Comment décomposer la variance due à la non-réponse : une méthode fondée sur l’erreur d’enquête totale
Section 4. Étude par simulation

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La somme des contributions des items devrait se rapprocher suffisamment de la variance estimée due à la non-réponse. On a effectué des simulations pour évaluer la validité du score proposé. L’objectif était alors d’évaluer si la contribution d’item proposée est une bonne approximation de la contribution réelle à la variance totale d’une unité donnée. Pour ce faire, on a comparé les contributions totales d’un sous-ensemble aléatoire de $s_m$ à la différence des variances estimées où ce sous-ensemble est respectivement considéré comme des unités non répondantes et des unités répondantes.

Les étapes qui suivent montrent comment les simulations ont été effectuées.

1. On a créé une population à partir d’une variable auxiliaire $x$ générée suivant une loi gamma avec une moyenne de 48 et une variance de 768. La variable d’intérêt $y$ a été créée conditionnellement sur $x$ à partir d’une loi gamma avec une moyenne de $\text{1,5}x$ et une variance de $16x.$ Ces paramètres sont identiques à ceux établis par Beaumont et Bissonnette (2011).
2. On a sélectionné un échantillon aléatoire simple $s$ dans cette population et un sous-ensemble indépendant de non-réponse $s_m$ a été généré à l’aide d’un échantillonnage de Bernoulli.
   1. Les unités non répondantes de $s_m$ ont été imputées au moyen d’une imputation par le ratio, où $y_k^{*}=x_k\left({\displaystyle {\sum }_{l\in s_r}{y}_l}\right){\left({\displaystyle {\sum }_{l\in s_r}{x}_l}\right)}^{-1}$ et $${\widehat{\sigma }}_k^2=x_k\frac{{\displaystyle {\sum }_{l\in s_r}{\left(y_l-y_l^{*}\right)}^2}}{{\displaystyle {\sum }_{l\in s_r}{x}_l}}.$$
   2. On a estimé le total de la population $\widehat{t},$ les composantes de la variance ${\widehat{V}}_{•}\left(\widehat{t}\right),$ et les décompositions au niveau de l’unité ${\delta }_k\left({\widehat{V}}_{•}\left(\widehat{t}\right)\right)$ où l’indice ${}_{•}$ représente n’importe laquelle des composantes de la variance.

3. Un sous-ensemble, $\Lambda ,$ d’unités, $\lambda ,$ de $s_m,$ sélectionné indépendamment dans une expérience de Bernoulli, a été déplacé de $s_m$ à $s_r$ de façon à simuler la conversion de non-réponse. Par conséquent, nous avons une nouvelle partition, $P_s^{\left(\Lambda \right)}\text{},$ avec $s_m^{\left(\Lambda \right)}=s_m\backslash \Lambda$ et $s_r^{\left(\Lambda \right)}=s_r\cup \Lambda .$
   1. Les unités non répondantes $k$ de $s_m^{\left(\Lambda \right)}$ ont été imputées de nouveau à l’aide d’un modèle de ratio donné par $y_k^{**}=x_k\left({\displaystyle {\sum }_{l\in s_r^{\left(\Lambda \right)}}{y}_l}\right){\left({\displaystyle {\sum }_{l\in s_r^{\left(\Lambda \right)}}{x}_l}\right)}^{-1}$ et $${\widehat{\sigma }}_k^{*2}=x_k\frac{{\displaystyle {\sum }_{l\in s_r^{\left(\Lambda \right)}}{(y_l-y_l^{**})}^2}}{{\displaystyle {\sum }_{l\in s_r^{\left(\Lambda \right)}}{x}_l}}.$$
   2. Le total de la population, ${\widehat{t}}^{\left(\Lambda \right)}\text{},$ et les composantes de la variance, ${\widehat{V}}_{•}\left({\widehat{t}}^{\left(\Lambda \right)}\right),$ ont été estimés.

4. Le total des décompositions au niveau de l’unité, ${\displaystyle {\sum }_{\lambda \in \Lambda }{\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{•}\left(\widehat{t}\right)\right)},$ pour les unités $\lambda$ de $\Lambda$ a été comparé à la différence dans les estimations de composante de la variance, ${\widehat{V}}_{•}\left(\widehat{t}\right)-{\widehat{V}}_{•}\left({\widehat{t}}^{\left(\Lambda \right)}\right).$ La différence relative dans l’erreur de décomposition, $\text{DRel},$ a été calculée comme étant $$\text{DRel}=\frac{\left({\widehat{V}}_{•}\left({\widehat{t}}^{\left(\Lambda \right)}\right)+{\displaystyle {\sum }_{\lambda \in \Lambda }{\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{•}\left(\widehat{t}\right)\right)}\right)-{\widehat{V}}_{•}\left(\widehat{t}\right)}{{\widehat{V}}_{•}\left(\widehat{t}\right)}.(4.1)$$

On a répété les étapes 1 à 4 indépendamment avec différentes combinaisons de taille de population, de taille d’échantillon, de taux de réponse et de taux de conversion, comme le décrivent les sections 4.1, 4.2 et 4.3.

4.1  Scénario de simulation 1 : paramètres fixes

Dans le scénario 1, la taille de la population, la taille de l’échantillon, le taux de réponse et le taux de conversion ont été fixés respectivement à 400, 100, 70 % et 33,3 %, avec 200 itérations indépendantes. Les résultats sont présentés dans les figures 4.1 et 4.2.

Les figures 4.1 et 4.2 montrent que la somme de la décomposition au niveau de l’unité est une bonne variable explicative de la variation des estimations de la composante de non-réponse. La différence relative moyenne des estimations de la variance est faible à 2,1 %, mais l’erreur-type est importante à 5,8 %. Sur les 200 différences relatives, seules 19 ne sont pas dans la fourchette de +/ $–$  10 %, mais elles sont toutes supérieures à 10 %. Si un non-répondant est converti en répondant, nous concluons que la composante de non-réponse de la variance sera approximativement réduite par la contribution mesurée de cette unité.

4.2  Scénario de simulation 2 : variation de la population et de la taille des échantillons

Dans le scénario 2, la taille de la population variait de 100 à 50 000, le taux d’échantillonnage, le taux de réponse et la conversion étant fixés à 20 %, 70 % et 33,3 % respectivement. Un plus grand nombre d’itérations (40) a été créé pour la plus petite population $\left(N=100\right),$ et moins (10) pour la plus grande $\left(N=\text{50}\text{000}\right),$ pour des questions opérationnelles. Les résultats sont présentés dans les figures 4.3 et 4.4.