Comparaison d’estimateurs sur petits domaines au niveau de l’unité et au niveau du domaine 2. Modèle d’estimation au niveau de l’unitéComparaison d’estimateurs sur petits domaines au niveau de l’unité et au niveau du domaine 2. Modèle d’estimation au niveau de l’unité

L’un des modèles de base pour l’estimation sur petits domaines au niveau de l’unité est le modèle de régression à erreur emboîtée (Battese et coll. 1988) donné par $y_{i j} = x_{i j'} β + v_{i} + e_{i j},$ $j = 1, \dots, N_{i},$ $i = 1, \dots, m,$ où $y_{i j}$ est la variable d’intérêt pour la $j^{e}$ unité de population du $i^{e}$ petit domaine, $x_{i j} = (x_{i j 1}, \dots, x_{i j p})'$ est un vecteur $p \times 1$ de variables auxiliaires où $x_{i j 1} = 1,$ $β = (β_{0}, \dots, β_{p - 1})'$ est un vecteur $p \times 1$ de paramètres de régression et $N_{i}$ est le nombre d’unités de population dans le $i^{e}$ petit domaine. Les effets aléatoires $v_{i}$ sont présumés indépendants et identiquement distribués $(i . i . d .)$ $N (0, σ_{v}^{2})$ et indépendants des erreurs au niveau de l’unité $e_{i j},$ qui sont présumées $i . i . d .$ $N (0, σ_{e}^{2}) .$ À supposer que $N_{i}$ est grand, le paramètre d’intérêt correspond à la moyenne pour le $i^{e}$ domaine, ${\bar{Y}}_{i} = N_{i}^{- 1} \sum_{j = 1}^{N_{i}} y_{i j},$ qui peut être approximée par :

$θ_{i} = {\bar{X}}_{i'} β + v_{i}, (2.1)$

où ${\bar{X}}_{i} = \sum_{j = 1}^{N_{i}} x_{i j} / N_{i}$ est le vecteur des moyennes de population connues de $x_{i j}$ pour le $i^{e}$ domaine. On présume que les échantillons sont tirés indépendamment dans chaque petit domaine selon un plan d’échantillonnage spécifié. Sous un échantillonnage non informatif, les données d’échantillon $(y_{i j}, x_{i j})$ sont présumées obéir au modèle de population, c’est-à-dire

$y_{i j} = x_{i j'} β + v_{i} + e_{i j}, j = 1, \dots, n_{i}, i = 1, \dots, m, (2.2)$

où $w_{i j}$ est le poids de sondage de base associé à l’unité $(i, j)$ et $n_{i}$ est la taille de l’échantillon dans le $i^{e}$ petit domaine.

2.1 Estimation EBLUP

Selon le modèle de régression à erreur emboîtée (2.2), l’estimateur de la meilleure prédiction linéaire sans biais (BLUP) de la moyenne d’un petit domaine, $θ_{i} = {\bar{X}}_{i'} β + v_{i},$ est donné par

${\tilde{θ}}_{i} = r_{i} {\bar{y}}_{i} + {({\bar{X}}_{i} - r_{i} {\bar{x}}_{i})}^{'} \tilde{β}, (2.3)$

où ${\bar{y}}_{i} = \sum_{j = 1}^{n_{i}} y_{i j} / n_{i},$ ${\bar{x}}_{i} = \sum_{j = 1}^{n_{i}} x_{i j} / n_{i},$ $r_{i} = σ_{v}^{2} / (σ_{v}^{2} + σ_{e}^{2} / n_{i}),$ et

$\tilde{β} = {(\sum_{i = 1}^{m} {\bar{x}}_{i}^{'} V_{i}^{- 1} x_{i})}^{- 1} (\sum_{i = 1}^{m} {\bar{x}}_{i}^{'} V_{i}^{- 1} y_{i}) \equiv \tilde{β} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}), (2.4)$

où $x_{i'} = (x_{i 1}, \dots, x_{i n_{i}}),$ $V_{i} = σ_{e}^{2} I_{n_{i}} + σ_{v}^{2} 1_{n_{i}} 1_{n_{i}'},$ $y_{i} = (y_{i 1}, \dots, y_{i n_{i}})',$ $i = 1, \dots, m .$ Les deux estimations ${\tilde{θ}}_{i}$ et $\tilde{β}$ dépendent des paramètres de variance inconnus $σ_{e}^{2}$ et $σ_{v}^{2} .$ On peut utiliser la méthode d’ajustement des constantes pour estimer $σ_{e}^{2}$ et $σ_{v}^{2};$ les estimateurs résultants sont ${\hat{σ}}_{e}^{2} = {(n - m - p + 1)}^{- 1} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n_{i}} {\hat{ε}}_{i j}^{2}$ et ${\hat{σ}}_{v}^{2} = \max ({\tilde{σ}}_{v}^{2}, 0),$ où ${\tilde{σ}}_{v}^{2} = n_{*}^{- 1} [\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n_{i}} {\hat{u}}_{i j}^{2} - (n - p) {\hat{σ}}_{e}^{2}],$ $n_{*} = n - tr [{(X^{'} X)}^{- 1} \sum_{i = 1}^{m} n_{i}^{2} {\bar{x}}_{i} {\bar{x}}_{i'}],$ $X^{'} = (x_{i'}, \dots, x_{m'}),$ et $n = \sum_{i = 1}^{m} n_{i} .$

Les résidus ${{\hat{ε}}_{i j}}$ sont obtenus par la régression par les moindres carrés ordinaires (MCO) de $y_{i j} - {\bar{y}}_{i}$ sur ${x_{i j 1} - {\bar{x}}_{i \cdot 1}, \dots, x_{i j p} - {\bar{x}}_{i \cdot p}}$ et les résidus ${{\hat{u}}_{i j}},$ par la régression par les MCO de $y_{i j}$ sur ${x_{i j 1}, \dots, x_{i j p}} .$ Plus pour de détails, voir Rao (2003, page 138).

En remplaçant $σ_{e}^{2}$ et $σ_{v}^{2}$ par les estimateurs ${\hat{σ}}_{e}^{2}$ et ${\hat{σ}}_{v}^{2}$ dans l’équation (2.3), on obtient l’estimateur EBLUP de la moyenne de petit domaine $θ_{i}$ suivant :

${\hat{θ}}_{i}^{EBLUP} = r_{i} {\bar{y}}_{i} + {({\bar{X}}_{i} - {\hat{r}}_{i} {\bar{x}}_{i})}^{'} \hat{β}, (2.5)$

où ${\hat{r}}_{i} = {\hat{σ}}_{v}^{2} / ({\hat{σ}}_{v}^{2} + {\hat{σ}}_{e}^{2} / n_{i})$ et $\hat{β} = \tilde{β} ({\hat{σ}}_{e}^{2}, {\hat{σ}}_{v}^{2}) .$ L’erreur quadratique moyenne (EQM) de l’estimateur EBLUP ${\hat{θ}}_{i}^{EBLUP}$ est donnée par

$EQM ({\hat{θ}}_{i}^{EBLUP}) \approx g_{1 i} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) + g_{2 i} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) + g_{3 i} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2})$

voir Prasad et Rao (1990). Les termes $g$ sont

$\begin{array}{l} g_{1 i} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) & = (1 - r_{i}) σ_{v}^{2}, \\ g_{2 i} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) & = {({\bar{X}}_{i} - r_{i} {\bar{x}}_{i})}^{'} {(\sum_{i = 1}^{m} x_{i'} V_{i}^{- 1} x_{i})}^{- 1} ({\bar{X}}_{i} - r_{i} {\bar{x}}_{i}) \end{array}$

$g_{3 i} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) = n_{i}^{- 2} {(σ_{v}^{2} + σ_{e}^{2} n_{i}^{- 1})}^{- 3} h (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}),$

où $h (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) = σ_{e}^{4} V ({\tilde{σ}}_{v}^{2}) - 2 σ_{e}^{2} σ_{v}^{2} cov ({\hat{σ}}_{e}^{2}, {\tilde{σ}}_{v}^{2}) + σ_{v}^{4} V ({\hat{σ}}_{e}^{2}) .$ Les variances et la covariance de ${\hat{σ}}_{e}^{2}$ et ${\tilde{σ}}_{v}^{2}$ sont données par

$\begin{array}{l} V ({\hat{σ}}_{e}^{2}) = & 2 {(n - m - p + 1)}^{- 1} σ_{e}^{4} \\ V ({\tilde{σ}}_{v}^{2}) = & 2 n_{*}^{- 2} [{(n - m - p + 1)}^{- 1} (m - 1) (n - p) σ_{e}^{4} + 2 n_{*} σ_{e}^{2} σ_{v}^{2} + n_{* *} σ_{v}^{4}], \end{array}$

$cov ({\hat{σ}}_{e}^{2}, {\tilde{σ}}_{v}^{2}) = - (m - 1) n_{*}^{- 1} V ({\hat{σ}}_{e}^{2}),$

où $n_{* *} = tr {(Z^{'} M Z)}^{2},$ $M = I_{n} - X {(X^{'} X)}^{- 1} X^{'},$ $Z = diag (1_{n_{1}}, \dots, 1_{n_{m}}) .$

Un estimateur de deuxième ordre sans biais de l’EQM (Prasad et Rao 1990) est donné par

$eqm ({\hat{θ}}_{i}^{EBLUP}) = g_{1 i} ({\hat{σ}}_{e}^{2}, {\hat{σ}}_{v}^{2}) + g_{2 i} ({\hat{σ}}_{e}^{2}, {\hat{σ}}_{v}^{2}) + 2 g_{3 i} ({\hat{σ}}_{e}^{2}, {\hat{σ}}_{v}^{2}) . (2.6)$

Soulignons que l’estimateur EBLUP ${\hat{θ}}_{i}^{EBLUP}$ donné par (2.5) dépend du modèle d’estimation au niveau de l’unité (2.2). Il est sans biais par rapport au modèle, mais il n’est pas convergent par rapport au plan de sondage sauf si ce dernier repose sur un échantillonnage aléatoire simple. Si le modèle (2.2) n’est plus vérifié pour les données échantillonnées, l’estimateur EBLUP ${\hat{θ}}_{i}^{EBLUP}$ peut alors être biaisé, c’est-à-dire qu’il comprend un biais additionnel attribuable à la spécification inexacte du modèle.

2.2 Estimation pseudo-EBLUP

You et Rao (2002) ont proposé un estimateur pseudo-EBLUP de la moyenne de petit domaine $θ_{i}$ combinant les poids de l’enquête et le modèle d’estimation au niveau de l’unité (2.2) afin d’atteindre la convergence par rapport au plan. Soient $w_{i j}$ les poids associés à chaque unité $(i, j) .$ Un estimateur direct fondé sur le plan de sondage de la moyenne de petit domaine est donné par

${\bar{y}}_{i w} = \frac{\sum_{j = 1}^{n_{i}} w_{i j} y_{i j}}{\sum_{j = 1}^{n_{i}} w_{i j}} = \sum_{j = 1}^{n_{i}} {\tilde{w}}_{i j} y_{i j}, (2.7)$

où ${\tilde{w}}_{i j} = w_{i j} / \sum_{j = 1}^{n_{i}} w_{i j} = w_{i j} / w_{i .}$ et $\sum_{j = 1}^{n_{i}} {\tilde{w}}_{i j} = 1.$ L’estimateur pondéré ${\bar{y}}_{i w}$ est aussi appelé « estimateur pondéré de Hájek ». En combinant l’estimateur direct (2.7) et le modèle d’estimation au niveau de l’unité (2.2), on peut obtenir le modèle au niveau du domaine agrégé (pondéré par les poids d’enquête) suivant :

${\bar{y}}_{i w} = {\bar{x}}_{i w'} β + v_{i} + {\bar{e}}_{i w}, i = 1, \dots, m, (2.8)$

où ${\bar{e}}_{i w} = \sum_{j = 1}^{n_{i}} {\tilde{w}}_{i j} e_{i j}$ avec $E ({\bar{e}}_{i w}) = 0,$ $V ({\bar{e}}_{i w}) = σ_{e}^{2} \sum_{j = 1}^{n_{i}} {\tilde{w}}_{i j}^{2} \equiv δ_{i}^{2}$ et ${\bar{x}}_{i w} = \sum_{j = 1}^{n_{i}} {\tilde{w}}_{i j} x_{i j} .$ Soulignons que le paramètre de régression $β$ et les composantes de variance $σ_{e}^{2}$ et $σ_{v}^{2}$ ne sont pas connus dans le modèle (2.8). Selon le modèle (2.8), en supposant que les paramètres $β,$ $σ_{e}^{2}$ et $σ_{v}^{2}$ sont connus, l’estimateur BLUP de $θ_{i}$ est donné par

${\tilde{θ}}_{i w} = r_{i w} {\bar{y}}_{i w} + {({\bar{X}}_{i} - r_{i w} {\bar{x}}_{i w})}^{'} β = {\tilde{θ}}_{i w} (β, σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}), (2.9)$

où $r_{i w} = σ_{v}^{2} / (σ_{v}^{2} + δ_{i}^{2}) .$ L’estimateur BLUP ${\tilde{θ}}_{i w}$ dépend de $β,$ $σ_{e}^{2}$ et $σ_{v}^{2} .$ Pour estimer le paramètre de régression, You et Rao (2002) ont proposé une méthode d’équation d’estimation pondérée, qui permet d’obtenir un estimateur de $β$ comme suit :

${\tilde{β}}_{w} = {[\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n_{i}} w_{i j} x_{i j} {(x_{i j} - r_{i w} {\bar{x}}_{i w})}^{'}]}^{- 1} [\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n_{i}} w_{i j} (x_{i j} - r_{i w} {\bar{x}}_{i w}) y_{i j}] \equiv {\tilde{β}}_{w} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) .$

${\tilde{β}}_{w} = {\tilde{β}}_{w} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2})$ dépend de $σ_{e}^{2}$ et $σ_{v}^{2} .$ En remplaçant $σ_{e}^{2}$ et $σ_{v}^{2}$ dans ${\tilde{β}}_{w}$ par les estimateurs d’ajustement des constantes ${\hat{σ}}_{e}^{2}$ et ${\hat{σ}}_{v}^{2},$ on obtient ${\hat{β}}_{w} = {\tilde{β}}_{w} ({\hat{σ}}_{e}^{2}, {\hat{σ}}_{v}^{2});$ voir Rao (2003, page 149). En remplaçant $β,$ $σ_{e}^{2}$ et $σ_{v}^{2}$ dans (2.9) par ${\hat{β}}_{w},$ ${\hat{σ}}_{e}^{2}$ et ${\hat{σ}}_{v}^{2},$ l’estimateur pseudo-EBLUP de la moyenne de petit domaine $θ_{i}$ est donné par

${\hat{θ}}_{i}^{P - EBLUP} ≜ {\hat{θ}}_{i w} = {\hat{r}}_{i w} {\bar{y}}_{i w} + {({\bar{X}}_{i} - {\hat{r}}_{i w} {\bar{x}}_{i w})}^{'} {\hat{β}}_{w} . (2.10)$

À mesure que la taille de l’échantillon $n_{i}$ augmente, l’estimateur ${\hat{θ}}_{i}^{P - EBLUP}$ devient convergent par rapport au plan de sondage. Il a aussi une propriété d’autocalage lorsque les poids $w_{i j}$ sont ajustés de façon à correspondre au total de population connu. Ainsi, si $\sum_{j = 1}^{n_{i}} w_{i j} = N_{i},$ $\sum_{i = 1}^{m} N_{i} {\hat{θ}}_{i}^{P - EBLUP}$ correspond à l’estimateur direct de régression du total global

$\sum_{i = 1}^{m} N_{i} {\hat{θ}}_{i}^{P - EBLUP} = {\hat{Y}}_{w} + {(X - {\hat{X}}_{w})}^{'} {\hat{β}}_{w},$

où ${\hat{Y}}_{w} = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n_{i}} w_{i j} y_{i j},$ et ${\hat{X}}_{w} = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n_{i}} w_{i j} x_{i j} .$ Pour plus de détails, voir You et Rao (2002).

L’EQM de ${\hat{θ}}_{i}^{P - EBLUP}$ est donnée par

$EQM ({\hat{θ}}_{i}^{P - EBLUP}) \approx g_{1 i w} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) + g_{2 i w} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) + g_{3 i w} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}),$

où $g_{1 i w} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) = (1 - r_{i w}) σ_{v}^{2}$ et $g_{2 i w} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) = ({\bar{X}}_{i} - r_{i w} {\bar{x}}_{i w})' Φ_{w} ({\bar{X}}_{i} - r_{i w} {\bar{x}}_{i w}) .$ Le terme $Φ_{w}$ est

$\begin{array}{l} Φ_{w} {(\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n_{i}} x_{i j} z_{i j'})}^{- 1} (\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n_{i}} z_{i j} z_{i j'}) {[{(\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n_{i}} x_{i j} z_{i j'})}^{- 1}]}^{'} σ_{e}^{2} \\ + {(\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n_{i}} x_{i j} z_{i j'})}^{- 1} [\sum_{i = 1}^{m} (\sum_{j = 1}^{n_{i}} z_{i j}) {(\sum_{j = 1}^{n_{i}} z_{i j})}^{'}] {[{(\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n_{i}} x_{i j} z_{i j})}^{- 1}]}^{'} σ_{v}^{2}, \end{array}$

où $z_{i j} = w_{i j} (x_{i j} - r_{i w} {\bar{x}}_{i w})$ et $g_{3 i w} (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) = r_{i w} {(1 - r_{i w})}^{2} σ_{e}^{- 4} σ_{v}^{- 2} h (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2}) .$ Le facteur $h (σ_{e}^{2}, σ_{v}^{2})$ correspond à la même fonction que pour l’EQM de l’estimateur EBLUP donné à la section 2.1. Un estimateur de deuxième ordre presque sans biais de l’EQM peut s’écrire

$eqm ({\hat{θ}}_{i}^{P - EBLUP}) = g_{1 i w} ({\hat{σ}}_{e}^{2}, {\hat{σ}}_{v}^{2}) + g_{2 i w} ({\hat{σ}}_{e}^{2}, {\hat{σ}}_{v}^{2}) + 2 g_{3 i w} ({\hat{σ}}_{e}^{2}, {\hat{σ}}_{v}^{2}) . (2.11)$

(Voir Rao 2003, page 150 et You et Rao 2002, page 435). Soulignons que l’estimateur de l’EQM (2.11) ne tient pas compte des termes du produit vectoriel. Torabi et Rao (2010) ont obtenu un estimateur de deuxième ordre de l’EQM exact tenant compte des termes du produit vectoriel à l’aide des méthodes de linéarisation et de « bootstrap ». Le produit vectoriel compte deux termes. Le premier est simple et a une forme explicite. Bien que la méthode de linéarisation fonctionne bien, la forme explicite du deuxième terme du produit vectoriel est très longue; de plus, les formules fondées sur la méthode de linéarisation ne sont pas fournies dans l’article de Torabi et Rao (2010). La méthode « bootstrap » sous-estime toujours l’EQM réelle. Pour obtenir un estimateur non biaisé de l’EQM, il faut appliquer une méthode bootstrap double exigeant beaucoup de calculs. L’estimateur de l’EQM (2.11) se comporte comme l’estimateur par linéarisation de Torabi et Rao (2010) lorsque la variation des poids d’enquête est faible. Dans le cas de l’autopondération à l’intérieur des domaines, l’un des termes du produit vectoriel est zéro et l’autre est de l’ordre $o (m^{- 1}) .$ En conséquence, l’estimateur de l’EQM (2.11) est presque sans biais; d’autres détails sont présentés dans Torabi et Rao (2010). C’est pour ces raisons que les termes du produit vectoriel n’ont pas été inclus dans l’estimateur de l’EQM donné en (2.11) dans le cadre de l’étude.

Soulignons qu’en vertu du modèle (2.2), l’estimateur pseudo-EBLUP ${\hat{θ}}_{i}^{P - EBLUP}$ est légèrement moins efficient que l’estimateur EBLUP ${\hat{θ}}_{i}^{EBLUP} .$ Toutefois, cet estimateur pseudo-EBLUP est convergent par rapport au plan et est donc plus robuste à une spécification inexacte du modèle. L’efficacité des estimateurs EBLUP et pseudo-EBLUP a été évaluée à l’aide d’une étude par simulations.

ISSN : 1712-5685

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Date de modification :: 2016-06-22

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2.1 Estimation EBLUP

2.2 Estimation pseudo-EBLUP