Théorie et méthodologie des enquêtes par sondage : orientations passées, présentes et futures
Section 3. Problèmes d’inférence : 1950 -
3.1 Fondements théoriques
Des tentatives ont eu lieu en vue d’intégrer la théorie des enquêtes par sondage à l’inférence statistique traditionnelle en se servant de la fonction de vraisemblance. Godambe (1966) a montré que la fonction de vraisemblance issue de l’ensemble complet de données d’échantillon, y compris les étiquettes, en considérant le vecteur des valeurs de population inconnues comme étant le paramètre, ne fournit aucun renseignement sur les valeurs non échantillonnées ni, donc, sur le total ou la moyenne de population. Cet aspect non informatif de la fonction de vraisemblance est dû à l’inclusion des étiquettes dans l’ensemble de données, ce qui rend l’échantillon unique. Une autre route fondée sur le plan de sondage ne tient pas compte de certains aspects des données d’échantillon afin de rendre l’échantillon non unique et, donc, arriver à des fonctions de vraisemblance informatives (Hartley et Rao, 1968; Royall, 1968). Cette approche de la vraisemblance non paramétrique est similaire à l’approche de la vraisemblance empirique (VE) populaire à l’heure actuelle en inférence statistique classique (Owen, 1988). L’approche de la vraisemblance empirique a été appliquée récemment aux problèmes d’échantillonnage pour estimer non seulement les totaux et les moyennes, mais aussi des paramètres plus complexes. Ainsi, les efforts d’intégration à la statistique classique ont été partiellement fructueux.
L’approche dépendante d’un modèle offre un autre chemin vers l’inférence à partir de données d’enquêtes. Cette approche requiert que la structure de la population obéisse à un modèle de superpopulation spécifié. La distribution induite par le modèle supposé sert de base pour les inférences (Brewer, 1963 et Royall, 1970). Ce genre d’inférences conditionnelles (à l’échantillon) peut être intéressant. Cependant, les estimateurs résultants sont parfois non convergents par rapport au plan et, par conséquent, peuvent donner de mauvais résultats pour les grands échantillons si la spécification du modèle est incorrecte (Hansen, Madow et Tepping, 1983).
Une approche hybride, appelée approche assistée par modèle, vise à combiner les caractéristiques désirables des méthodes fondées sur le plan de sondage et de celles dépendantes d’un modèle; consulter Cassel, Särndal et Wretman (1976). Cette approche comprend habituellement l’utilisation de données ne provenant pas de la collecte des données, appelées données auxiliaires. Les procédures qui font appel à des données auxiliaires comprennent l’estimation par la régression, l’estimation par le ratio et le raking (ou méthode de ratissage), c’est-à-dire des méthodes avec estimateurs linéaires en la variable d’intérêt. La force des estimateurs utilisant de l’information auxiliaire, particulièrement les estimateurs par régression, a été reconnue très tôt (Cochran, 1953). Au cours des années 1970, grâce à la puissance des ordinateurs, l’estimation par la régression est devenue réalisable, mais pour être acceptable dans les enquêtes à grande échelle, il faut que les poids de régression ne soient pas négatifs. Une première définition des poids non négatifs figure dans Huang et Fuller (1978). Deville et Särndal (1992) ont donné une méthode générale de construction des poids pour des estimateurs convergents par rapport au plan. Les méthodes assistées par modèle ne concernent que les estimateurs du total convergents par rapport au plan qui sont également sans biais sous le modèle pour un modèle de travail. Cette approche est utile pour les grands échantillons et aboutit à des inférences fondées sur le plan de sondage acceptables, indépendamment de la validité du modèle de travail. Cependant, l’efficacité des estimateurs dépend du degré auquel le modèle de travail s’approche de la vraie structure de population. La catégorie la plus répandue d’estimateurs assistés par modèle est celle des estimateurs par la régression généralisée (GREG) qui sont mis en œuvre dans les progiciels pour données d’enquêtes.
Les résultats théoriques concernant l’échantillonnage probabiliste mettent l’accent sur les deux premiers moments de la statistique d’échantillon. Des théorèmes centraux limites ont été utilisés pour justifier des intervalles de confiance fondés sur la normalité. Un des premiers théorèmes centraux limites pour des échantillons aléatoires simples est celui de Madow (1948). Hájek (1960) a donné un théorème central limite pour l’échantillonnage aléatoire simple et un théorème pour l’échantillonnage réjectif dans Hájek (1964). Bickel et Freedman (1984) ont donné un théorème central limite pour l’échantillonnage aléatoire stratifié. Une publication récente prend en considération des séries de populations finies fixes ainsi que des séries de populations finies qui sont des échantillons tirés d’une superpopulation (Fuller, 2009b, section 1.3.2).
Durant les années 1930 et les années 1940, le coût de l’estimation de la variance était très élevé, presque prohibitif, et il demeure élevé aujourd’hui. Dès le départ, le rééchantillonnage a été adopté comme méthode efficace d’estimation de la variance. Ainsi que nous l’avons mentionné, Mahalanobis (1939, 1946) a proposé une forme précoce de rééchantillonnage, qu’il a appelé échantillons « interpénétrants » et que des auteurs ultérieurs ont appelé « groupes aléatoires ». La méthode des groupes aléatoires fondés sur des demi-échantillons a été utilisée par le U.S. Census Bureau dans les années 1950 et 1960. McCarthy (1966, 1969) a développé et décrit l’estimation de la variance pour les demi-échantillons équilibrés. Voir aussi Kish et Frankel (1970). Wolter (2007) présente une discussion élaborée sur les demi-échantillons équilibrés. Voir aussi Dippo, Fay et Morgenstein (1984), Kish et Frankel (1974), Krewski et Rao (1981), et Rao et Shao (1999). Le jackknife et le bootstrap sont les versions courantes des premières procédures de rééchantillonnage. Wolter (2007, chapitre 4) attribue à Durbin (1959) la première utilisation du jackknife dans l’estimation sur population finie. L’utilisation du bootstrap dans les conditions classiques remonte à Efron (1979), mais son application aux échantillons tirés avec probabilités inégales et aux populations finies n’a pas été immédiate. Parmi le grand nombre d’articles traitant du jackknife et du bootstrap pour les échantillons d’enquête figurent ceux de McCarthy et Snowden (1985), qui présentent une première version de l’échantillonnage avec remise, et de Rao et Wu (1988), qui décrivent un bootstrap modifié fondé sur un « rééchelonnement » (rescaling) des poids pour les échantillons d’enquête. Sitter (1992) a abordé plusieurs questions et, notamment, a fait des suggestions pour obtenir des tailles d’échantillon entières. Antal et Tillé (2011) ont exposé des méthodes bootstrap appropriées pour une grande gamme de plans de sondage, y compris l’échantillonnage de Poisson. Beaumont et Patak (2012) ont proposé des procédures bootstrap générales.
3.2 Usage analytique des données d’enquêtes
Comme nous l’avons souligné, les premiers travaux sur l’échantillonnage probabiliste étaient axés sur les totaux et les moyennes, et bon nombre de procédures d’estimation ont été élaborées pour la statistique officielle. Cependant, dès le début, les spécialistes des sciences sociales ont utilisé des échantillons d’enquête pour obtenir des réponses aux questions dans ce domaine applicables au-delà de la population finie échantillonnée. Deming et Stephan (1940) et Deming (1953) ont tenu compte explicitement de la différence entre les usages « énumératif » et « analytique » des données d’enquête et de recensement; voir aussi Hartley (1959). Les estimations analytiques sont parfois appelées estimations pour une superpopulation. Les premiers analystes traitaient souvent les données d’enquête par sondage comme provenant d’un échantillon aléatoire simple et construisaient des estimations sur cette base. Puisque ne pas tenir compte du plan de sondage pouvait introduire un biais, une théorie de l’estimation a été élaborée pour les estimations analytiques. L’une de ses composantes consistait en des tests pour évaluer les effets des poids sur les estimations; voir DuMouchel et Duncan (1983), Fuller (1984), et Korn et Graubard (1995). Une deuxième composante était l’élaboration d’une théorie fondée sur le plan de sondage pour les statistiques compliquées. Voir Fuller (1975), Rao et Scott (1981, 1984), ainsi que Binder et Roberts (2003). La troisième composante consistait à intégrer le plan de sondage dans le modèle (Skinner, 1994 et Pfeffermann et Sverchkov, 1999). Il existe aujourd’hui un certain nombre de progiciels (SAS, SUDAAN, R, STATA) pour calculer les statistiques et les erreurs-types fondées sur l’approche probabiliste. Nombre des algorithmes remontent aux travaux effectués à la Iowa State University (Hidiroglou, Fuller et Hickman, 1976).
3.3 Données manquantes
Presque tous les échantillons (et toutes les expériences) présentent des données manquantes ou incorrectes. Dans le cas des enquêtes par sondage, les données manquantes sont réparties en deux catégories, à savoir les unités manquantes (non-réponse totale) et les questions manquantes (non-réponse partielle), l’expression unité manquante signifiant que tous les items (variables) manquent dans l’enregistrement de la réponse de l’unité. L’ensemble de monographies publié par Madow, Nisselson et Olkin (1983) témoigne de l’importance des données manquantes dans les études par sondage. L’une des méthodes de traitement des données manquantes se résumait à communiquer la nature et le nombre des items manquants et à totaliser les items restants. Au début, cette méthode était courante, mais l’hypothèse implicite d’interchangeabilité sur laquelle elle reposait n’était pas souvent raisonnable. Une des premières méthodes de correction de la non-réponse totale consistait à utiliser un répondant de substitution, ce qui revenait souvent à interviewer une personne « proche » du non-répondant. Une modification courante à l’étape de l’analyse était, et demeure, la poststratification (Deming, 1953; Thomsen, 1973; Kalton, 1983 et Jagers, 1986). Dans la littérature sur les données manquantes, les poststrates sont souvent appelées cellules. Les estimateurs par la régression, qui sont des extensions directes des estimateurs de cellule, représentent une méthode importante de correction des données manquantes (Fuller et An, 1998). Les méthodes de pondération en vue de traiter la non-réponse totale sont passées en revue par Brick et Montaquila (2009).
Diverses formes d’imputation pour corriger la non-réponse partielle ont été appliquées au fil du temps, l’imputation étant effectuée manuellement avant l’usage des ordinateurs. L’une des premières imputations formelles fondées sur un modèle et effectuées par ordinateur était la procédure d’imputation hot deck utilisée par le U.S. Census Bureau pour la Current Population Survey de 1947; voir la description dans Andridge et Little (2009). L’accroissement de la puissance de calcul et les progrès techniques (Little, 1982; Kalton et Kish, 1984; Rubin, 1974, 1976, 1987; Little et Rubin, 1987; Kim et Fuller, 2004) ont fait de l’imputation un élément standard de l’estimation sur des échantillons d’enquête et un domaine de recherche dynamique. Parmi les ouvrages récents à ce sujet, mentionnons Kim et Shao (2013) et Little et Rubin (2014).
3.4 Estimation sur petits domaines
L’usage croissant de modèles pour l’estimation sur petits domaines résulte de la conjonction de deux facteurs. Le premier est la demande d’estimations pour de petits domaines (par exemple, régions géographiques) pour la formulation de politiques, la répartition des fonds et la planification régionale. Le second est la grande erreur-type associée à de nombreux estimateurs de domaines sous le plan de sondage. Schaible (1996) et Purcell et Kish (1979) ont donné tôt des exemples d’estimation sur petits domaines; voir aussi Gonzalez (1973) et Steinberg (1979). Dès 1947, le U.S. Census Bureau utilisait des méthodes fondées sur un modèle pour l’estimation sur petits domaines (Hansen et coll., 1953; Vol. I, pages 483-486). Plus récemment, les modèles linéaires mixtes incluant des effets fixes et aléatoires ont pris de l’importance. Les premiers usages de modèles mixtes pour l’estimation sur petits domaines sont décrits dans Fay et Herriot (1979) et dans Battese, Harter et Fuller (1988). Certains ensembles d’estimations sur petits domaines peuvent être considérés comme une réaffectation des estimations de domaines, en maintenant l’estimation directe du total général convergente par rapport au plan. Les méthodes bayésiennes, en particulier les méthodes bayésiennes hiérarchiques, sont de plus en plus fréquemment utilisées, en raison de la capacité à traiter des modèles complexes; voir Rao et Molina (2015, chapitre 10). En raison de la demande croissante, les publications en la matière se sont multipliées et l’estimation sur petits domaines fait aujourd’hui l’objet d’assemblées de spécialistes fréquentes, ainsi que d’un livre (Rao, 2003) dont la seconde édition est parue récemment (Rao et Molina, 2015).
3.5 Pratiques des enquêtes
Les questions relatives aux plans de sondage et à l’estimation dont nous venons de discuter sont des aspects essentiels d’une opération d’enquête, mais ne représentent qu’une petite fraction de l’ensemble. La qualité du produit fini dépend des données qui figurent dans la base de sondage, de l’instrument de collecte, de la collecte, de la vérification et du traitement des données, ainsi que de la présentation des résultats. De nombreuses sources d’erreur sont difficiles à mesurer, mais les concepteurs des enquêtes font des estimations de coût implicites quand ils répartissent les ressources entre les différents volets de l’opération d’enquête. Groves et Lyberg (2010) passent en revue les tentatives en vue d’énumérer les composantes de la qualité d’une enquête et de les regrouper sous un chapiteau unique. Ils attribuent à Deming (1944) une première description des sources d’erreur dans les enquêtes par sondage et décrivent les contributions de Dalenius (1974), Anderson, Kasper et Frankel (1979), Groves (1989), Biemer et Lyerg (2003), entre autres. Groves et Herringa (2006) ont proposé des outils de contrôle dynamique des erreurs et des coûts d’enquête qui permettent d’aboutir à des plans de collecte adaptatifs pour les enquêtes auprès des ménages. En particulier, les paradonnées (mesures concernant le processus de collecte des données d’enquêtes) peuvent servir à surveiller le travail sur le terrain, à décider quand il faut intervenir durant la collecte des données, et à traiter l’erreur de mesure, la non-réponse et les erreurs de couverture (Kreuter, 2013).
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