Inférence bayésienne prédictive sur une proportion sous un modèle double pour petits domaines avec corrélations hétérogènes
Section 3. Étude numérique et comparaisons

• Précédent
• Suivant

À la présente section, nous procédons à des études empiriques pour évaluer la performance du modèle CHE que nous comparons au modèle CHO. À la section 3.1, nous donnons un exemple et à la section 3.2, nous présentons une étude en simulation.

3.1 Un exemple

Nous utilisons des données recueillies auprès de la population d’élèves de troisième année aux États-Unis; voir Nandram (2015) pour une brève discussion de ces données. L’ensemble de données, recueilli en 1999, a trait à 2 477 élèves qui ont participé à la Third International Mathematics and Science Study (TIMSS). Foy, Rust, et Schleicher (1996) ont décrit le plan d’échantillonnage systématique avec probabilité proportionnelle à la taille (PPT) utilisé pour la collecte des données de la TIMSS, et Caslyn, Gonzales et Frase (1999) ont présenté les faits saillants de l’enquête. Les domaines sont formés en recoupant quatre régions (nord-est, sud, centre et ouest) et trois types de collectivité des États-Unis (village ou région rurale, périphérie d’une ville, et proximité du centre d’une ville). Donc, il y a douze domaines. La variable binaire est la question de savoir si la note de mathématique de l’élève est ou non inférieure à la moyenne. Les grappes sont les écoles, tandis que les unités dans les grappes sont les élèves.

Pour évaluer la qualité de l’inférence bayésienne prédictive, comme l’a suggéré un examinateur, Nandram (2015) a pris un échantillon correspondant à la moitié des données originales et l’a appelé échantillon synthétique. L’échantillon original a servi de population, et le demi-échantillon a été utilisé pour l’analyse, ce qui a fourni une méthode pour évaluer le pouvoir prédictif des modèles dans Nandram (2015). Dans le présent article, comme l’a proposé un examinateur, au lieu d’utiliser un demi-échantillon, nous nous servons de l’ensemble de données original à notre disposition; voir le tableau 3.1 pour la description de l’ensemble de données complet que nous analysons dans le présent article. Nous évaluons principalement le pouvoir prédictif du modèle CHE au moyen de l’étude en simulation.

Malheureusement, comme dans le cas de nombreuses enquêtes complexes, les analystes des données secondaires ne connaissent pas les fractions d’échantillonnage. Cependant, pour nombre de ces enquêtes, les fractions d’échantillonnage sont habituellement relativement faibles. Dans le cas des données de la TIMSS, nous supposons que l’ensemble de données est un échantillon de 5 % de la population. Par exemple, si quatre écoles sont échantillonnées pour un domaine, disons le $i^{\text{e}}$ domaine $\left(i\mathrm{<mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>=<mtext>\hspace{0.17em}</mtext></mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l\right),$ le nombre total de grappes, $M_i,$ est supposé être 80. Si 17 élèves sont observés dans une école échantillonnée, disons la $j^{\text{e}}$ école, le nombre total d’élèves, $N_{ij}\left(j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{m}_i\right),$ est supposé être 340. Pour les écoles non échantillonnées, $N_{ij}\left(j\mathrm{<mo>=</mo>}{m}_i+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}{M}_i\right)$ est supposé être la moyenne du nombre total d’élèves dans les écoles échantillonnées pour chaque domaine. En outre, dans de nombreuses écoles, beaucoup d’élèves, voire tous, étaient soit en dessous soit au-dessus de la moyenne. Cet ensemble de données est donc très épars, ce qui rend l’estimation directe difficile.

Nous appliquons trois procédures d’évaluation de la qualité de l’ajustement des modèles, à savoir le critère d’information de Déviance (DIC pour Deviance information criterion), la valeur p prédictive a posteriori bayésienne (BPP pour Bayesian posterior predictive $p-$  value) et le logarithme de la pseudo-vraisemblance marginale (LPML pour Log pseudo marginal likelihood), qui est une mesure fondée sur la même procédure de validation croisée avec suppression d’une unité (leave-one-out). Nous pouvons évaluer l’ajustement global des modèles au moyen de ces procédures.

Dans le modèle CHE, $s_{ij}|p_{ij}\stackrel{\text{ind}}{\sim }\text{Binomiale}\left(n_{ij}\mathrm{,}{p}_{ij}\right)\mathrm{,\; <mtext>\hspace{0.17em}</mtext>\; <mi>\; </mi>}{p}_{ij}\stackrel{\text{ind}}{\sim }\text{Bêta}\left({\mu }_i\left(1-{\rho }_i\right)/{\rho }_i\mathrm{,}\left(1-{\mu }_i\right)\left(1-{\rho }_i\right)/{\rho }_i\right).$ Donc, en éliminant les $p_{ij}$ par intégration, nous pouvons obtenir la fonction de masse de probabilité bêta-binomiale suivante,

$$f\left(s|\mu \mathrm{,}\rho \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{m_i}}\left(\begin{array}{l}\begin{array}{l}{n}_{ij}\hfill \\ s_{ij}\hfill \end{array}\hfill \end{array}\right)\frac{B\left(s_{ij}+{\mu }_i\left(1-{\rho }_i\right)/{\rho }_i\mathrm{,}{n}_{ij}-s_{ij}+\left(1-{\mu }_i\right)\left(1-{\rho }_i\right)/{\rho }_i\right)}{B\left({\mu }_i\left(1-{\rho }_i\right)/{\rho }_i\mathrm{,}\left(1-{\mu }_i\right)\left(1-{\rho }_i\right)/{\rho }_i\right)}.$$

Il est également vrai que $E\left(s_{ij}|{\mu }_i\mathrm{,}{\rho }_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_{ij}{\mu }_i$ et $\text{Var}\left(s_{ij}|{\mu }_i\mathrm{,}{\rho }_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_{ij}\left\{1+\left(n_{ij}-1\right){\rho }_i\right\}{\mu }_i\left(1-{\mu }_i\right).$

Soit ${\mu }_i^{\left(h\right)}$ et ${\rho }_i^{\left(h\right)}$ $\left(i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l\mathrm{,}h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}H\right)$ les itérations provenant de l’échantillonneur de Gibbs par blocs. Soit ${\overline{\mu }}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H{\mu }_i^{\left(h\right)}/H}\left(i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l\right)$ et ${\overline{\rho }}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H{\rho }_i^{\left(h\right)}/H}.$ En posant que $D\left(\overline{\mu },\overline{\rho }\right)=-2\log \left\{p\left(s|\overline{\mu },\overline{\rho }\right)\right\}$ et $\overline{D}\mathrm{<mo>=</mo>}-2{\displaystyle {\sum }_{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H\text{log}\left\{p\left(s|{\mu }^{\left(h\right)},{\rho }^{\left(h\right)}\right)\right\}/H},$ le critère d’information de déviance est donné par

$$\text{DIC}\mathrm{<mo>=</mo>\; 2}\overline{D}-D\left(\overline{\mu },\overline{\rho }\right)\mathrm{.}$$

Les modèles dont le DIC est petit sont préférés à ceux dont le DIC est grand. Cependant, puisque le critère DIC a tendance à sélectionner des modèles surajustés, Nandram (2015) a décrit les valeurs  $p$ prédictives bayésiennes comme auxiliaire. Pour le modèle CHE, la fonction de divergence est

$$T\left(s;\mu ,\rho \right)={\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{m_i}}\frac{{\left\{s_{ij}-E\left(s_{ij}|{\mu }_i,{\rho }_i\right)\right\}}^2}{\text{Var}\left(s_{ij}|{\mu }_i,{\rho }_i\right)}.$$

Soient $s^{\left(\text{rep}\right)}$ les échantillons répétés (rep) tirés de la distribution prédictive a posteriori de $s.$ Alors, le critère BPP est $p\left\{T\left(s^{\left(\text{rep}\right)};\mu ,\rho \right)\ge T\left(s^{\left(\text{obs}\right)};\mu ,\rho \right)|s\right\},$ ce qui est calculé sur ses itérations correspondantes $\left({\mu }^{\left(h\right)},{\rho }^{\left(h\right)}\right),h=1,\dots ,H.$ Une valeur de cette probabilité proche de 0 ou de 1 indique un mauvais ajustement du modèle. En fait, les modèles dont le BPP est compris dans l’intervalle (0,05; 0,95) sont considérés comme étant raisonnables.

En plus de ces quantités, nous pouvons évaluer la qualité de l’ajustement des modèles au moyen d’une autre mesure, le LPML, qui est une statistique sommaire des valeurs de l’ordonnée prédictive conditionnelle (CPO pour Conditional predictive ordinate), et est fondée sur une validation croisée. Contrairement au critère DIC, de grandes valeurs du LPML indiquent un meilleur ajustement des modèles (par exemple, Geisser et Eddy 1979).

Dans le cas du modèle CHE, le critère CPO peut être estimé par

$${\widehat{\text{CPO}}}_{ij}={\left[\frac{1}{H}{\displaystyle \sum _{h=1}^H\frac{1}{f\left(s_{ij}|p_{ij}^{\left(h\right)}\right)}}\right]}^{-1}\text{},j=1,\dots ,m_i,i=1,\dots ,l,$$

où $p_{ij}^{\left(h\right)}$ représente les échantillons tirés de $p_{ij}|s_{ij}\mathrm{,}{\mu }_i\mathrm{,}{\rho }_i$ et $s_{ij}|p_{ij}\stackrel{\text{iid}}{\sim }\text{Binomiale}\left(n_{ij}\mathrm{,}{p}_{ij}\right).$ Notons que, pour chaque $\left(i\mathrm{,}j\right),$ ${\widehat{\text{CPO}}}_{ij}$ est la moyenne harmonique des vraisemblances $f\left(s_{ij}|p_{ij}^{\left(h\right)}\right)\mathrm{,\; <mtext>\hspace{0.17em}</mtext>\; <mi>\; </mi>}h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}H.$ Alors, le LPML est donné par

$$\text{LPML}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^l}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{m_i}\log \left({\widehat{\text{CPO}}}_{ij}\right)}\mathrm{.}$$

Ces trois mesures d’évaluation des modèles ont des formes similaires sous le modèle CHO. Pour le modèle CHO (CHE), DIC = 774,421 (773,173), BPP = 0,349 (0,408), LPML = -352,064 (-346,171), ce qui indique que le modèle CHE donne un meilleur ajustement. À un niveau de détail plus fin, nous avons également examiné les valeurs de CPO individuelles provenant des deux modèles pour chaque école. À la figure 3.1, nous comparons les CPO pour les modèles CHE et CHO, et nous constatons qu’en général, les valeurs de CPO sont plus élevées pour le modèle CHE que pour le modèle CHO. En fait, sous le modèle CHO (CHE), nous avons constaté que le pourcentage des valeurs de CPO inférieures à 0,025 est de 3,70 % (2,96 %) et que le pourcentage des valeurs de CPO inférieures à 0,014 est de 0,74 % (0,00 %). Ces résultats ne donnent aucun indice d’un écart important par rapport aux hypothèses de modélisation; voir Ntzoufras (2009). Par conséquent, à première vue, ces mesures donnent des preuves que le modèle CHE est un peu mieux ajusté aux données de la TIMSS que le modèle CHO.

Considérons maintenant l’inférence au sujet de $\theta$ et $\gamma .$ Examinons d’abord $\theta .$ Sous le modèle CHO, la moyenne a posteriori (MP) vaut 0,519, l’écart-type a posteriori (ETP) vaut 0,068 et l’intervalle de crédibilité à 95 % (Cre) est (0,390; 0,639). Sous le modèle CHE, MP = 0,515, ETP = 0,065 et Cre à 95 % est (0,383; 0,639). Ensuite, examinons $\gamma .$ Sous le modèle CHO, MP = 0,207, ETP = 0,011 et Cre à 95 % est (0,190; 0,224). Sous le modèle CHE, MP = 0,208, ETP = 0,011 et Cre à 95 % est (0,190; 0,225). Donc, il est bon de constater que les inférences au sujet de $\theta$ et $\gamma$ sont très proches pour les deux modèles concurrents (modèles CHO et CHE).

Au tableau 3.2, nous présentons l’inférence a posteriori sur les proportions dans la population finie pour les notes de mathématique par domaine. Des différences existent entre les moyennes a posteriori sous les modèles CHO et CHE. La plupart sont faibles, mais quelques-unes sont grandes. Pour les domaines NC, SR et CR, nous avons 0,560 (0,543), 0,568 (0,584) et 0,465 (0,445) sous le modèle CHO (CHE), respectivement. Les écarts-types a posteriori sont également proches, mais il existe quelques différences modérément grandes (par exemple, pour NR, nous avons 0,113 sous le modèle CHO et 0,077 sous le modèle CHE). Les intervalles de crédibilité (Cre) et de densité a posteriori la plus grande (DPPG) reflètent ces différences.

Le tableau 3.3 donne les valeurs sommaires de MP, ETP et DPPG à 95 % pour les corrélations intragrappe sous le modèle CHE. Nous voyons que les corrélations intragrappe varient d’un domaine à l’autre. L’estimation la plus élevée est 0,337 pour NC et la plus faible est 0,073 pour SR. Ces deux domaines présentent quelques grandes différences entre les moyennes a posteriori sous les modèles CHO et CHE. L’intervalle DPPG à 95 % pour la corrélation commune dans le modèle CHO, qui est (0,160; 0,260), est contenu par tous les intervalles, sauf ceux pour NR, NC, SR et OC. Donc, il est raisonnable d’étudier le modèle CHE.

À la figure 3.2, nous comparons les densités a posteriori des corrélations intragrappe pour le modèle CHE (douze corrélations) et le modèle CHO (une corrélation). Les distributions sous le modèle CHE sont plus variables, et elles se situent principalement à la gauche ou à la droite de celles sous le modèle CHO, le chevauchement étant faible pour certains domaines (par exemple, NR, NC et SR).

Aux figures 3.3, 3.4 et 3.5, nous comparons les courbes des densités a posteriori des proportions de la population finie pour les notes de mathématique par domaine pour les deux modèles. Des différences appréciables s’observent entre les modèles CHO et CHE (par exemple, domaines NR, NC, SR, CR et OC).

3.2 Étude en simulation

Une étude en simulation nous permet de poursuivre l’évaluation de la performance du modèle CHE en vue de la comparer à celle du modèle CHO. Ici, nous utilisons deux facteurs, présentant chacun trois niveaux, pour obtenir neuf points de référence.

Nous avons fixé à 100 le nombre de grappes (écoles) dans chaque domaine et à 15 le nombre d’individus (élèves) dans chaque grappe. Autrement dit, nous prenons $N_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>\; 15\; <mtext>\hspace{0.17em}</mtext>\; ,}j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{M}_i\mathrm{,\; <mtext>\hspace{0.17em}</mtext>\; <mi>\; </mi>}{M}_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 100,\; <mtext>\hspace{0.17em}</mtext>\; <mi>\; </mi>}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l$ où $l\mathrm{<mo>=</mo>\; 12.}$ Désignons par $a$ un vecteur de moyennes a posteriori et par $b$ , le vecteur des écarts-types a posteriori correspondant aux ${\mu }_i$ ou aux ${\rho }_i.$ Plus précisément, pour les ${\rho }_i$ nous utilisons $a_1$ et $b_1,$ et pour les ${\mu }_i$ nous utilisons $a_2$ et $b_2.$ Quand nous simulons les données à partir du modèle CHE, les niveaux des ${\rho }_i$ sont $\left(1:a_1-0,5b_1;2:a_1;3:a_1+0,5b_1\right)$ et les niveaux des ${\mu }_i$ sont $\left(1:a_2-0,5b_2;2:a_2;3:a_2+0,5b_2\right).$ Pour les douze domaines, $a_1$ prend les valeurs 0,09; 0,19; 0,32; 0,08; 0,22; 0,18; 0,15; 0,22; 0,23; 0,17; 0,18; 0,30; $b_1$ prend les valeurs 0,08; 0,09; 0,08; 0,06; 0,07; 0,08; 0,13; 0,09; 0,07; 0,09; 0,07; 0,06; $a_2$ prend les valeurs 0,53; 0,37; 0,54; 0,58; 0,54; 0,65; 0,46; 0,44; 0,55; 0,46; 0,52; 0,66; et $b_2$ prend les valeurs 0,08; 0,08; 0,08; 0,06; 0,06; 0,06; 0,12; 0,09; 0,07; 0,08; 0,06; 0,05.

Nous tirons aussi un échantillon aléatoire simple de cinq grappes parmi les 100 grappes de la population, ainsi qu’un échantillon aléatoire simple de dix individus dans chaque grappe échantillonnée (c’est-à-dire $m_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 5}$ et $n_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>\; 10}).$ Ces nombres sont nettement plus faibles que ceux pour les données utilisées à la section 3.1, ce qui rend l’inférence un peu plus difficile (Nandram 2015). Notons que l’ensemble de données contient environ 7 % de grappes échantillonnées où tous les élèves étaient soit en dessous ou au-dessus de la moyenne. Nous nommons cette quantité le pourcentage de données éparses. La configuration de la présente étude en simulation donne lieu à des données encore plus éparses. Pour neuf points de référence, tous les pourcentages moyens de données éparses sont supérieurs à 7 % et la plupart sont de l’ordre de 10 %. La figure 3.6 montre les histogrammes des pourcentages de données éparses pour chaque point de référence.

Nous étudions deux scénarios. Dans le premier, nous générons des données à partir du modèle CHE et ajustons les deux modèles, et dans le second, nous générons des données à partir du modèle CHO et ajustons les deux modèles. Dans le cas des données simulées à partir du modèle CHE, nous avons neuf points de référence $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>\; <mo\; stretchy="false">(</mo>\; 1,1\; <mo\; stretchy="false">)</mo>\; ,\; <mo\; stretchy="false">(</mo>\; 1,2\; <mo\; stretchy="false">)</mo>\; ,\; <mo\; stretchy="false">(</mo>\; 1,3\; <mo\; stretchy="false">)</mo>\; ,}\dots \mathrm{,\; <mo\; stretchy="false">(</mo>\; 3,1\; <mo\; stretchy="false">)</mo>\; ,\; <mo\; stretchy="false">(</mo>\; 3,2\; <mo\; stretchy="false">)</mo>\; ,\; <mo\; stretchy="false">(</mo>\; 3,3\; <mo\; stretchy="false">)</mo>\; <mo\; stretchy="false">]</mo>},$ et le premier facteur correspond à ${\rho }_i.$ Quand nous simulons les données à partir du modèle CHO, nous avons trois points de référence $\left(1:a_2-\mathrm{0,5}{b}_2;2:a_2;3:a_2+\mathrm{0,5}{b}_2\right)$ pour les trois niveaux pour les ${\mu }_i;$ la valeur de $\rho$ est maintenue fixe à sa moyenne a posteriori.

Dans le premier scénario, à chaque point de référence, nous simulons des données binaires à partir du modèle CHE,

$$\begin{array}{ll}{p}_{ij}|{\mu }_i\mathrm{,}{\rho }_i\hfill & \stackrel{\text{ind}}{\sim }\text{Bêta}\left[{\mu }_i\frac{1-{\rho }_i}{{\rho }_i}\mathrm{,}\left(1-{\mu }_i\right)\frac{1-{\rho }_i}{{\rho }_i}\right]\mathrm{,}\hfill \\ y_{ijk}|p_{ij}\hfill & \stackrel{\text{ind}}{\sim }\text{Bernoulli}\left(p_{ij}\right)\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{N}_{ij}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Donc, nous avons les vraies valeurs de $P_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{M_i}}{\displaystyle {\sum }_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{N_{ij}}{y}_{ijk}/{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{M_i}{N}_{ij}}}$ pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l.$ Nous tirons 1 000 échantillons à chacun des neuf points de référence. Pour chaque échantillon, nous exécutons l’échantillonneur de Gibbs « à grille » par blocs de la même façon que pour les données.

Comme Nandram (2015), nous calculons ${\text{BA}}_{ih}\mathrm{<mo>=</mo>}\left|{\text{MP}}_{ih}-P_{ih}\right|\mathrm{,}{\text{ BAR}}_{ih}\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{BA}}_{ih}/P_{ih}$ et ${\text{REQMP}}_{ih}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{{\text{ETP}}_{ih}^2+{\text{BA}}_{ih}^2}$ pour étudier les propriétés fréquentistes de notre procédure $\left(i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}l\mathrm{,}h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}\text{1}\text{000}\right).$ Nous obtenons aussi les intervalles de crédibilité et DPPG à 95 % pour chacune des 1 000 exécutions de la simulation, et nous étudions la largeur $W_{ih}$ et l’incidence de crédibilité $I_{ih}.$ Si l’intervalle de crédibilité (ou DPPG) à 95 % de la $h^{\text{e}}$ exécution contient la valeur réelle $P_i,$ $I_{ih}$ est égale à un, sinon elle est nulle. Donc, le contenu probabiliste estimé de l’intervalle de crédibilité à 95 % pour le $i^{\text{e}}$ domaine est $C_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{\text{1}\text{000}}{I}_{ih}/\text{1}\text{000}}.$

Le tableau 3.4 donne la comparaison des modèles CHO et CHE. Les couvertures sont clairement plus élevées sous le modèle CHE que sous le modèle CHO. Notons que les couvertures des intervalles DPPG pour le modèle CHE sont nettement plus proches de la valeur nominale de 95 % et sont conservatrices. Cependant, les intervalles de crédibilité et DPPG à 95 % sont plus larges que sous le modèle CHO. Ces effets deviennent beaucoup plus importants à mesure que $\rho$ augmente. Les mesures BA, BAR et REQMP sont toutes plus petites sous le modèle CHE que sous le modèle CHO. Donc, en s’appuyant sur ces mesures, la préférence est donnée au modèle CHE plutôt qu’au modèle CHO.

Dans le tableau 3.5, nous comparons les données sommaires pour les critères DIC, BPP et LPML. Toutes les valeurs de DIC sous le modèle CHE sont plus faibles que les valeurs correspondantes sous le modèle CHO, et toutes les valeurs de LPML sous le modèle CHE sont plus grandes que celles sous le modèle CHO. Sous le modèle CHO, toutes les valeurs de BPP varient dans l’intervalle (0,06; 0,09), mais sous le modèle CHE, elles varient dans l’intervalle (0,2; 0,4). De nouveau, ces mesures montrent que le modèle CHE donne de meilleurs résultats que le modèle CHO.

De façon similaire, pour le deuxième scénario, nous générons des données binaires à partir de

$$\begin{array}{ll}{p}_{ij}|{\mu }_i\mathrm{,}\rho \hfill & \stackrel{\text{ind}}{\sim }\text{Bêta}\left[{\mu }_i\frac{1-\rho }{\rho }\mathrm{,}\left(1-{\mu }_i\right)\frac{1-\rho }{\rho }\right]\mathrm{,}\hfill \\ y_{ijk}|p_{ij}\hfill & \stackrel{\text{ind}}{\sim }\text{Bernoulli}\left(p_{ij}\right)\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}{N}_{ij}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Dans le tableau 3.6, nous comparons les modèles CHO et CHE. Ici, les critères BA, BAR et REQMP ne sont que légèrement plus faibles sous le modèle CHO. Les couvertures des intervalles de crédibilité et DPPG sous le modèle CHE s’approchent davantage de la valeur nominale de 95 %, tandis que celles sous le modèle CHO sont plus petites. Le tableau 3.7 donne les données sommaires pour les critères DIC, BPP et LPML. Toutes les valeurs de DIC sous le modèle CHE sont plus petites que sous le modèle CHO, tandis que les valeurs de BPP et de LPML sont similaires pour les deux modèles, celles obtenues sous le modèle CHO étant légèrement meilleures.

Donc, quand les données sont effectivement issues du modèle CHE, nous constatons certaines différences importantes entre les deux modèles, la préférence étant donnée au modèle CHE. Par contre, quand les données proviennent du modèle CHO, les différences constatées entre les deux modèles sont mineures. Bien entendu, le modèle CHE (corrélations inégales) contient plus de paramètres que le modèle CHO (une corrélation).

• Précédent
• Page principale de l'article
• Suivant