Ajustements pour la non-réponse dans les plans stratifiés assortis de modèles aux spécifications erronées 2. ScénarioAjustements pour la non-réponse dans les plans stratifiés assortis de modèles aux spécifications erronées 2. Scénario

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Les poids de sondage compensent pour différents types de données manquantes : les poids d’échantillonnage ou de base compensent les unités non échantillonnées; les poids d’ajustement de non-couverture tiennent compte des unités qui ne font pas partie de la base de sondage; et les poids d’ajustement pour la non-réponse compensent les unités qui font partie de l’échantillon, mais qui ne répondent pas. Nous nous concentrons ici sur les poids d’ajustement pour la non-réponse et sur l’effet du recours aux poids de base pour établir les ajustements pour la non-réponse.

Commençons par l’estimateur de Horvitz-Thompson non ajusté pour le total :

$${\widehat{y}}_{na}={\displaystyle {\sum }_s{R}_i}{d}_i{y}_i,(2.1)$$

où $d_i$ est l’inverse de la probabilité de sélection de l’unité $i,R_i=1$ si l’unité $i$ répond et $=0$ autrement; la somme est calculée pour l’ensemble des unités de l’échantillon $s.$ La moyenne du ratio est ${\widehat{\overline{y}}}_{na}={\widehat{y}}_{na}/{\displaystyle {\sum }_s{R}_i{d}_i}.$ Si toutes les données de l’échantillon sont observées et que la base de sondage est complète, alors $E({\widehat{y}}_{na})=Y,$ et la moyenne du ratio est convergente pour $\overline{Y}.$

Lorsqu’il y a non-réponse totale, on présume que la réponse est une variable aléatoire et que la probabilité de réponse ou la propension à répondre $\left({\varphi }_i=\mathrm{Pr}\left(R_i=1\right)\right)$ correspond à la probabilité pour une phase supplémentaire d’échantillonnage (Särndal, Swensson et Wretman 1992). Si on suppose que ${\varphi }_i>0$ pour toutes les valeurs de $i,$ alors le biais de non-réponse d’une moyenne de ratio estimée en vertu du modèle stochastique correspond à:

$$\text{biais}\left({\widehat{\overline{y}}}_{na}\right)\approx {\overline{\varphi }}^{-1}{\sigma }_{\varphi }{\sigma }_y{\rho }_{\varphi ,y},(2.2)$$

où $\overline{\varphi }$ correspond à la moyenne de population des propensions à répondre, ${\sigma }_{\varphi }$ est l’écart type de $\varphi ,$ ${\sigma }_y$ est l’écart type de $y$ et ${\rho }_{\varphi ,y}$ est la corrélation entre $\varphi$ et $y$ (Bethlehem 1988). La moyenne estimée pour les répondants est non biaisée si $\varphi$ et $y$ ne sont pas corrélés. Brick et Jones (2008) élargissent ces résultats à d’autres types de statistiques et d’estimateurs.

Pour réduire le biais de non-réponse, on peut utiliser les variables auxiliaires associées à l’échantillon pour étayer les ajustements pour la non-réponse en fonction des poids de base. Les ajustements peuvent être mis en œuvre par modélisation de la répartition de $\varphi$ ou de $y,$ ou encore des deux à l’aide des variables auxiliaires. Nous nous intéressons particulièrement à la modélisation du mécanisme de réponse.

Les propensions à répondre estimées sont appliquées comme si elles correspondaient aux probabilités réelles de réponse. En d’autres termes, le facteur d’ajustement pour la non-réponse correspond à l’inverse de la propension à répondre estimée pour l’unité échantillonnée $i\left({\widehat{\varphi }}_i\right).$ La propension à répondre peut être estimée de différentes manières, par exemple par régression logistique, mais pour la plupart des enquêtes, on établit des groupes mutuellement exclusifs appelés classes de pondération ou groupes de réponse homogènes qui renferment des unités ayant des propensions estimées similaires et on ajuste les poids dans chaque groupe ou classe en fonction d’un facteur commun, par exemple ${\widehat{f}}_c={\widehat{\varphi }}_c^{-1}$ pour toutes les valeurs de $i\in c$ (Särndal et coll. 1992; Little 1986). En vertu de cette approche, l’estimateur ajusté est appelé un estimateur de classe de pondération et s’écrit comme suit :

$${\widehat{y}}_{cp}={\displaystyle {\sum }_c{\displaystyle {\sum }_{i\in s_c}{R}_{ci}}{d}_{ci}{\widehat{f}}_c{y}_{ci},(2.3)}$$

où $c=1,2,\dots ,C$ correspond aux classes d’ajustement pour la non-réponse et $i\in s_c$ est une unité échantillonnée de la classe $c.$

La question spécifique à laquelle nous nous intéressons ici est l’effet de la pondération du facteur d’ajustement. Le facteur non pondéré s’écrit

$${\widehat{f}}_c^{np}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\in s_c}{\delta }_{ci}}}{{\displaystyle {\sum }_{i\in s_c}{R}_{ci}{\delta }_{ci}}}=\frac{n_{c+}}{r_{c+}}$$

où ${\delta }_{ci}=1$ si $i\in c$ et ${\delta }_{ci}=0$ si $i\notin c,$ et $n_{c+}$ et $r_{c+}$ correspondent au nombre d’unités échantillonnées et répondantes de la classe $c.$ Le facteur d’ajustement pondéré s’écrit 

$${\widehat{f}}_c^p=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\in s_c}{d}_{ci}}}{{\displaystyle {\sum }_{i\in s_c}{R}_{ci}{d}_{ci}}}=\frac{{\widehat{N}}_c}{{\widehat{N}}_c^{\prime }},$$

où ${\widehat{N}}_c={\displaystyle {\sum }_{i\in s_c}{d}_{ci}}$ et ${\widehat{N}}_c^{\prime }={\displaystyle {\sum }_{i\in s_c}{R}_{ci}{d}_{ci}}.$ Les facteurs correspondent aux taux de réponse non pondéré et pondéré, respectivement. En substituant les facteurs dans l’estimateur (2.3), on obtient deux nouveaux estimateurs (2.4) et (2.5) de la population totale. Il s’agit de deux estimateurs de classes de pondération, dont la notation a été modifiée pour mettre en évidence le taux de réponse utilisé (pondéré ou non pondéré).

$${\widehat{y}}_{trnp}={\displaystyle {\sum }_c{\widehat{f}}_c^{np}}{\displaystyle {\sum }_{i\in r_c}{d}_{ci}{y}_{ci}}={\displaystyle {\sum }_c\frac{n_{c+}}{r_{c+}}}{\displaystyle {\sum }_{i\in r_c}{d}_{ci}{y}_{ci}},(2.4)$$

$${\widehat{y}}_{trp}={\displaystyle {\sum }_c{\widehat{f}}_c^p}{\displaystyle {\sum }_{i\in r_c}{d}_{ci}{y}_{ci}}={\displaystyle {\sum }_c\frac{{\widehat{N}}_c}{{\widehat{N}}_c^{\prime }}}{\displaystyle {\sum }_{i\in r_c}{d}_{ci}{y}_{ci}}.(2.5)$$

Ces deux estimateurs constituent les éléments de base pour tous les types de statistiques que nous examinons dans l’étude par simulation. Par exemple, les estimateurs des moyennes, des moyennes de domaine et des ratios sont de simples fonctions des estimateurs (2.4) et (2.5).

Pour respecter la structure, la notation et les simulations de L et V, la présente étude est restreinte à la même population et à un échantillon aléatoire simple stratifié où deux strates sont définies par la variable de plan binaire $Z,$ et où deux classes d’ajustement pour la non-réponse sont définies par une variable auxiliaire binaire $C,$ qui recoupe les strates comme indiqué dans le tableau 2.1. Nous avons remplacé la lettre $X$ utilisée par L et V par la lettre $C$ dans la cellule de pondération introduite ci-dessus afin de faciliter l’identification de la cellule d’ajustement pour la non-réponse. Comme dans l’étude de L et V, la taille de la population est fixée à $N=\text{10 000}.$

La variable d’intérêt, $Y,$ est une variable binaire pour laquelle la probabilité que $Y=1$ est définie par un modèle logistique où $\mathrm{logit}\left(Y=1|C,Z\right)=0\text{,}5+{\gamma }_C\left(C-\overline{C}\right)+{\gamma }_Z\left(Z-\overline{Z}\right)+{\gamma }_{CZ}\left(C-\overline{C}\right)\left(Z-\overline{Z}\right).$ La variable de réponse $R$ est aussi binaire, et la probabilité que $R=1$ est générée à partir d’un modèle logistique où $\mathrm{logit}\left(R|C,Z\right)=0\text{,}5+{\beta }_C\left(C-\overline{C}\right)+{\beta }_Z\left(Z-\overline{Z}\right)+{\beta }_{CZ}\left(C-\overline{C}\right)\left(Z-\overline{Z}\right).$ Différentes populations et propensions à répondre sont générées en fonction des valeurs de ${\gamma }_C, {\gamma }_Z, {\gamma }_{CZ}, {\beta }_C, {\beta }_Z$ et ${\beta }_{CZ}$ indiquées dans le tableau 2.2. Nous avons adopté la notation de L et V pour les modèles linéaires généralisés afin de faciliter la comparaison avec leurs travaux. Les valeurs indiquées dans le tableau sont les mêmes variables de population et de réponse que celles que L et V ont produites en affectant des valeurs à $\left({\gamma }_C,{\gamma }_Z,{\gamma }_{CZ},{\beta }_C,{\beta }_Z,{\beta }_{CZ}\right).$ Dans la notation ${\left[A\right]}^B$ présentée au tableau 2.2, la population $\left(Y\right)$ ou la propension à répondre $\left(R\right)$ sont indiquées par l’exposant $B,$ alors que les paramètres et les interactions du modèle pour la répartition de la population ou de la réponse sont indiqués par la lettre $A$ entre crochets. Par exemple, le modèle logistique additif qui génère la répartition de $Y$ dans la strate d’échantillonnage $Z$ et la cellule de non-réponse $C$ est indiqué comme suit : ${\left[C+Z\right]}^Y.$ De même, les modèles où $R$ dépend de $C$ seulement, de $Z$ seulement ou ni de $C$ ni de $Z$ sont indiqués respectivement par ${\left[C\right]}^R,{\left[Z\right]}^R$ et ${\left[C+Z\right]}^R.$ L et V donnent plus de détails sur les motifs justifiant le choix de ces populations et modèles de réponse en particulier.

L et V ont calculé des estimations des moyennes comme suit, selon notre notation :

$${\widehat{\overline{y}}}_{trnp}=\frac{{\widehat{y}}_{trnp}}{{\displaystyle {\sum }_c{\widehat{f}}_c^{np}}{\displaystyle {\sum }_{i\in s_c}{R}_{ci}}{d}_{ci}}=\frac{{\widehat{y}}_{trnp}}{{\displaystyle {\sum }_c{\widehat{f}}_c^{np}{\widehat{N}}_c^{\prime }}},(2.6)$$

et

$${\widehat{\overline{y}}}_{trp}=\frac{{\widehat{y}}_{trp}}{{\displaystyle {\sum }_c{\widehat{f}}_c^p}{\displaystyle {\sum }_{i\in s_c}{R}_{ci}}{d}_{ci}}=\frac{{\widehat{y}}_{trp}}{{\displaystyle {\sum }_c{\widehat{N}}_c}}.(2.7)$$

Les dénominateurs des moyennes sont des estimations de la taille de population $N.$ Dans l’estimateur (2.7), le dénominateur est une constante égale à $N,$ mais dans l’estimateur (2.6), le dénominateur est une variable aléatoire. Dans le scénario de simulation comprenant le plan d’échantillonnage aléatoire simple stratifié décrit ci-dessous, ou tout plan où ${\displaystyle {\sum }_{i\in s}{d}_i}=N$ pour chaque valeur de $s,$ l’estimateur (2.7) se réduit à l’estimateur linéaire ${\widehat{\overline{y}}}_{trp}=N^{-1}{\widehat{y}}_{trp},$ tandis que l’estimateur (2.6) est un estimateur par le ratio. Il s’agit là d’un point important sur lequel nous reviendrons.

Les moyennes de domaine peuvent avoir des propriétés différentes des moyennes globales parce que les dénominateurs des moyennes de domaine pondérées et non pondérées sont des variables aléatoires, sauf quand les domaines concordent avec la strate d’échantillonnage et que les tailles des domaines et les tailles des strates sont connues. L et V n’abordent pas la question des domaines et n’ont donc pas examiné ces estimations dans le cadre de leur simulation. Nous avons établi des domaines en générant au hasard une variable aléatoire ${\nu }_i$ à partir d’une distribution uniforme (0, 1) et en définissant la fonction d’appartenance $\tau \left(a\right)=1$ si $a<0$ et $\tau \left(a\right)=0$ si $a\ge 0.$ Des moyennes de domaine de 50 % ont été créées en substituant $d_{ci}^{*}=\tau \left({\nu }_i-0\text{,}5\right)d_{ci}$ dans les expressions (2.6) et (2.7) afin de produire les estimateurs ${\widehat{\overline{y}}}_{trnp;0\text{,}5}$ et ${\widehat{\overline{y}}}_{trp;0,5},$ respectivement. Les estimateurs pondérés et non pondérés des totaux de domaine ${\widehat{y}}_{trnp;0,5}$ et ${\widehat{y}}_{trp;0,5}$ ont été établis de la même manière. Nous avons utilisé la même méthode pour créer des moyennes de domaine de 25 % et des totaux de domaine de 25 %. Comme nous nous intéressons à l’effet des ajustements pour la non-réponse sur les moyennes calculées sous forme d’estimateurs par ratio, d’autres domaines comme ceux qui correspondent à près de 100 % de la population ont été exclus de l’analyse parce que le dénominateur des moyennes de domaine est proche de la population totale constante $N$ et qu’alors la moyenne devient un estimateur linéaire. Les domaines plus proches de 0 % ont été exclus à cause de la petite taille des échantillons.

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