Étude de divers estimateurs de la prévalence de la maladie mentale grave fondés sur un échantillon à deux phases
Section 3. Le sous-échantillon de la MHSS

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3.1  À propos du sous-échantillon de la MHSS

La NSDUH est une enquête réalisée selon un plan d’échantillonnage probabiliste à plusieurs degrés stratifié. De 2008 à 2012, le sous-échantillon de la MHSS a été tiré chaque année par échantillonnage de Poisson parmi les adultes ayant répondu à la NSDUH cette année-là. Les probabilités de sélection dans le sous-échantillon ont été déterminées chaque année en utilisant un algorithme qui avait tendance à suréchantillonner les adultes présentant un niveau élevé de détresse psychologique. L’algorithme variait d’une année à l’autre. Voir le rapport du Center for Behavioral Health Statistics and Quality (2014, chapitre 3) pour des renseignements plus détaillés.

La taille cible du sous-échantillon de répondants était d’environ 750 pour 2008, tandis qu’elle était de 500 pour 2009 et 2010, respectivement, et de 1 500 pour 2011 et 2012, respectivement. Un ensemble de données regroupant tous les répondants pour la période de 2008 à 2012 a été créé pour modéliser la MMG. Les poids pour la modélisation ont été établis en supposant que le même modèle était vérifié pour toutes les années. Par conséquent, un poids plus important a été donné aux échantillons de 2011 et de 2012 qu’aux échantillons des années antérieures (Center for Behavioral Health Statistics and Quality, 2014; chapitre 5).

Pour les besoins de notre étude, nous avons traité ces poids de sous-échantillon et les poids de la NSDUH associés comme étant donnés et basés sur la théorie des sondages. Nous avons également traité les strates et deux unités primaires d’échantillonnage (UPE) de variance pour chacune des 50 strates de variance établies pour l’estimateur de variance pour le sous-échantillon de la MHSS comme s’il s’agissait des strates de variance et des UPE de variance pour la NSDUH. Enfin, nous avons traité les UPE de la NSDUH comme si elles étaient sélectionnées avec remise.

3.2  Estimation de la variance sous la théorie des sondages

Puisque les estimations des totaux de domaine corrigées du biais dans les équations (2.9) et (2.10) sont presque sans biais sous la théorie des sondages, on peut faire appel à la linéarisation pour estimer leurs variances. Dans la suite de l’exposé, nous utilisons des variantes des estimateurs corrigés du biais donnés par les équations (2.9) et (2.10) pour simplifier l’estimation de la variance.

En nous souvenant que ${\omega }_k=0$ quand $k\notin S^{\prime }\text{},$ un estimateur de variance pour la moyenne d’échantillon

$${\overline{y}}_{z\left(d\right)}=\frac{{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{z}_k{d}_k}}{{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{d}_k}},(3.1)$$

sous échantillonnage à plusieurs degrés stratifié, où $z_k=p_k+\left({\omega }_k/w_k\right)\left(y_k-p_k\right)\text{,}$ est donné par

$$v\left({\overline{y}}_{z\left(d\right)}\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_{h=1}^{50}{\left[{\displaystyle {\sum }_{k\in S_{h1}}{w}_k{d}_k\left(z_k-{\overline{y}}_{z\left(d\right)}\right)-{\displaystyle {\sum }_{k\in S_{h2}}{w}_k{d}_k\left(z_k-{\overline{y}}_{z\left(d\right)}\right)}}\right]}^2}}{{\left({\displaystyle {\sum }_S{w}_k{d}_k}\right)}^2},(3.2)$$

où $S_{hj}$ représente les répondants dans la $j^{\text{e}}$ UPE de variance et la strate de variance $h.$ Il est également un estimateur de variance pour la variante asymptotiquement identique de l’estimateur par probabilité corrigé du biais qui suit :

$${\overline{y}}_{P-\text{BC}2\left(d\right)}=\frac{{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{p}_k}{d}_k}{{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{d}_k}}+\frac{{\displaystyle {\sum }_S{\omega }_k\left(y_k-p_k\right)d_k}}{{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{d}_k}}.(3.3)$$

Il en est ainsi parce que le sous-échantillon de la MHSS est poissonnien (et donc indépendant sur les adultes ainsi que les UPE) et que le premier degré de l’échantillon de la NSDUH est traité comme si le tirage avait été effectué avec remise.

De même, en redéfinissant $z_k=c_k+\left({\omega }_k/w_k\right)\left(y_k-c_k\right),$ un estimateur de la variance de la moyenne d’échantillon de l’équation (3.1) est également un estimateur de variance pour cette variante de l’estimateur corrigé du biais :

$${\overline{y}}_{C-\text{BC}2\left(d\right)}=\frac{{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{c}_k}{d}_k}{{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{d}_k}}+\frac{{\displaystyle {\sum }_S{\omega }_k\left(y_k-c_k\right)d_k}}{{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{d}_k}}.(3.4)$$

L’approche d’estimation de la variance susmentionnée suppose que les tailles des sous-échantillons de répondants dans les domaines sont telles que $p_k/P_k$ et $c_k/C_k$ peuvent être traités comme une valeur unitaire, où $P_k$ et $C_k$ sont les limites de $p_k$ et $c_k\text{},$ respectivement, à mesure que le sous-échantillon (simultanément à l’échantillon et à la population de la NSDUH) devient arbitrairement grand. En fait, tous ces ratios sont supposés être $1+{\text{O}}_P\left(1/\sqrt{n}\right),$ où $n$ est la taille du sous-échantillon de la MHSS.

Considérons maintenant un terme de correction du biais calculé, disons ${\displaystyle {\sum }_S{\omega }_k\left(y_k-p_k\right)d_k}/{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{d}_k}$ ou ${\displaystyle {\sum }_S{\omega }_k\left(y_k-c_k\right)d_k}/{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{d}_k}\text{}.$ Pour déterminer si le terme diffère significativement de zéro, on peut créer une statistique $t$ asymptotique de la manière habituelle, en divisant le terme par son erreur-type.

Pour évaluer les estimateurs à la section 3.3, nous utiliserons plutôt les équivalents asymptotiques :

$$Mesuredubiais\left({\overline{y}}_{P\left(d\right)}\right)={\displaystyle {\sum }_{S^{{}^{\prime }}}{\omega }_k\left(y_k-p_k\right)d_k}/{\displaystyle {\sum }_{S^{{}^{\prime }}}{\omega }_k{d}_k}\text{},(3.5)$$

et

$$Mesuredubiais\left({\overline{y}}_{C\left(d\right)}\right)={\displaystyle {\sum }_{S^{{}^{\prime }}}{\omega }_k\left(y_k-c_k\right)d_k}/{\displaystyle {\sum }_{S^{{}^{\prime }}}{\omega }_k{d}_k}(3.6)$$

pour créer une statistique $t$ asymptotique pour l’évaluation des biais au niveau du domaine, afin que la procédure DESCRIPT dans SUDAAN (RTI International, 2012) puisse être employée pour traiter les $p_k$ et $c_k$ comme étant fixés (similairement, que l’estimateur de variance pour (3.3) dans l’équation (3.2) puisse être calculé en utilisant DESCRIPT). En outre, puisque pratiquement toute l’erreur d’échantillonnage dans les termes de correction du biais provient de la phase de sous-échantillonnage pour la MHSS (même en 2011 et en 2012, le sous-échantillon ne représentait que 3 % de l’échantillon d’adultes de la NSDUH), nous traitons les erreurs-types des mesures du biais comme si elles étaient calculées pour un échantillon de Poisson avec des fractions d’échantillonnage si petites qu’elles peuvent être ignorées, ce qui équivaut à un échantillon d’éléments sélectionné avec remise aux fins de l’estimation de la variance. Par exemple, pour l’estimateur de variance de $Mesuredubiais\left({\overline{y}}_{P\left(d\right)}\right),$ nous calculons (en utilisant la procédure DESCRIPT dans SUDAAN): $v\left[Mesuredubiais\left({\overline{y}}_{P(d)}\right)\right]=\frac{n}{n-1}{\displaystyle {\sum }_{S^{{}^{\prime }}}{\left[{\omega }_k\left\{\left[y_k-p_k\right]-Mesuredubiais\left({\overline{y}}_{P\left(d\right)}\right)\right\}{d}_k\right]}^2\text{}/}$ ${\left({\displaystyle {\sum }_{S^{{}^{\prime }}}{\omega }_k{d}_k}\right)}^2,$ où $n$ est la taille d’échantillon de $S^{\prime }\text{}.$

3.3  Évaluation des estimateurs

Le modèle utilisé par la SAMHSA pour prédire la prévalence de la MMG d’après les réponses des adultes à la NSDUH était un modèle logistique à cinq variables (Center for Behavioral Health Statistics and Quality, 2014; chapitre 7). Deux des variables étaient des scores totaux rééchelonnés, obtenus au moyen de courts questionnaires visant à mesurer la détresse psychologique et la déficience fonctionnelle due à la détresse. La troisième était une variable dichotomique $\left(0/1\right)$ créée à partir des réponses à une série de questions visant à déterminer si la personne avait vécu un épisode dépressif majeur l’année précédente. La quatrième était également une variable dichotomique $0/1$ qui indiquait si la personne avait sérieusement envisagé de se suicider l’année précédente, et la cinquième était une fonction de l’âge, linéaire de 18 à 30 ans et constante après 30 ans. Des renseignements sur la sélection de ce modèle figurent dans le rapport du Center for Behavioral Health Statistics and Quality (2015, chapitre 4).

Nous nous sommes servis de ce modèle afin de créer un ensemble d’estimations par seuil diagnostique et par probabilité au niveau du domaine à partir des ensembles de données combinés pour 2008 à 2012 et d’évaluer le biais potentiel de ces estimations. Certains résultats sont présentés aux tableaux 3.1 et 3.2. Ces tableaux contiennent des estimations pour des domaines fondés sur des caractéristiques personnelles plutôt que sur l’État de résidence, parce qu’il semblait plus probable que d’importants biais soient observés pour ces caractéristiques que pour les États. En outre, les tailles d’échantillon pour les caractéristiques tendaient à être plus grandes que pour les États.

Le tableau 3.1 montre que l’utilisation de la probabilité corrigée du biais dans l’équation (2.9) est habituellement un peu plus efficace (donne une erreur-type plus petite) que l’estimateur direct ${\overline{y}}_{U\left(d\right)}={\displaystyle {\sum }_{S^{{}^{\prime }}}{\omega }_k{d}_k{y}_k}/{\displaystyle {\sum }_{S^{{}^{\prime }}}{\omega }_k{d}_k}\text{}.$ L’estimateur par seuil diagnostique corrigé du biais dans l’équation (2.10) est plus efficace que l’estimateur direct dans certains cas et dans d’autres, non. Dans le tableau 3.1, les erreurs-types sont les racines carrées des estimateurs de variance par linéarisation pour l’estimateur direct ${\overline{y}}_{U\left(d\right)}$ susmentionné ou pour l’estimateur corrigé du biais de l’équation (3.1) avec la variable non aléatoire $z_k\text{}$ définie comme il convient, chacun calculé en supposant un échantillon avec remise stratifié d’unités primaires d’échantillonnage et un sous-échantillon probabiliste d’individus à l’intérieur de chaque UPE; c’est-à-dire, avec l’équation (3.2). Pour $v\left({\overline{y}}_{U\left(d\right)}\right),$ le terme $z_k-{\overline{y}}_{z\left(d\right)}$ est remplacé par $y_k-{\overline{y}}_{U\left(d\right)}\text{}.$

Le tableau donne à penser que la correction du modèle apporte peu d’amélioration et nous renvoie aux estimateurs par probabilité ou par seuil diagnostique basés sur le modèle des équations (2.7) et (2.8), à moins que ces estimateurs présentent des biais systématiques. Le tableau 3.2 (avec les mesures du biais et leurs erreurs-types calculées comme il est décrit à la section 3.2) suggère fortement que l’estimateur par probabilité, quoique sans biais si l’on estime la prévalence de la MMG pour l’ensemble des adultes, peut être très biaisé au niveau du domaine. Par contre, l’estimateur par seuil diagnostique ne présente un biais important au seuil de signification de 0,1 que dans deux domaines, et n’en présente jamais au seuil de signification de 0,05. Puisque nous avons calculé les valeurs $p$ bilatérales pour 32 domaines, deux domaines dont les valeurs $p$ sont inférieures à 0,1 est à peu près ce que l’on devrait s’attendre à observer sous l’hypothèse nulle selon laquelle l’estimateur par seuil diagnostique est sans biais au niveau du domaine.

Un résultat curieux mérite d’être mentionné brièvement. L’estimateur par seuil diagnostique appliqué à l’ensemble des adultes présente un biais très faible (-0,01), de sorte que la racine carrée de son erreur quadratique moyenne estimée est égale à l’erreur-type de l’estimateur par seuil diagnostique corrigé du biais après arrondissement (0,26). Étrangement, cette valeur est plus petite que l’erreur-type de sa mesure du biais (0,27). Une raison possible de la différence entre les deux erreurs-types est que nous avons utilisé ${\displaystyle {\sum }_S{\omega }_k\left(y_k-c_k\right)d_k}/{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{d}_k}$ comme terme de correction du biais et ${\displaystyle {\sum }_S{\omega }_k\left(y_k-c_k\right)d_k}/{\displaystyle {\sum }_S{\omega }_k{d}_k}$ comme mesure du biais dans un domaine; l’ensemble des adultes étant le cas particulier où $d_k\equiv 1.$ Notre analyse (non présentée) est que la différence entre les dénominateurs a très peu d’effet.

L’élément qui a un effet plus important est de ne pas tenir compte de la stratification et de la mise en grappes de l’échantillon de la NSDUH pour calculer les erreurs-types des mesures du biais. Étonnamment, ne pas tenir compte de la mise en grappes a effectivement tendance à augmenter les erreurs-types. Cela pourrait tenir au fait que la mise en grappes dans la NSDUH n’a pratiquement aucun effet mesurable sur la variance, de sorte que toute différence entre les estimations de l’erreur-type calculées avec et sans mise en grappes est attribuable à un bruit aléatoire ou à des biais asymptotiques qui ne sont effectivement pas ignorables dans les estimations finies.

3.4  Un seuil diagnostique hybride

Considérons l’hybride qui suit des estimateurs par probabilité et par seuil diagnostique classique. Supposons que nous ayons trié l’échantillon de la NSDUH plutôt que simplement le sous-échantillon de la MHSS en fonction des valeurs de $p_k$ prédites, et que nous ayons établi un seuil diagnostique hybride $p_H$ tel que l’expression

$${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}k\in S\\ p_k\ge p_H\end{array}}{w}_k}={\displaystyle \sum _{k\in S}{w}_k{p}_k}(3.7)$$

soit vérifiée le plus étroitement possible. En posant que $h_k=1$ quand $p_k>p_H$ et 0 autrement, l’estimateur par seuil diagnostique hybride de la prévalence de la MMG dans un domaine est

$${\overline{y}}_{H\left(d\right)}=\frac{{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{h}_k{d}_k}}{{\displaystyle {\sum }_S{w}_k{d}_k}}.(3.8)$$

Il n’est pas difficile de voir que, pour l’ensemble des adultes, si l’on peut trouver une valeur de $p_H$ qui satisfait l’équation (3.7), alors l’estimateur par seuil diagnostique hybride sera exactement égal à l’estimateur par probabilité. Sinon, l’estimateur par seuil diagnostique hybride pour l’ensemble des adultes aura un léger biais, qui pourra être mesuré, élevé au carré, puis ajouté à l’erreur-type de l’estimateur par probabilité pour égaler la racine carrée de son erreur quadratique moyenne. Dans ces conditions, l’estimation hybride de la prévalence de la MMG pour l’ensemble des adultes s’arrondit à 3,89. La racine carrée de son erreur quadratique moyenne s’arrondit à la même valeur que l’erreur-type de l’estimateur par probabilité (0,23).

Le tableau 3.3 répète en grande partie le tableau 3.2 pour l’estimateur par seuil diagnostique classique, mais donne aussi les résultats pour l’estimateur hybride

$$\left(Mesuredubiais\left({\overline{y}}_{H\left(d\right)}\right)\right)={\displaystyle {\sum }_S{\omega }_k\left(y_k-h_k\right)d_k}/{\displaystyle {\sum }_S{\omega }_k{d}_k}.(3.9)$$

L’erreur-type de ce dernier est calculée de manière analogue à celles de ${\overline{y}}_{C\left(d\right)}$ et ${\overline{y}}_{P\left(d\right)}\text{}.$ Les deux ensembles de résultats fondés sur les seuils diagnostiques sont similaires, mais la mesure du biais pour l’estimateur hybride diffère de manière significative de zéro au seuil de signification de 0,05 dans deux domaines (tous deux avec une valeur $p$ de 0,043). Puisque 32 domaines sont analysés, ce résultat demeure concordant avec l’hypothèse nulle d’absence de biais au niveau du domaine.

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