Note brève sur l’estimation fondée sur les quantiles et les expectiles dans les échantillons à probabilités inégales 2. Estimation des quantilesNote brève sur l’estimation fondée sur les quantiles et les expectiles dans les échantillons à probabilités inégales 2. Estimation des quantiles

Considérons une population finie de $N$ éléments et une variable d’enquête continue $Y .$ On s’intéresse aux quantiles de la fonction de répartition cumulative $F (y) = \sum_{i =1}^{N} 1 {Y_{i} \leq y} / N,$ et on définit comme

$Q (α) = inf {\arg \min_{q} \sum_{i =1}^{N} w_{α} (Y_{i} - q) | Y_{i} - q |} (2.1)$

la fonction quantile de $Y$ (voir Koenker 2005), où

$w_{α} (ε) = (\begin{array}{l} α & pour ε >0 \\ 1 - α & pour ε \leq 0. \end{array}$

L’argument « inf » de l’expression (2.1) est nécessaire pour une population finie puisque « arg min » n’est pas unique. On tire un échantillon de la population selon des probabilités d’inclusion connues $π_{i},$ $i =1, \dots, N .$ En notant $y_{1}, \dots, y_{n}$ l’échantillon obtenu, on estime la fonction quantile en remplaçant (2.1) par la version avec échantillon pondéré

${\hat{Q}}_{N} (α) = \inf {\arg \min_{q} \sum_{j =1}^{n} \frac{1}{π_{j}} w_{α, j} | y_{j} - q |} (2.2)$

avec $w_{α, j} = w_{α} (y_{j} - q),$ selon la définition ci-dessus. Il est facile de voir que la somme en (2.2) est une estimation sans biais par rapport au plan de la somme dans $Q (α)$ donnée en (2.1). Néanmoins, parce qu’on admet « arg min », il s’ensuit que ${\hat{Q}}_{N} (α)$ n’est pas sans biais pour $Q (α) .$ Examinons donc les énoncés de cohérence pour ${\hat{Q}}_{N} (α)$ comme suit. Soit $R_{i} (q) = w_{α} (y_{i} - q) | y_{i} - q |$ et

${\bar{R}}_{N} (q) := \frac{1}{N} \sum_{i} R_{i} (q) .$

On tire un échantillon à partir de $R_{i} (q), i =1, \dots, N$ en appliquant un plan de sondage cohérent de sorte que

${\bar{r}}_{n} (q) := \frac{1}{N} \sum_{j =1}^{n} \frac{1}{π_{j}} r_{j} (q)$

converge par rapport au plan pour ${\bar{R}}_{N} (q),$ où $r_{j} (q)$ désigne l’échantillon de $R_{i} (q) .$ Soulignons que $r_{j} (q)$ et donc ${\bar{r}}_{n} (q),$ $R_{i} (q)$ et ${\bar{R}}_{N} (q)$ dépendent aussi de $α,$ qui a été supprimé de la notation par souci de lisibilité. Soit $q_{0}$ la valeur minimale de ${\bar{R}}_{N} (q),$ qui n’est pas nécessairement unique en raison de la structure finie de la population. On peut admettre l’argument « inf », c’est-à-dire $q_{0} = \inf {arg \min {\bar{R}}_{N} (q)},$ mais par souci de simplicité, on suppose un modèle de superpopulation (voir Isaki et Fuller 1982) en considérant la population finie comme un échantillon d’une superpopulation infinie. Pour cette dernière, on présume que la variable d’enquête $Y$ a une fonction de répartition cumulative continue, de sorte que $q_{0}$ donne un quantile $α$ unique. Pour $δ >0,$ on obtient

$P ({\bar{r}}_{n} (q_{0}) < {\bar{r}}_{n} (q_{0} - δ)) \Leftrightarrow P (\frac{1}{N} \sum_{j =1}^{n} \frac{1}{π_{j}} {r_{j} (q_{0}) - r_{j} (q_{0} - δ)} <0) .$

Soulignons que l’argument dans l’énoncé de probabilité est une estimation convergente par rapport au plan de sondage pour ${\bar{R}}_{N} (q_{0}) - {\bar{R}}_{N} (q_{0} - δ),$ dont la valeur est inférieure à zéro puisque $q_{0}$ correspond à la valeur minimale de ${\bar{R}}_{N} (\cdot) .$ En conséquence, la probabilité tend vers un au sens de la convergence par rapport au plan de sondage définie par Isaki et Fuller (1982). Il en va bien sûr de même pour $δ <0.$ En vertu de cet énoncé, on peut conclure que la valeur estimée minimale ${\hat{q}}_{0} = arg \min \sum_{j =1}^{n} 1 / π_{j} r_{j} (q)$ est une estimation convergente par rapport au plan de sondage pour $q_{0}$ de sorte que ${\hat{Q}}_{N} (α)$ en (2.2) converge aussi par rapport au plan de sondage pour $Q_{N} (α) .$ Il est facile de montrer que ${\hat{Q}}_{N} (α)$ est l’inverse de la fonction de répartition cumulative pondérée normalisée

${\hat{F}}_{N} (y) := \frac{\sum_{j =1}^{n} 1 {y_{j} \leq y} / π_{j}}{\sum_{j =1}^{n} 1 / π_{j}}$

selon la notation utilisée par Kuk (1988). Soulignons que ${\hat{F}}_{N} (y)$ correspond à l’estimation de Hajek (1971) pour la fonction de répartition cumulative (voir aussi Rao et Wu 2009) et n’est donc pas une estimation de Horvitz-Thompson. Par conséquent, ${\hat{Q}}_{N} (α)$ n’est pas sans biais par rapport au plan de sondage. Néanmoins, ${\hat{F}}_{N} (y)$ est une fonction de répartition valide et peut donc être considérée comme une version normalisée de l’estimateur de Lahiri ou de Horvitz-Thompson de la fonction de répartition (voir Lahiri 1951), désignée par

${\hat{F}}_{L} (y) := \frac{1}{N} \sum_{j =1}^{n} 1 / π_{j} 1 {y_{j} \leq y} .$

Kuk (1988) propose de remplacer ${\hat{F}}_{L} (\cdot)$ par d’autres estimations de la fonction de répartition : au lieu d’estimer la fonction de répartition elle-même, il suggère d’estimer la proportion complémentaire ${\hat{S}}_{R} (y)$ qui mène ensuite à l’estimation ${\hat{F}}_{R} (y)$ définie par

${\hat{F}}_{R} (y) =1 - {\hat{S}}_{R} (y) =1 - \frac{1}{N} \sum_{j =1}^{n} 1 / π_{j} 1 {y_{j} > y} .$

Directement à partir de ces définitions, on peut exprimer ${\hat{F}}_{R} (\cdot)$ en termes de ${\hat{F}}_{N} (\cdot)$ par

${\hat{F}}_{R} =1 - \frac{1}{N} \sum_{j =1}^{n} 1 / π_{j} + {\hat{F}}_{L} et {\hat{F}}_{L} = \frac{\sum_{j =1}^{n} 1 / π_{j}}{N} {\hat{F}}_{N} . (2.3)$

Kuk (1988) montre que, en vertu d’un échantillonnage à probabilités inégales, l’estimation de la médiane dérivée de ${\hat{F}}_{R}$ est plus efficace que celles qui sont dérivées de ${\hat{F}}_{N}$ et ${\hat{F}}_{L}$ en termes d’estimation de l’erreur quadratique moyenne. Soulignons que les estimateurs ${\hat{F}}_{N},$ ${\hat{F}}_{L}$ et ${\hat{F}}_{R}$ coïncident dans le cas d’un échantillonnage aléatoire simple sans remise où $π_{j} = π = n / N .$

ISSN : 1712-5685

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N° 12-001-X au catalogue

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Ottawa

Date de modification :: 2016-06-22

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