Comment décomposer la variance due à la non-réponse : une méthode fondée sur l’erreur d’enquête totale
Section 3. Décomposition au niveau de l’unité de l’erreur provenant des composantes de la variance

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Cette section décrit la méthode utilisée pour évaluer la contribution d’une unité non répondante donnée, $\lambda \in s_m,$ à la variance totale estimée pour l’estimation du total pour une variable donnée.

La décomposition de l’erreur au niveau de l’unité, ${\delta }_{\lambda },$ de la variance totale pour une unité donnée, $\lambda ,$ est définie comme la différence entre la variance totale estimée et la variance totale projetée, c’est-à-dire ${\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{TOT}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)\equiv {\widehat{V}}_{\text{TOT}}\left({\widehat{t}}_d\right)-{\widehat{V}}_{\text{TOT}}^{\left(\lambda \right)}\left({\widehat{t}}_d\right).$ L’exposant $\left(\lambda \right)$ indique les quantités projetées lorsque l’unité $\lambda$ est convertie en unité répondante. Donc, on peut considérer ${\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{TOT}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)$ comme le gain attendu, pour ce qui est de la variance totale, de la conversion d’une unité non répondante $\lambda$ en unité répondante.

Pour obtenir ${\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{TOT}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right),$ $\lambda$ est déplacée de $s_m$ à $s_r,$ ce qui génère la nouvelle partition $P_s^{\left(\lambda \right)}$ de l’échantillon de $P_s$ où $P_s^{\left(\lambda \right)}=\left\{s_r^{\left(\lambda \right)}\text{},s_m^{\left(\lambda \right)}\right\},$ $s_r^{\left(\lambda \right)}=s_r\cup \left\{\lambda \right\}$ et $s_m^{\left(\lambda \right)}=s_m\backslash \left\{\lambda \right\},$ comme l’illustre la figure 3.1.

Certaines hypothèses sont nécessaires pour décomposer les composantes de la variance. On sait que ces hypothèses ne sont pas nécessairement exactes. Elles peuvent cependant servir à produire de bons résultats, comme le montre la simulation de la section 4. Les hypothèses requises sont :

1. Valeur déclarée projetée : soit $\lambda \in s_m$ converti en réponse et soit $y_{\lambda }^{\left(\lambda \right)}=y_{\lambda }^{*}.$
2. Paramètres d’imputation projetés : $\forall k\in s_m,$ ${\widehat{\mu }}_k^{\left(\lambda \right)}={\widehat{\mu }}_k$ et ${\widehat{\sigma }}_k^{\left(\lambda \right)}={\widehat{\sigma }}_k.$
3. Matrice des relations d’imputation projetées : $\forall k\in s_m$ et $\forall l\in s_r,$ ${\phi }_{lk}^{(\lambda )}=0$ si $l=\lambda$ ou si $k=\lambda$ ou ${\phi }_{lk}^{\left(\lambda \right)}={\phi }_{lk}$ sinon. De même, ${\phi }_{0k}^{\left(\lambda \right)}=0$ si $k=\lambda$ ou ${\phi }_{0k}^{\left(\lambda \right)}={\phi }_{0k}$ sinon.

L’hypothèse 1 suppose que si une unité non répondante, $\lambda ,$ est convertie en unité répondante, sa valeur déclarée est égale à sa valeur imputée. Cela n’est pas vrai de façon générale, mais la valeur imputée est la meilleure estimation que nous obtenons. Cette valeur imputée devrait se rapprocher suffisamment de la valeur déclarée pour permettre d’estimer l’erreur sur les composantes de la variance. Cette hypothèse aura une incidence au moment de la décomposition de la variance d’échantillonnage.

L’hypothèse 2 suppose que les paramètres estimés du modèle d’imputation demeurent inchangés si $\lambda$ est répondante. Dans le cas d’un estimateur convergent de paramètre de modèle d’imputation, cette hypothèse est plus réaliste lorsque $s_r$ est plus grand.

Enfin, l’hypothèse 3 signifie que la relation d’imputation entre les non-répondants et les répondants demeure inchangée, sauf quand l’unité $\lambda$ est impliquée. En d’autres termes, l’unité convertie, $\lambda ,$ n’est plus imputée à partir des répondants, mais elle ne servira pas à imputer d’autres unités non répondantes. La figure 3.2 montre comment l’hypothèse 3 est représentée dans la matrice phi.

Par conséquent, le facteur de pondération de compensation, $W_{dl}^{\left(\lambda \right)}\text{},$ d’une unité répondante, $\forall l\in s_r,$ est projeté comme étant

$$\begin{array}{ll}{W}_{dl}^{\left(\lambda \right)}\hfill & ={\displaystyle \sum _{k\in s_m^{\left(\lambda \right)}}{w}_k{d}_k{\phi }_{lk}^{\left(\lambda \right)}}\hfill \\ \hfill & ={\displaystyle \sum _{k\in s_m}{w}_k{d}_k{\phi }_{lk}}-w_{\lambda }{d}_{\lambda }{\phi }_{l\lambda }\hfill \\ \hfill & =W_{dl}-w_{\lambda }{d}_{\lambda }{\phi }_{l\lambda }.(3.1)\hfill \end{array}$$

On retire le poids marginal de l’unité convertie $\lambda$ du poids initial de compensation, $W_{dl},$ pour obtenir le nouveau $W_{dl}^{\left(\lambda \right)}\text{}.$ Notez que $W_{d\lambda }^{\left(\lambda \right)}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_m^{\left(\lambda \right)}}{w}_k{d}_k{\phi }_{\lambda k}^{\left(\lambda \right)}}=0$ parce que ${\phi }_{\lambda k}^{\left(\lambda \right)}=0$ dans l’hypothèse 3. Comme mentionné précédemment, cela signifie que $\lambda$ n’est pas utilisé pour imputer les non-répondants.

Dans les sous-sections suivantes, la décomposition de l’erreur au niveau de l’unité pour l’unité $\lambda$ est calculée pour les quatre composantes de la variance, conformément à ce qui est décrit dans la section 2.3.

3.1  Décomposition au niveau de l’unité de l’erreur de la variance naïve d’échantillonnage

La quantité ${\widehat{V}}_{\text{ORD}}\left({\widehat{t}}_d\right)$ dépend des valeurs y, des poids finaux et des probabilités de sélection d’ordre un et d’ordre deux. La décomposition de l’erreur au niveau de l’unité de la composante de variance d’échantillonnage naïf ${\widehat{V}}_{\text{ORD}}\left({\widehat{t}}_d\right)$ est triviale puisque l’hypothèse selon laquelle l’unité $\lambda$ passe de $s_m$ à $s_r$ ne change ni les poids ni les probabilités de sélection. Dans l’hypothèse 1, la valeur déclarée prévue $y_{\lambda }^{\left(\lambda \right)}$ est établie à $y_{\lambda }^{*}$ de sorte que ${\widehat{V}}_{\text{ORD}}^{\left(\lambda \right)}\left({\widehat{t}}_d\right)={\widehat{V}}_{\text{ORD}}\left({\widehat{t}}_d\right)$ lorsque $\lambda$ est convertie en unité répondante. Par conséquent, la décomposition de ${\widehat{V}}_{\text{ORD}}\left({\widehat{t}}_d\right)$ est obtenue au moyen de

$${\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{ORD}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)\equiv {\widehat{V}}_{\text{ORD}}\left({\widehat{t}}_d\right)-{\widehat{V}}_{\text{ORD}}^{\left(\lambda \right)}\left({\widehat{t}}_d\right)=0.(3.2)$$

Ce résultat est cohérent avec l’idée que l’estimation ponctuelle de la variance d’échantillonnage naïf changera probablement, mais elle ne devrait pas diminuer avec l’ajout d’une unité répondante.

3.2  Décomposition au niveau de l’unité de la correction de la composante de la variance d’échantillonnage

La décomposition de l’erreur au niveau de l’unité pour l’unité $\lambda$ de la correction de la composante de la variance d’échantillonnage, ${\widehat{V}}_{\text{DIF}}\left({\widehat{t}}_d\right),$ est obtenue au moyen de

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{DIF}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)\hfill & \equiv {\widehat{V}}_{\text{DIF}}\left({\widehat{t}}_d\right)-{\widehat{V}}_{\text{DIF}}^{\left(\lambda \right)}\left({\widehat{t}}_d\right)\hfill \\ \hfill & ={\displaystyle \sum _{k\in s_m}\left(1-{\pi }_k\right)d_k{w}_k^2{\widehat{\sigma }}_k^2}-{\displaystyle \sum _{\lambda \in s_m^{\left(\lambda \right)}}\left(1-{\pi }_k\right)d_k{w}_k^2{\left({\widehat{\sigma }}_k^{\left(\lambda \right)}\right)}^2}.\hfill \end{array}$$

Dans l’hypothèse 2, ${\widehat{\sigma }}_k^{\left(\lambda \right)}={\widehat{\sigma }}_k,$ de sorte que

$${\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{DIF}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)=\left(1-{\pi }_{\lambda }\right)d_{\lambda }{w}_{\lambda }^2{\widehat{\sigma }}_{\lambda }^2.(3.3)$$

Le lecteur averti remarquera qu’il ne devrait pas y avoir d’incidence sur la variance d’échantillonnage réel (et non son estimation) qu’une unité soit répondante ou non. Cependant, nous avons décidé d’inclure l’incidence qu’une unité a sur l’estimation de la variance d’échantillonnage afin de traiter de façon cohérente les trois composantes $V_{\text{SAM}}\left({\widehat{t}}_d\right),$ $V_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right)$ et $V_{\text{MIX}}\left({\widehat{t}}_d\right).$

3.3  Décomposition au niveau de l’unité de la composante de la variance de non-réponse

La décomposition de l’erreur au niveau de l’unité pour l’unité $\lambda$ de la composante de la variance de non-réponse ${\widehat{V}}_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right)$ est obtenue au moyen de

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)\hfill & \equiv {\widehat{V}}_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right)-{\widehat{V}}_{\text{NR}}^{\left(\lambda \right)}\left({\widehat{t}}_d\right)\hfill \\ \hfill & =\left({\displaystyle \sum _{l\in s_r}{W}_{dl}^2{\widehat{\sigma }}_l^2}+{\displaystyle \sum _{k\in s_m}{w}_k^2{d}_k{\widehat{\sigma }}_k^2}\right)-\left({\displaystyle \sum _{l\in s_r^{\left(\lambda \right)}}{\left(W_{dl}^{\left(\lambda \right)}\right)}^2{\left({\widehat{\sigma }}_l^{\left(\lambda \right)}\right)}^2}+{\displaystyle \sum _{k\in s_m^{\left(\lambda \right)}}{w}_k^2{d}_k{\left({\widehat{\sigma }}_k^{\left(\lambda \right)}\right)}^2}\right).\hfill \end{array}$$

Dans les hypothèses 2 et 3, ${\widehat{\sigma }}_k^{\left(\lambda \right)}={\widehat{\sigma }}_k$ et $W_{d\lambda }^{\left(\lambda \right)}=0.$ On peut réécrire l’expression précédente comme suit :

$${\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)=\left({\displaystyle \sum _{l\in s_r}{W}_{dl}^2{\widehat{\sigma }}_l^2}-{\displaystyle \sum _{l\in s_r}{\left(W_{dl}^{\left(\lambda \right)}\right)}^2{\widehat{\sigma }}_l^2}\right)+w_{\lambda }^2{d}_{\lambda }{\widehat{\sigma }}_{\lambda }^2.$$

Au moyen de la formule (3.1), ceci devient

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)\hfill & =\left({\displaystyle \sum _{l\in s_r}{W}_{dl}^2{\widehat{\sigma }}_l^2}-{\displaystyle \sum _{l\in s_r}{\left(W_{dl}-w_{\lambda }{d}_{\lambda }{\phi }_{l\lambda }\right)}^2{\widehat{\sigma }}_l^2}\right)+w_{\lambda }^2{d}_{\lambda }{\widehat{\sigma }}_{\lambda }^2\hfill \\ \hfill & =\left({\displaystyle \sum _{l\in s_r}{W}_{dl}^2{\widehat{\sigma }}_l^2-\left(W_{dl}^2-2W_{dl}{w}_{\lambda }{d}_{\lambda }{\phi }_{l\lambda }+w_{\lambda }^2{d}_{\lambda }{\phi }_{l\lambda }^2\right){\widehat{\sigma }}_l^2}\right)+w_{\lambda }^2{d}_{\lambda }{\widehat{\sigma }}_{\lambda }^2\hfill \\ \hfill & ={\displaystyle \sum _{l\in s_r}\left(2W_{dl}{w}_{\lambda }{d}_{\lambda }{\phi }_{l\lambda }-w_{\lambda }^2{d}_{\lambda }{\phi }_{l\lambda }^2\right){\widehat{\sigma }}_l^2}+w_{\lambda }^2{d}_{\lambda }{\widehat{\sigma }}_{\lambda }^2.(3.4)\hfill \end{array}$$

3.4  Décomposition au niveau de l’unité de la composante de variance mixte

Enfin, l’incidence de l’unité $\lambda$ sur le terme de la composante de variance, ${\widehat{V}}_{\text{MIX}}\left({\widehat{t}}_d\right),$ est obtenue au moyen de

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{MIX}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)\hfill & \equiv {\widehat{V}}_{\text{MIX}}\left({\widehat{t}}_d\right)-{\widehat{V}}_{\text{MIX}}^{\left(\lambda \right)}\left({\widehat{t}}_d\right)\hfill \\ \hfill & =\left(2{\displaystyle \sum _{l\in s_r}{W}_{dl}\left(w_l-1\right)d_l{\widehat{\sigma }}_l^2}-2{\displaystyle \sum _{k\in s_m}{w}_k\left(w_k-1\right)d_k{\widehat{\sigma }}_k^2}\right)\hfill \\ \hfill & -\left(2{\displaystyle \sum _{l\in s_r^{\left(\lambda \right)}}{W}_{dl}^{\left(\lambda \right)}\left(w_l-1\right)d_l{\left({\widehat{\sigma }}_l^{\left(\lambda \right)}\right)}^2}-2{\displaystyle \sum _{k\in s_m^{\left(\lambda \right)}}{w}_k\left(w_k-1\right)d_k{\left({\widehat{\sigma }}_k^{\left(\lambda \right)}\right)}^2}\right).\hfill \end{array}$$

Cette équation peut être réécrite comme suit, dans les hypothèses 2 et 3 et l’équation (3.1)

$$\begin{array}{ll}{\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{MIX}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)\hfill & =\left(2{\displaystyle \sum _{l\in s_r}{W}_{dl}\left(w_l-1\right)d_l{\widehat{\sigma }}_l^2}-2{\displaystyle \sum _{k\in s_m}{w}_k\left(w_k-1\right)d_k{\widehat{\sigma }}_k^2}\right)\hfill \\ \hfill & -\left(2{\displaystyle \sum _{l\in s_r}\left(W_{dl}-w_{\lambda }{d}_{\lambda }{\phi }_{l\lambda }\right)\left(w_l-1\right)d_l{\widehat{\sigma }}_l^2}-2{\displaystyle \sum _{k\in s_m^{\left(\lambda \right)}}{w}_k\left(w_k-1\right)d_k{\widehat{\sigma }}_k^2}\right)\hfill \\ \hfill & =2{\displaystyle \sum _{l\in s_r}{w}_{\lambda }{d}_{\lambda }{\phi }_{l\lambda }\left(w_l-1\right)d_l{\widehat{\sigma }}_l^2}-2w_{\lambda }\left(w_{\lambda }-1\right)d_{\lambda }{\widehat{\sigma }}_{\lambda }^2.(3.5)\hfill \end{array}$$

Dans la section 2.3, l’estimation de la variance totale, ${\widehat{V}}_{\text{TOT}}\left({\widehat{t}}_d\right),$ a été définie comme étant ${\widehat{V}}_{\text{TOT}}\left({\widehat{t}}_d\right)={\widehat{V}}_{\text{ORD}}\left({\widehat{t}}_d\right)+{\widehat{V}}_{\text{DIF}}\left({\widehat{t}}_d\right)+{\widehat{V}}_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right)+{\widehat{V}}_{\text{MIX}}\left({\widehat{t}}_d\right).$ De la même manière, l’incidence de l’unité $\lambda$ sur ${\widehat{V}}_{\text{TOT}}\left({\widehat{t}}_d\right)$ est définie comme suit :

$${\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{TOT}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)={\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{ORD}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)+{\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{DIFF}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)+{\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)+{\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{MIX}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right),$$

où ${\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{ORD}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right),$ ${\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{DIF}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right),$ ${\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right),$ et ${\delta }_{\lambda }\left({\widehat{V}}_{\text{MIX}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)$ sont respectivement obtenus par les équations (3.2), (3.3), (3.4) et (3.5).

On peut observer (voir les preuves en annexe) que ${\widehat{V}}_{\text{DIF}}\left({\widehat{t}}_d\right)={\displaystyle {\sum }_{k\in s_m}{\delta }_k\left({\widehat{V}}_{\text{DIF}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)}$ et ${\widehat{V}}_{\text{MIX}}\left({\widehat{t}}_d\right)={\displaystyle {\sum }_{k\in s_m}{\delta }_k\left({\widehat{V}}_{\text{MIX}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)}.$ Cependant, cette relation linéaire ne s’avère pas pour ${\widehat{V}}_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right).$ Il est important de tenir compte de cette propriété parce que, pour ${\widehat{V}}_{\text{DIF}}\left({\widehat{t}}_d\right)$ et ${\widehat{V}}_{\text{MIX}}\left({\widehat{t}}_d\right),$ la somme des erreurs au niveau de l’unité de toutes les unités non répondantes, $k\in s_m,$ est égale à la composante de variance estimée correspondante. Dans le cas de la composante de la variance de la non-réponse, la somme des erreurs est différente de ${\widehat{V}}_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right).$ La différence est obtenue au moyen de

$${\displaystyle \sum _{k\in s_m}{\delta }_k\left({\widehat{V}}_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right)\right)}-{\widehat{V}}_{\text{NR}}\left({\widehat{t}}_d\right)={\displaystyle \sum _{l\in s_r}\left({\left({\displaystyle \sum _{k\in s_m}{w}_k{d}_k{\phi }_{lk}}\right)}^2-{\displaystyle \sum _{k\in s_m}{w}_k^2{d}_k{\phi }_{lk}^2}\right){\widehat{\sigma }}_l^2}.(3.6)$$

Cette différence peut être relativement faible, surtout dans les enquêtes auprès des entreprises caractérisées par des données asymétriques. C’est le cas quand ${\max }_{k\in s_m}\left(w_k{d}_k{\phi }_{lk}\right)\cong {\displaystyle {\sum }_{k\in s_m}{w}_k{d}_k{\phi }_{lk}}.$ Cela correspond aux résultats présentés par Mills et coll. 2013.

Dans l’ensemble, on peut considérer la variance totale comme approximativement linéaire pour ce qui est des erreurs au niveau de l’unité, surtout dans le cas des enquêtes par sondage où ${\widehat{V}}_{\text{ORD}}\left({\widehat{t}}_d\right),$ ${\widehat{V}}_{\text{DIF}}\left({\widehat{t}}_d\right)$ et ${\widehat{V}}_{\text{MIX}}\left({\widehat{t}}_d\right)$ sont des facteurs importants de la variance totale.

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