdaaiaawIcacaGLPaaaaiaawUfacaGLDbaacaGGSa aaaa@53B3@ est la fonction de perte linéaire asymétrique.

Dans de nombreuses études, on peut disposer d’information à propos de la population cible d’études antérieures. Cette situation est courante dans les enquêtes par échantillonnage, car les enquêtes sont menées à maintes reprises et poursuivent des objectifs semblables. À titre d’exemple, dans les enquêtes par échantillonnage, l’information se rapportant à la moyenne et à la variance de population pourrait figurer dans des enquêtes ou des documents antérieurs. On pourrait aussi considérer que l’information sur les paramètres ainsi que le type de relation, les hypothèses de distribution, etc. constitue de l’information auxiliaire aux fins de l’analyse. L’information auxiliaire pourrait être utilisée efficacement pour accroître l’efficacité de l’inférence statistique (Kuk et Mak, 1989; Rao, Kovar et Mantel, 1990; Chen et Qin, 1993). L’idée que sous-tend le présent document peut facilement être appliquée aux enquêtes par échantillonnage pour produire des estimations efficaces des paramètres en utilisant l’information présentée dans des enquêtes antérieures.

Supposons une relation connue entre le temps de survie, Y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamywaaaa@36D5@ (ou le temps de défaillance, T ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamivaiaacM caaaa@377D@ et un ensemble de covariables X , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiwaiaacY caaaa@3788@ exprimée sous la forme Y = f ( X ; θ ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamywaiabg2 da9iaadAgadaqadaqaaiaahIfacaGG7aGaaGjbVlaahI7aaiaawIca caGLPaaacaGGSaaaaa@3F70@ θ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiUdaaa@373B@ est le paramètre d’intérêt. On peut considérer la connaissance de cette relation comme de l’information auxiliaire. Dans un cas plus général, l’information auxiliaire peut être exprimée sous la forme E { g ( Z ; θ ) } = 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyramaacm aabaGaam4zamaabmaabaGaaCOwaiaacUdacaaMe8UaaCiUdaGaayjk aiaawMcaaaGaay5Eaiaaw2haaiabg2da9iaaicdaaaa@419A@ pour un paramètre à d MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamizaaaa@36E0@ dimensions, θ R d , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiUdiabgI GiolaadkfadaahaaWcbeqaaiaadsgaaaGccaGGSaaaaa@3B66@ Z MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCOwaaaa@36DA@ représente les données observées dans la présente étude et g ( Z ; θ ) R q , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4zamaabm aabaGaaCOwaiaacUdacaaMe8UaaCiUdaGaayjkaiaawMcaaiabgIGi olaadkfadaahaaWcbeqaaiaadghaaaGccaGGSaaaaa@4117@ une fonction avec q d . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyCaiabgw MiZkaadsgacaGGUaaaaa@3A4E@ Le paramètre θ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiUdaaa@373B@ pourrait être inconnu, mais on peut en donner une estimation au moyen de l’information présentée dans des études antérieures.

Chen et Qin (1993) ont introduit le recours à l’information auxiliaire pour accroître l’efficacité des estimateurs dans le contexte des enquêtes par échantillonnage en utilisant la vraisemblance empirique (Owen, 1988, 2001). Li et Wang (2003) ont adapté le concept de l’information auxiliaire au modèle de régression linéaire censurée au moyen de la vraisemblance empirique en définissant une variable synthétique (Koul, Susarla et Ryzin, 1981). Fang, Li, Lu et Qin (2013) ont proposé le recours efficace à l’information auxiliaire dans le modèle de régression linéaire avec données censurées à droite au moyen de la vraisemblance empirique en utilisant l’équation d’estimation de Buckley-James (Buckley et James, 1979). Tang et Leng (2012) ont introduit un modèle de régression quantile linéaire fondé sur la vraisemblance empirique et utilisant l’information auxiliaire.

Dans le présent document, nous proposons une approche fondée sur la vraisemblance empirique (VE) permettant d’adapter l’information auxiliaire à la régression linéaire censurée. La VE est une approche de la vraisemblance non paramétrique proposée par Owen (1988, 2001) qui présente des propriétés semblables à la vraisemblance paramétrique. Nous utilisons les probabilités axées sur des données fondées sur la VE comme poids en ayant recours à la fonction d’estimation, g ( Z ; θ ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4zamaabm aabaGaaCOwaiaacUdacaaMe8UaaCiUdaGaayjkaiaawMcaaiaacYca aaa@3D8F@ et nous intégrons ces poids au modèle de régression quantile censurée. On peut estimer comme suit le paramètre β ( τ ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOSdi2aae WaaeaacqaHepaDaiaawIcacaGLPaaaaaa@3AE6@ de la régression quantile censurée pondérée qui en résulte :

β ^ ( τ ) = arg min β p i = 1 n ω i ρ τ ( Y i min { C i , X i β } ) , ( 1.2 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCOSdyaaja WaaeWaaeaacqaHepaDaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpdaWfqaqaaiGa cggacaGGYbGaai4zaiaaysW7ciGGTbGaaiyAaiaac6gaaSqaaiabek 7aIjabgIGiolaayIW7tuuDJXwAKzKCHTgD1jharyqr1ngBPrgigjxy RrxDYbacfaGae8hhHi1aaWbaaWqabeaacaWGWbaaaaWcbeaakmaaqa habaGaeqyYdC3aaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaeqyWdi3aaSbaaSqa aiabes8a0bqabaaabaGaamyAaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGUbaani abggHiLdGcdaqadaqaaiaadMfadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccqGH sislciGGTbGaaiyAaiaac6gadaGadaqaaiaadoeadaWgaaWcbaGaam yAaaqabaGccaGGSaGaaGjbVlaahIfadaqhaaWcbaGaamyAaaqaaerb ufgAV1wyaGGbaiaa+r6aaaGccaWHYoaacaGL7bGaayzFaaaacaGLOa GaayzkaaGaaiilaiaaywW7caaMf8UaaGzbVlaaywW7caaMf8Uaaiik aiaaigdacaGGUaGaaGOmaiaacMcaaaa@81C5@

ω i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrpgpC0xc9LqFf0xc9 qqpeuf0xe9q8qiYRWFGCk9vi=dbbf9v8Gq0db9qqpm0dXdHqpq0=vr 0=vr0=edbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyYdC3aaS baaSqaaiaadMgaaeqaaaaa@38DE@ représente les poids. Nous proposons d’utiliser les probabilités axées sur des données fondées sur la VE comme poids. Les résultats de notre simulation révèlent que la régression quantile censurée pondérée fondée sur la VE présente davantage d’efficacité que la régression quantile censurée linéaire standard.

Le reste du présent document est structuré de la manière suivante. À la section 2, nous présentons la méthode d’estimation des probabilités axées sur des données fondées sur la VE. À la section 3, nous introduisons la régression quantile censurée pondérée fondée sur la VE et nous examinons les propriétés asymptotiques des estimateurs. À la section 4, nous menons une analyse du rendement de la méthode proposée à l’aide des simulations. L’application aux données sur le cancer du poumon du North Central Cancer Treatment Group (NCCTG) est également présentée à titre d’exemple. Nos conclusions sont présentées à la section 5.


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