Inférence statistique fondée sur des échantillons poststratifiés par choix raisonné en population finie Section 2. Plans d’échantillonnage et estimateurInférence statistique fondée sur des échantillons poststratifiés par choix raisonné en population finie Section 2. Plans d’échantillonnage et estimateur

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Nous considérons une population finie de taille $N,$ $\mathcal{P}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{u_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{u}_N\right\},$ où $u_j$ est la $j^{\text{e}}$ unité dans la population. Soit $X$ la variable d’intérêt. Les valeurs de $X$ sur les unités de la population seront désignées par $x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_N.$ Sans perte de généralité, nous supposons que les valeurs de population de la variable aléatoire $X$ sont ordonnées, $x_1\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{x}_N,$ de sorte que le rang de population de l’unité $u_i$ par rapport à la variable $X$ soit $i,$ $R\left(x_{u_i}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_{u_i}\mathrm{<mo>=</mo>}i,$ où $s_{u_i}$ est le rang de $x_{u_i}$ parmi les $N$ unités de la population. En plus de la variable d’intérêt $X,$ nous supposons qu’il existe une variable additionnelle $Y$ présentant une relation monotone avec la variable aléatoire $X.$

Nous considérons deux plans d’échantillonnage, le plan 0 et le plan 2. Sous les deux plans, un échantillon aléatoire simple $U_S\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{u_{s_1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{u}_{s_n}\right\}$ est sélectionné dans la population $\mathcal{P}.$ Sans perte de généralité, l’échantillon $U_S$ sera identifié au moyen du vecteur de rangs $S\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{s_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{s}_n\right\}.$ Sous le plan 0, les unités sont sélectionnées avec remise, mais sous le plan 2, elles le sont sans remise. Toutes les unités sélectionnées dans l’échantillon sont mesurées pour la variable $X.$ Tout au long de l’exposé, nous désignons $X\mathrm{<mo>=</mo>}\left(X_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_n\right)$ comme étant un échantillon de taille $n,$ où nous utilisons par commodité la notation $X_i\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_{s_i}.$ Il est clair que les $X_i;$ $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n$ sont tous indépendants sous le plan 0, mais qu’ils sont corrélés négativement sous le plan 2. Pour chaque unité mesurée $u_{s_i}$ dans l’échantillon, nous sélectionnons aléatoirement $H-1$ unités additionnelles sans remise parmi les unités de population restantes pour former $n$ ensembles, chacun de taille $H,$

$$S_{i\mathrm{,}H}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{u_{s_i}\mathrm{,}{u}_{t_1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{u}_{t_{H-1}}\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}{s}_i\ne t_h\mathrm{,}{u}_{t_h}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>;</mo>}h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}H-\mathrm{1\; <mo>;</mo>}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{.}$$

Dans chaque ensemble $S_{i\mathrm{,}H},$ nous classons les unités en nous basant sur la variable auxiliaire $Y$ et nous déterminons le rang de l’unité mesurée $u_{s_i},$ $R_i,$ parmi $H$ unités. Notre échantillon poststratifié par choix raisonné (PCR) est alors constitué des paires $\left(X_i\mathrm{,}{R}_i\right),$ $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n.$ Sous le plan 0, nous remettons dans la population toutes les unités non mesurées dans l’ensemble $S_{i\mathrm{,}H}$ avant de construire l’ensemble suivant. Donc, une même unité non mesurée peut figurer dans plus d’un ensemble. Sous le plan 2, aucune des unités non mesurées n’est remise dans la population avant de construire l’ensemble suivant. Donc, tous les ensembles $S_{i\mathrm{,}H}$ sont disjoints.

On peut interpréter le vecteur de rangs $R\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{R_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{R}_n\right\}$ comme une covariable qui remplace des unités similaires, c’est-à-dire des unités ayant les mêmes rangs, dans la même classe obtenue par choix raisonné. Un échantillon PCR fournit sur l’unité mesurée $u_{s_i},$ outre la valeur mesurée $x_i,$ de l’information supplémentaire sous forme de sa position relative (rang $R_i)$ dans l’ensemble $S_{i\mathrm{,}H}.$ La qualité de l’information dépend de la force de la relation monotone entre les variables $X$ et $Y.$ Il est évident que, si les rangs $R_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n$ sont ignorés, l’échantillon se réduit à un échantillon aléatoire simple.

Le scénario de classement est dit cohérent si la même procédure de classement est utilisée dans tous les ensembles. Sous un scénario de classement cohérent, les égalités qui suivent sont vérifiées.

Lemme 1. Soit $\left(X_i\mathrm{,}{R}_i\right)$  un échantillon PCR construit selon un scénario de classement cohérent et la taille d’ensemble $H$  à partir de la population $\mathcal{P}.$

• i.      Pour le plan $r,$ $r=0,2,$  nous avons

$${\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}P\left(X_{\left[h\right]}\mathrm{<mo>=</mo>}x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(X_j\mathrm{<mo>=</mo>}x|R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}P\left(X_{\left(h\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}x\right)\mathrm{.}$$

• ii.     Pour le plan 2, nous avons

$$\begin{array}{l}\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\displaystyle \sum _{h^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}P\left(X_{\left[h\right]}\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{,}{X}_{\left[h^{\prime }\right]}\mathrm{<mo>=</mo>}y\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\displaystyle \sum _{h^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}P\left(X_j\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{,}{X}_t\mathrm{<mo>=</mo>}y|R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h\mathrm{,}{R}_t\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{\prime }\right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\displaystyle \sum _{h^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}P\left(X_{\left(h\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{,}{X}_{\left(h^{\prime }\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}y\right)\mathrm{,}x\ne y\mathrm{.}\hfill \end{array}\\ \end{array}$$

La partie (i) du lemme 1 est donnée dans Presnell et Bohn (1999) dans des conditions de population infinie. Dans le présent article, nous utilisons un scénario de classement par choix raisonné cohérent sauf indication contraire. La moyenne et la variance conditionnelles de $X_i$ sachant $R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h$ et la covariance conditionnelle de $X_j\mathrm{,}{X}_t$ sachant que $R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h\mathrm{,}{R}_t\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{\prime }$ seront désignées par

$${\mu }_{\left[h\right]}\mathrm{<mo>=</mo>}E\left(X_{\left[h\right]}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}E\left(X_i|R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h\right)\mathrm{,}$$

$${\sigma }_{\left[h\right]}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Var}\left(X_{\left[h\right]}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\text{var}\left(X_i|R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h\right)$$

et

$${\sigma }_{\left[h\mathrm{,}{h}^{\prime }\right]}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{cov}\left(X_{\left[h\right]}\mathrm{,}{X}_{\left[h^{\prime }\right]}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\text{cov}\left(X_j\mathrm{,}{X}_t|R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h\mathrm{,}{R}_t\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{\prime }\right)\mathrm{.}$$

Sous un classement parfait, les crochets dans ces expressions seront remplacés par des parenthèses.

Il existe une différence manifeste entre les échantillons PCR sous le plan 0 et le plan 2. Sous le plan 0, les paires, $\left(X_i\mathrm{,}{R}_i\right);$ $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n,$ sont mutuellement indépendantes. Sous le plan 2, dans toute paire d’observations mesurées $X_i$ et $X_j,$ les observations sont négativement corrélées même si leurs rangs $R_i$ et $R_j$ sont indépendants. Les rangs sont indépendants parce qu’ils sont déterminés indépendamment dans les différents ensembles. Nous commençons par étudier les propriétés de distribution des variables aléatoires dans un échantillon PCR tiré de la population $\mathcal{P}.$

Lemme 2. Soit $\left(X_i\mathrm{,}{R}_i\right)$  un échantillon PCR sous classement parfait avec taille d’ensemble $H$  tiré de la population $\mathcal{P}.$

• i)     La fonction de masse de probabilité conditionnelle de $X_j$  sachant $R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h$ est

$$\beta \left(i\mathrm{<mo>;</mo>}h\right)\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(X_j\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_i|R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\left(\begin{array}{l}\begin{array}{c}i-1\\ h-1\end{array}\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-i\\ H-h\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ H\end{array}\right)},x_i\in \mathcal{P}$$

• dans les conditions du plan 0 ainsi que du plan 2.
• ii)    Les fonctions de masse de probabilité conditionnelles de $X_r$ et $X_t$ sachant que $R_r\mathrm{<mo>=</mo>}h$ et $R_t\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{\prime },$ $\beta \left(i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>;</mo>}h\mathrm{,}{h}^{\prime }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}P\left(X_r\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_i\mathrm{,}{X}_t\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_j|R_r\mathrm{<mo>=</mo>}h\mathrm{,}{R}_t\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{\prime }\right)$ sont

$${\beta }_0\left(i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>;</mo>}h\mathrm{,}{h}^{\prime }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\beta \left(i\mathrm{<mo>;</mo>}h\right)\beta \left(j\mathrm{<mo>;</mo>}{h}^{\prime }\right)\mathrm{,}\left(x_i\mathrm{,}{x}_j\right)\in \mathcal{P}$$

• pour le plan 0 et

$$\begin{array}{ll}{\beta }_1\left(i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>;</mo>}h\mathrm{,}{h}^{\prime }\right)=\hfill & \hfill \\ {\displaystyle \sum _{\lambda \mathrm{<mo>=</mo>\; 0}}^{j-i-1}}\frac{\left(\begin{array}{c}i-1\\ h-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}j-i-1\\ \lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-j\\ H-\lambda -h\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}j-1-h-\lambda \\ h^{\prime }-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-j-H+\lambda +h\\ H-h^{\prime }\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ H\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-H\\ H\end{array}\right)},\hfill & i<j,\left(x_i,x_j\right)\in \mathcal{P}\hfill \end{array}$$

• pour le plan 2.
• iii)   La moyenne et la variance conditionnelles de $X_j$  sachant son rang $R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h$  sont

$$\begin{array}{ll}{\mu }_{\left(h\right)}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}E\left(X_j|R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{x}_i\beta \left(i\mathrm{,}h\right)\hfill \\ {\sigma }_{\left(h\right)}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\text{Var}\left(X_j|R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{x}_i^2\beta \left(i\mathrm{,}h\right)-{\mu }_{\left(h\right)}^2\hfill \end{array}$$

• pour le plan 0 ainsi que le plan 2.
• iv)    La covariance conditionnelle de $X_r\mathrm{,}{X}_t$  sachant leurs rangs sont

$$\text{cov}\left(X_r\mathrm{,}{X}_t|R_r\mathrm{<mo>=</mo>}h\mathrm{,}{R}_t\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{\prime }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_{\left(h\mathrm{,}{h}^{\prime }\right)}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$$

• pour le plan 0 et

$${\sigma }_{\left(h\mathrm{,}{h}^{\prime }\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\displaystyle \sum _{i\ne j}^N}{x}_i{x}_j{\beta }_1\left(i\mathrm{,}j\mathrm{,}h\mathrm{,}{h}^{\prime }\right)-{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{x}_i\beta \left(i\mathrm{,}h\right){\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{x}_i\beta \left(i\mathrm{,}{h}^{\prime }\right)$$

• pour le plan 2.

Les preuves des parties (i) et (ii) du lemme susmentionné sont données dans Patil et coll. (1995). Les preuves des autres parties sont très faciles et omises ici.

Le processus de classement dans un échantillon PCR aboutit à un vecteur aléatoire multinomial $M\mathrm{<mo>=</mo>}\left(M_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{M}_H\right),$ où $M_h$ est le nombre d’observations dans la classe (poststrate) créée par choix raisonné  $h,$ $h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}H.$ La distribution marginale de $M_h$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $1/H.$ Pour simplifier la notation, nous utilisons $I_h\mathrm{<mo>=</mo>}I\left(M_h\mathrm{<mo>></mo>\; 0}\right)$ pour désigner l’événement consistant en ce que la classe créée par choix raisonné $h$ est non vide et $d_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{I}_h$ pour définir le nombre de classes créées par choix raisonné non vides dans un échantillon PCR. Dans le lemme qui suit, nous fournissons certains résultats préliminaires utiles sur le vecteur des tailles d’échantillon des classes créées par choix raisonné, dont la preuve peut être consultée dans Dastbaravarde, Arghami et Sarmad (2016) et dans Ozturk (2014b).

Lemme 3. Soit $\left(X_i\mathrm{,}{R}_i\right)\mathrm{<mo>;</mo>}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n,$  un échantillon PCR construit sous un scénario de classement cohérent avec taille fixée $H$  tiré de $\mathcal{P}.$  Les égalités qui suivent sont vérifiées sous le plan 0 ainsi que le plan 2 :

• (i)      $E\left(\frac{I_1}{d_n}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}1/H.$
• (ii)     $E\left(\frac{I_1^2}{d_n^2}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{H^2}{\displaystyle {\sum }_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\left(\frac{k}{H}\right)}^{n-1}\mathrm{.}$
• (iii)    $Var\left(\frac{I_1}{d_n}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{H^2}{\displaystyle {\sum }_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{H-1}}{\left(\frac{k}{H}\right)}^{n-1}.$
• (iv)    $cov\left(\frac{I_1}{d_n}\mathrm{,}\frac{I_2}{d_n}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{H-1}Var\left(\frac{I_1}{d_n}\right).$
• (v)     $E\left(\frac{I_1^2}{M_1{d}_n^2}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{H^n}\left\{\frac{1}{n}+{\displaystyle {\sum }_{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 2}}^H}{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{k-1}}{\displaystyle {\sum }_{m_h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^{n-k+1}}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1\; <mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{j-1}}{k^2{m}_h}\left(\begin{array}{c}H-1\\ k-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}k-1\\ j-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ m_h\end{array}\right){\left(k-j\right)}^{n-m_h}\right\}.$
• Considérons maintenant l’estimation de la moyenne de population. Nous utilisons

$$\mu \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{x}_i\text{et}{\sigma }^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{\left(x_i-\mu \right)}^2$$

pour désigner la moyenne et la variance de la population $\mathcal{P},$ respectivement. Soit

$${\widehat{\mu }}_r\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}\frac{I_h}{M_h{d}_n}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}{X}_{i}I\left(R_i\mathrm{<mo>=</mo>}h\right)\mathrm{,}r\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,2}$$

l’estimateur de la moyenne de population $\mu$ fondé sur le plan $r,$ $r=0,2,$ respectivement. Dans ces estimateurs, $I_h,$ $M_h$ et $d_n$ sont des variables aléatoires. Elles sont utilisées pour apporter une correction en vue d’obtenir un estimateur sans biais pour $\mu$ quand certaines classes créées par choix raisonné sont vides. S’il n’est pas tenu compte des rangs dans un échantillon PCR, celui-ci devient un échantillon aléatoire simple fondé sur le plan 0 ou le plan 2. Dans ce cas, la moyenne de population $\mu$ est estimée par

$${\overline{X}}_r\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}{X}_j\mathrm{,}r\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,2}$$

pour les données du plan 0 ou du plan 2, respectivement.

Théorème 1. Soit $\left(X_i\mathrm{,}{R}_i\right)\mathrm{<mo>;</mo>}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n,$  un échantillon PCR avec taille d’ensemble $H$  construit sous un scénario de classement cohérent fondé sur le plan 0 ou sur le plan 2 à partir de la population finie $\mathcal{P}.$  i) Les estimateurs ${\widehat{\mu }}_r$  sont sans biais pour $\mu .$  ii) Les variances des estimateurs ${\widehat{\mu }}_r$  sont

                                     ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_0}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{H}{H-1}\text{Var}\left(\frac{I_1}{d_n}\right){\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\left({\mu }_{\left[h\right]}-\mu \right)}^2+E\left(\frac{I_1^2}{d_n^2{M}_1}\right){\displaystyle \sum _{h-1}^H}{\sigma }_{\left[h\right]}^2$                      

pour $r\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$  et

                   $\begin{array}{ll}{\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{H}{H-1}\text{Var}\left(\frac{I_1}{d_n}\right){\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\left({\mu }_{\left[h\right]}-\mu \right)}^2-\frac{1}{H-1}\left(\frac{1}{H}-E{\left(I_1/d_n\right)}^2\right)\frac{H^2{\sigma }^2}{N-1}\hfill \\ \hfill & +E\left(\frac{I_1^2}{d_n^2{M}_1}\right){\displaystyle \sum _h^H}{\sigma }_{\left[h\right]}^2+\left(\frac{H}{H-1}E{\left(I_1/d_n\right)}^2-E\left(\frac{I_1^2}{d_n^2{M}_1}\right)-\frac{1}{H\left(H-1\right)}\right){\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{\left[h\mathrm{,}h\right]}\hfill \end{array}$    

pour $r\mathrm{<mo>=</mo>\; 2.}$

Toutes les valeurs espérées dans ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_0}^2$ et ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2$ sont calculées sur le vecteur des tailles d’échantillon aléatoires $M.$ Ces valeurs espérées peuvent être calculées facilement au moyen du lemme 2 en utilisant de simples fonctions R. Les estimateurs de la moyenne de population fondés sur un échantillon équilibré d’ensembles ordonnés sous le plan 0 et sous le plan 2 sont donnés par

$${\mu }_r^{\mathrm{*}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{mH}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>1}}^H}{X}_{\left[h\right]i}\mathrm{,}r\mathrm{<mo>=</mo>0,2,}$$

où $m\mathrm{<mo>=</mo>}n/H$ est la taille du cycle. Puisque les observations sous le plan 0 sont indépendantes, la variance de ${\mu }_0^{\mathrm{*}}$ est la même que la variance de la moyenne d’échantillon EEO dans une population infinie. La variance de ${\mu }_2^{\mathrm{*}}$ est donnée par l’équation 4.5 dans Patil et coll. (1995). En ce qui concerne notre notation, la variance de ${\mu }_2^{\mathrm{*}}$ s’écrit

$${\sigma }_{{\mu }_2^{*}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\left(N-1-n\right)}{n\left(N-1\right)}{\sigma }^2-\frac{1}{nH}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\left({\mu }_{\left[h\right]}-\mu \right)}^2-\frac{1}{nH}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{\left[h\mathrm{,}h\right]}\mathrm{.}(2.1)$$

Nous exprimons la variance de ${\widehat{\mu }}_2$ sous une forme légèrement différente afin de la comparer à ${\sigma }_{{\mu }_2^{*}}^2$

$$\begin{array}{ll}{\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\left({\mu }_{\left[h\right]}-\mu \right)}^2\left\{\frac{H}{H-1}\text{Var}\left(I_1/d_n\right)-E\left(\frac{I_1^2}{d_n^2{M}_1}\right)\right\}\hfill \\ \hfill & +\frac{H{\sigma }^2}{\left(N-1\right)\left(H-1\right)}\left\{\left(N-1\right)\left(H-1\right)E\left(\frac{I_1^2}{d_n^2{M}_1}\right)-1+HE\left(\frac{I_1^2}{d_n^2}\right)\right\}\hfill \\ \hfill & +\left\{\frac{H}{H-1}E{\left(I_1/d_n\right)}^2-E\left(\frac{I_1^2}{d_n^2{M}_1}\right)-\frac{1}{H\left(H-1\right)}\right\}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{\left[h\mathrm{,}h\right]}\mathrm{.}\hfill \end{array}(2.2)$$

Il est facile de voir l’impact du vecteur des tailles d’échantillon aléatoires $M$ sur l’estimateur ${\widehat{\mu }}_2$ dans un échantillon PCR en comparant les équations (2.1) et (2.2). Les expressions entre accolades dans l’équation (2.2) apportent les corrections pour les tailles d’échantillon aléatoires dans l’échantillon PCR. Pour de grandes tailles de population et d’échantillon, ${\sigma }_{{\mu }_2^{*}}^2,$ ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2$ et ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_0}^2$ se réduisent à des formes simples.

Corollaire 1. Supposons que $n$  et $N$  augmentent de telle façon que le ratio de $n/N$  s’approche d’une limite à $f,$ ${{\displaystyle \lim }}_{n\to \infty }\left(n/N\right)\mathrm{<mo>=</mo>}f.$

• i)     Si $f\mathrm{<mo>></mo>\; 0},$  les variances ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2,$ ${\sigma }_{{\mu }_2^{*}}^2$  et ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_0}^2$  convergent vers deux formes simples

$$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}n{\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}n{\sigma }_{{\mu }_2^{*}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\left(1-f\right){\sigma }^2-\frac{1}{H}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\left({\mu }_{\left[h\right]}-\mu \right)}^2-{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{h\mathrm{,}h}$$

• et

$$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}n{\sigma }_{{\widehat{\mu }}_0}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{H}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{\left[h\right]}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }^2-\frac{1}{H}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\left({\mu }_h-\mu \right)}^2\mathrm{.}$$

• ii)    Si $f\mathrm{<mo>=</mo>\; 0},$   ${{\displaystyle \lim }}_{n\to \infty }n{\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \lim }}_{n\to \infty }n{\sigma }_{{\mu }_2^{*}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \lim }}_{n\to \infty }n{\sigma }_{{\widehat{\mu }}_0}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{H}{\displaystyle {\sum }_{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{\left[h\right]}^2,$  ce qui est la même chose que la variance de la moyenne d’échantillon d’un échantillon d’ensembles ordonnés dans des conditions de population infinie.
• iii)   Si $f$  est strictement positive, alors ${{\displaystyle \lim }}_{n\to \infty }n{\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{{\displaystyle \lim }}_{n\to \infty }n{\sigma }_{{\widehat{\mu }}_{RSS}}^2\mathrm{<mo><</mo>}{{\displaystyle \lim }}_{n\to \infty }n{\sigma }_{{\widehat{\mu }}_0}^2.$

La partie (iii) du corollaire indique que, quand les tailles de l’échantillon et de la population augmentent à un certain taux, les variances des moyennes d’échantillon des échantillons PCR et EEO dans des conditions de population finie sont toujours plus petites que la variance du même estimateur dans des conditions de population infinie. Ce gain d’efficacité est dû à la corrélation négative entre $X_i$ et $X_j$ dans les plans d’échantillonnage sans remise.

Nous construisons maintenant des estimateurs sans biais pour ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_0}^2,$ ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2$ et ${\sigma }_{{\mu }_2^{*}}^2.$ Commençons par réécrire les estimateurs ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2$ et ${\sigma }_{{\mu }_2^{*}}^2$ sous une forme légèrement différente

$$\begin{array}{ll}{\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\frac{1}{H\left(H-1\right)}+E\left(\frac{I_1^2}{d_n^2{M}_1}\right)-\frac{H}{H-1}E\left(\frac{I_1^2}{d_n^2}\right)\right\}\left\{{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{\left[h\right]}^2-{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{h\mathrm{,}h}\right\}\hfill \\ \hfill & +\frac{H^2{\sigma }^2}{H-1}\left\{\text{Var}\left(\frac{I_1}{d_n}\right)-\frac{1}{N-1}\left\{\frac{1}{H}-E\left(\frac{I_1^2}{d_n^2}\right)\right\}\right\}(2.3)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{C}_1\left(n\mathrm{,}H\right)\left\{{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{\left[h\right]}^2-{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{h\mathrm{,}h}\right\}+C_2\left(n\mathrm{,}H\mathrm{,}N\right)\frac{H^2{\sigma }^2}{H-1}\hfill \\ {\sigma }_{{\mu }_2^{*}}^2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{Hn}\left\{{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{\left[h\right]}^2-{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\sigma }_{h\mathrm{,}h}\right\}-\frac{{\sigma }^2}{\left(N-1\right)}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Dans l’équation (2.3), il est clair que les coefficients $C_1\left(n\mathrm{,}H\right)$ et $C_2\left(n\mathrm{,}H\mathrm{,}N\right)$ sont des quantités connues pour les valeurs données de la taille d’échantillon $n$ et de la taille de l’ensemble $H.$ Soit

$$\begin{array}{ll}{T}_1\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{E\left(\frac{I_1{I}_2}{d_n^2}\right)}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\displaystyle \sum _{h\ne h^{\prime }}^H}\frac{I_h{I}_{h^{\prime }}}{M_h{M}_{h^{\prime }}{d}_n^2}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}{\left(X_i-X_j\right)}^{2}I\left(R_i\mathrm{<mo>=</mo>}h\right)I\left(R_j\mathrm{<mo>=</mo>}{h}^{\prime }\right)\mathrm{,}\hfill \\ T_2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}\frac{H{I}_h^{\mathrm{*}}}{M_h{d}_n^{\mathrm{*}}\left(M_h-1\right)}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^n}{\left(X_i-X_j\right)}^{2}I\left(R_i\mathrm{<mo>=</mo>}h\right)I\left(R_j\mathrm{<mo>=</mo>}h\right)\mathrm{,}\hfill \\ T_1^{\mathrm{*}}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2m^2{H}^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\displaystyle \sum _{h^{\prime }\ne h}^H}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\left(X_{\left[h\right]i}-X_{\left[h^{\prime }\right]j}\right)}^2\hfill \\ T_2^{\mathrm{*}}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2m\left(m-1\right)H^2}{\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\displaystyle \sum _{j\ne i}^m}{\left(X_{\left[h\right]i}-X_{\left[h\right]j}\right)}^2\hfill \end{array}$$

et

$${\widehat{\sigma }}_{EAS}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n-1}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^n}{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2\mathrm{,}$$

où $I_h^{\mathrm{*}}\mathrm{<mo>=</mo>}I\left(M_h\mathrm{<mo>></mo>\; 1}\right),$ $d_n^{\mathrm{*}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H}{I}_h^{\mathrm{*}}$ et $m$ est la taille du cycle dans un échantillon équilibré d’ensembles ordonnés. Partant du lemme 3, on peut établir facilement que $E\left(I_1{I}_2/d_n^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(1/H-E{\left(I_1/d_n\right)}^2\right)/\left(H-1\right).$ D’où, $T_1$ est une statistique qui dépend uniquement des données. Notons que ${\widehat{\sigma }}_{EAS}^2$ est un estimateur sans biais de ${\sigma }^2.$ Dans le théorème suivant, nous donnons d’autres estimateurs sans biais $\left({\overline{\sigma }}^2\right)$ de ${\sigma }^2$ basés sur les échantillons PCR et EEO sous le plan 0 et le plan 2.

Théorème 2. Soit $\left(X_i\mathrm{,}{R}_i\right),$   $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}n,$  et $X_{\left[h\right]i};$   $h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}H;$   $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1},\dots \mathrm{,}m,$  les échantillons PCR et EEO ayant une taille d’ensemble $H,$  respectivement, tous deux provenant de la population $\mathcal{P}.$  Des estimateurs sans biais de ${\sigma }^2,$   ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_0}^2,$   ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2$  et ${\sigma }_{{\mu }_2^{*}}^2$  sont donnés, respectivement, par

$${\overline{\sigma }}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\{\begin{array}{ll}\left(T_1+T_2\right)/\left(2H^2\right)\hfill & pourleplan0\hfill \\ \frac{\left(N-1\right)\left(T_1+T_2\right)}{2N{H}^2}\hfill & pourleplan2\hfill \\ \frac{\left(T_1^{\mathrm{*}}+T_2^{\mathrm{*}}\right)\left(N-1\right)}{N}\hfill & pourunEEOéquilibrésousleplan\mathrm{2,}\hfill \\ T_1^{\mathrm{*}}+T_2^{\mathrm{*}}\hfill & pourunEEOéquilibrésousleplan\mathrm{0,}\hfill \end{array}(2.4)$$

$${\widehat{\sigma }}_{{\widehat{\mu }}_0}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{Var\left(I_1/d_n\right)}{2\left(H-1\right)}{T}_1+\left\{E\left(\frac{I_1^2}{d_n^2{M}_1}\right)-Var\left(\frac{I_1}{d_n}\right)\right\}\frac{T_2}{2}\mathrm{,}(2.5)$$

$${\widehat{\sigma }}_{{\widehat{\mu }}_2}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{C}_1\left(n\mathrm{,}H\right)T_2/2+C_2\left(n\mathrm{,}H\mathrm{,}N\right)\frac{H^2{\widehat{\sigma }}_{EAS}^2}{H-1}\mathrm{,}(2.6)$$

$${\overline{\sigma }}_{{\widehat{\mu }}_2}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{C}_1\left(n\mathrm{,}H\right)T_2/2+C_2\left(n\mathrm{,}H\mathrm{,}N\right)\frac{\left(N-1\right)\left(T_1+T_2\right)}{2N\left(H-1\right)}\mathrm{,}(2.7)$$

$${\widehat{\sigma }}_{{\mu }_2^{*}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{T_2^{\mathrm{*}}}{m}-\frac{T_1^{\mathrm{*}}+T_2^{\mathrm{*}}}{N}\mathrm{.}$$

Notons que ${\widehat{\sigma }}_{{\widehat{\mu }}_2}^2$ et ${\overline{\sigma }}_{{\widehat{\mu }}_2}^2$ sont tous deux sans biais pour ${\sigma }_{{\widehat{\mu }}_2}^2.$ L’estimateur ${\overline{\sigma }}^2$ est également sans biais pour la variance de population ${\sigma }^2$ dans les échantillons EEO et PCR sous le plan 0 et le plan 2. Le théorème 2 indique que tous les estimateurs de variance sont sans biais pour toute taille d’échantillon $n\mathrm{<mo>></mo>\; 1.}$ Nous notons que $E\left(I_1^2/d_n^2\right)\le 1/H^2.$ En utilisant cette borne, on peut montrer que $C_1\left(n\mathrm{,}H\right)\ge 0.$ Par ailleurs, le coefficient $C_2\left(n\mathrm{,}H\mathrm{,}N\right)$ peut être négatif pour certaines valeurs de $n,$ $N$ et $H.$ Rarement, cela peut donner une valeur négative pour ${\widehat{\sigma }}_{{\widehat{\mu }}_2}^2.$ Si ${\widehat{\sigma }}_{{\widehat{\mu }}_2}^2$ est négatif, nous proposons un estimateur tronqué

$${\tilde{\sigma }}_{{\widehat{\mu }}_2}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\{\begin{array}{ll}{\widehat{\sigma }}_{{\widehat{\mu }}_2}^2\hfill & \text{si}{\widehat{\sigma }}_{{\widehat{\mu }}_2}^2\mathrm{<mo>></mo>\; 0}\hfill \\ C_1\left(n\mathrm{,}H\right)T/2\hfill & \text{si}{\widehat{\sigma }}_{{\widehat{\mu }}_2}^2\le 0.\hfill \end{array}(2.8)$$

Cet estimateur est toujours positif et son biais est très faible. Les valeurs de ${\overline{\sigma }}_{{\widehat{\mu }}_2}^2$ semblent être toujours positives sur la base de notre étude en simulation limitée.

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