Inférence bayésienne prédictive sur une proportion sous un modèle double pour petits domaines avec corrélations hétérogènes
Section 4. Conclusion

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Afin d’ajouter un degré de flexibilité à nos analyses de données, nous avons étendu un modèle double homogène, décrit dans Nandram (2015), à un modèle double hétérogène. Ces modèles contiennent des paramètres faiblement identifiés qui posent de sérieux problèmes de calcul. Par conséquent, nous avons fait deux autres ajouts. Premièrement, nous avons introduit une contrainte unimodale sur les distributions bêta a priori. Deuxièmement, nous avons utilisé un échantillonneur de Gibbs par blocs pour effectuer les calculs. Pour comparer les modèles, nous avons procédé à une inférence bayésienne prédictive. À titre d’exemple, nous avons utilisé des données provenant de la TIMSS, une étude de la performance en mathématique des élèves américains de troisième année. En outre, nous avons effectué une étude en simulation pour comparer les deux modèles doubles.

Il est important de se servir du modèle hétérogène pour modéliser le plan d’échantillonnage double, car dans de nombreuses applications, les corrélations intragrappe peuvent varier d’un domaine à l’autre, ce qui rend ce modèle plus approprié que le modèle double homogène. En effet, à l’aide d’un exemple et d’une étude en simulation avec application de plusieurs critères diagnostiques, nous avons montré qu’il convient de préférer le modèle double hétérogène au modèle double homogène quand les corrélations varient considérablement.

Nos travaux peuvent s’étendre afin de prendre en compte des données binaires multivariées. Cela peut se concevoir comme un problème de groupement de données provenant de distributions multinomiales pour faire des inférences sur des proportions de la population finie. Par exemple, dans le cas de la TIMSS, nous pouvons utiliser les notes de mathématique et de science en tant que réponses binaires bivariées (corrélation). Nous pouvons alors élaborer un modèle hiérarchique bayésien pour les réponses multinomiales et une distribution de Dirichlet a priori pour modéliser les probabilités dans les cellules. Dans le cadre de cette étude, nous pouvons nous attaquer à deux questions. D’abord, nous pouvons examiner dans quelle mesure la prédiction sera améliorée si l’on utilise les données multivariées. Nous pouvons également étudier dans quelle mesure la précision de l’inférence augmentera si l’on privilégie un modèle avec corrélations intragrappe hétérogènes plutôt qu’un modèle avec corrélation homogène en ce qui a trait aux données multivariées.

Remerciements

Les auteurs remercient les deux examinateurs pour leur lecture attentive du manuscrit et leurs suggestions. Leurs travaux de recherche ont bénéficié du soutien financier du Basic Science Research Program par l’entremise de la National Research Foundation of Korea (NRF) financée par le ministère de l’Éducation (NRF-2014R1A1A2058954). Les travaux ont également été financés par une bourse de la Simons Foundation (#353953, Balgobin Nandram).

Annexe A

Preuves des formules (2.12) et (2.13)

Il est facile de montrer que

$$\begin{array}{ll}\text{Cov}\left(y_{ijk}\mathrm{,}{y}_{ij{k}^{\prime }}|{\mu }_i\mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\text{Var}\left(p_{ij}|{\mu }_i\mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }_i\left(1-{\mu }_i\right){\rho }_i\mathrm{,}\hfill \\ \text{Var}\left(y_{ijk}|{\mu }_i\mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\hfill & =E\left[\text{Var}\left(y_{ijk}|p_{ij}\mathrm{,}{\mu }_i\mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\right]+\text{Var}\left[E\left(y_{ijk}|p_{ij}\mathrm{,}{\mu }_i\mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\right]\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & =E\left(p_{ij}|{\mu }_i\mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\left[1-E\left(p_{ij}|{\mu }_i\mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\right]={\mu }_i\left(1-{\mu }_i\right).\hfill \end{array}$$

Donc, $\text{Cor}\left(y_{ijk}\mathrm{,}{y}_{ij{k}^{\prime }}|{\mu }_i\mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\rho }_i\left(k\ne k^{\prime }\right)\mathrm{,}$ ce qui prouve (2.12).

De même, il est facile de montrer que

$$\begin{array}{ll}\text{Cov}\left(y_{ijk},y_{i{j}^{\prime }{k}^{\prime }}|\theta \mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}E\left[\text{Cov}\left(p_{ij},p_{i{j}^{\prime }}|{\mu }_i\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\right]\hfill \\ \hfill & +\text{Cov}\left[E\left(p_{ij}|{\mu }_i\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right),E\left(p_{i{j}^{\prime }}|{\mu }_i\mathrm{,}\theta \mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\right]\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\text{Var}\left({\mu }_i|\theta \mathrm{,}\gamma \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\theta \left(1-\theta \right)\gamma \mathrm{,}\hfill \\ \text{Var}\left(y_{ijk}|\theta \mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}E\left({\mu }_i|\theta \mathrm{,}\gamma \right)-{\left[E\left({\mu }_i|\theta \mathrm{,}\gamma \right)\right]}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\theta \left(1-\theta \right)\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Donc, $\text{Cor}\left(y_{ijk},y_{i{j}^{\prime }{k}^{\prime }}|\theta \mathrm{,}\gamma \mathrm{,}{\rho }_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\gamma \left(j\ne j^{\prime }\mathrm{,}k\ne k^{\prime }\right),$ ce qui prouve (2.13).

Annexe B

Calculs avec contraintes d’unimodalité

Il est bien connu qu’une densité de probabilité bêta de paramètres $\alpha$ et $\beta$ est unimodale si $\alpha \mathrm{<mo>></mo>\; 1}$ et $\beta \mathrm{<mo>></mo>\; 1.}$ Cela peut s’établir facilement en faisant appel au calcul infinitésimal. Dans notre cas, $\mu |\theta \mathrm{,}\gamma \sim \text{Bêta}\left\{\theta \frac{\left(1-\gamma \right)}{\gamma }\mathrm{,}\left(1-\theta \right)\frac{\left(1-\gamma \right)}{\gamma }\right\}.$ Donc, nous avons deux inégalités,

et des calculs algébriques simples donnent

$$\frac{\gamma }{1-\gamma }\mathrm{<mo><</mo>}\theta \mathrm{<mo><</mo>}\frac{1-2\gamma }{1-\gamma }\mathrm{,}\mathrm{0\; <mo><</mo>}\gamma \mathrm{<mo><</mo>}\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Ensuite, décrivons brièvement la façon d’appliquer ces contraintes aux calculs dans le modèle double avec corrélations hétérogènes. Rappelons la distribution marginale conditionnelle a posteriori de  $\gamma ,$

$$p\left(\gamma |\rho ,\varphi ,\delta ,y\right)\approx {\displaystyle \sum _{g\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^G{\omega }_{g}p}\left(x_g,\gamma |\rho ,\varphi ,\delta ,y\right),$$

où $\left\{{\omega }_g\right\}$ sont les poids et $\left\{x_g\right\}$ sont les racines du polynôme de Legendre. Ici, nous utilisons la méthode à grille univariée pour échantillonner $\gamma .$ Donc, nous divisons l’intervalle $\left(0,\frac{1}{3}\right),$ la première contrainte, en G1 sous-intervalles $\left[{\gamma }_0\mathrm{,}{\gamma }_1\right),\left[{\gamma }_1\mathrm{,}{\gamma }_2\right),\dots ,\left[{\gamma }_{G1-1}\mathrm{,}{\gamma }_{G1}\right].$ Pour un nombre aléatoire uniforme, $u^{*},$ provenant de toute grille, disons, $\left[{\gamma }_{\nu -1}\mathrm{,}{\gamma }_{\nu }\right),$ nous calculons la hauteur, c’est-à-dire la valeur de la fonction de densité marginale conditionnelle a posteriori de $\gamma$ sous la forme

$$\frac{1-3u^{*}}{1-u^{*}}{\displaystyle \sum _{g\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{G^{*}}{\omega }_g^{*}p\left(x_g^{*},u^{*}|\rho ,\varphi ,\delta ,y\right),}$$

où $\left\{{\omega }_g^{*}\right\}$ sont les poids et $\left\{x_g^{*}\right\},$ les racines du polynôme de Legendre sur l’intervalle $\left[\frac{u^{*}}{1-u^{*}},\frac{1-2u^{*}}{1-u^{*}}\right],$ la deuxième contrainte. De même, nous pouvons appliquer le critère d’unimodalité à l’échantillon $\left(\varphi \mathrm{,}\delta \right).$

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