4. Une application

Jiming Jiang, Thuan Nguyen et J. Sunil Rao

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Nous considérons une application des méthodes développées aux sections précédentes aux données du TVSFP. Pour une description complète de l'étude du TVSFP, voir Hedeker, Gibbons et Flay (1994). L'étude originale a été conçue pour tester les effets indépendants ainsi que combinés d'un programme de résistance sociale en milieu scolaire, d'une part, et télévisé, d'autre part, concernant la prévention et l'arrêt du tabagisme. Les sujets étaient des élèves de septième année de Los Angeles (LA) et de San Diego, dans l'État de Californie, aux États-Unis. Les élèves ont été prétestés en janvier 1986 dans le cadre d'une première étude. Les mêmes élèves ont rempli un questionnaire directement après l'intervention en avril 1986, un questionnaire de suivi un an plus tard (en avril 1987), et un questionnaire de suivi deux ans plus tard (en avril 1988). Dans la présente analyse, nous considérons un sous-ensemble des données du TVSFP portant sur les élèves de 28 écoles de Los Angeles, où les écoles ont été affectées aléatoirement à l'une de quatre conditions d'étude : a) un programme scolaire de résistance sociale (PS); b) une intervention médiatique (télévision) (TV); c) une combinaison des conditions PS et TV; et d) un groupe de contrôle sans traitement. L'une des principales variables de résultat de l'étude était la cote obtenue sur une échelle des connaissances concernant le tabac et la santé (THKS pour tobacco and health knowledge scale), et est celle utilisée dans la présente analyse. La THKS consistait en un questionnaire à sept items utilisé pour évaluer les connaissances des élèves concernant le tabac et la santé. La cote THKS de l'élève a été définie comme la somme des items auxquels l'élève avait répondu correctement. Seules les données du prétest et de l'évaluation directement après l'intervention sont disponibles pour la présente analyse. Plus précisément, les données portent uniquement sur les sujets qui avaient rempli le questionnaire THKS à ces deux points dans le temps. D'une part, les données des enregistrements complets représentent une situation « avant-après » idéale; d'autre part, les données manquantes, c'est-à-dire celles fournies par les sujets qui ont rempli le questionnaire à un seul point dans le temps, auraient pu fournir des renseignements supplémentaires utiles. Par exemple, il se peut qu'un sujet n'ait pas rempli le questionnaire de suivi parce qu'il n'avait pas trouvé le programme utile. Malheureusement, les données incomplètes n'étaient pas disponibles. Par conséquent, l'analyse des enregistrements complets seulement comporte un risque de biais de sélection. Dans l'ensemble, l'échantillon comprenait 1 600 élèves répartis entre 28 écoles, le nombre d'élèves provenant de chaque école variant de 18 à 137.

Hedeker et coll. (1994) ont procédé à une analyse avec modèles mixtes basée sur un certain nombre de modèles REE pour illustrer l'estimation du maximum de vraisemblance pour l'analyse des données groupées. Ici, nous considérons le problème d'estimation des moyennes de petit domaine de l'écart entre les cotes THKS (la réponse) obtenues directement après l'intervention et au prétest. Ici, le « petit domaine » s'entend d'un certain nombre de caractéristiques importantes (par exemple, région de résidence, ratio enseignant/élèves) qui affectent la réponse, mais dont ne rendent pas compte les covariables du modèle (c'est-à-dire combinaison linéaire des indicateurs PS, TV et PSTV). Notons qu'habituellement, le terme « petit domaine » fait référence à de petites régions géographiques ou sous-populations pour lesquelles un échantillon adéquat n'est pas disponible (par exemple, Rao 2003), et des renseignements tels que les caractéristiques résidentielles ou les ratios enseignant/élèves seraient utilisés comme covariables supplémentaires. Cependant, les données sur ce genre de caractéristiques ne sont pas disponibles. C'est pourquoi nous définissons cette information non disponible comme étant « au niveau du domaine », afin qu'elle puisse être traitée comme les effets aléatoires (de petit domaine). Cette approche est en harmonie avec les caractéristiques fondamentales des effets aléatoires qui sont souvent utilisées pour traduire les effets ou l'information inobservable (par exemple, Jiang 2007), et étend la notion classique d'estimation sur petits domaines. Donc, un petit domaine correspond aux élèves de septième année dans toutes les écoles des États-Unis dont les caractéristiques principales sont similaires à celles d'une école de Los Angeles comprise dans les données durant une période raisonnable (par exemple, cinq ans) afin que ni ces caractéristiques, ni la pertinence sociale/éducative des programmes PS et TV n'aient beaucoup évolué au fil du temps. Les données du TVSFP englobent 28 écoles de Los Angeles qui correspondent à 28 ensembles de caractéristiques, de sorte que les données sont considérées comme des échantillons aléatoires provenant de 28 petits domaines définis comme il est indiqué plus haut. Ainsi, chaque population de petit domaine est suffisamment grande pour que $n_i/N_i\approx \text{0,1}\le i\le 28.$ Rappelons que les $n_i$ dans l'échantillon TVSFP varient de 18 à 137, tandis que les $N_i$ devraient être au moins de l'ordre de dizaines de milliers. Notons que, dans le calcul de la MPO, le seul endroit où il est nécessaire de connaître $N_i$ est dans le ratio $n_i/N_i.$ Le modèle REE proposé peut être exprimé comme en (1.1) avec ${x^{\prime }}_{ij}\beta ={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i\mathrm{,1}}+{\beta }_2{x}_{i\mathrm{,2}}+{\beta }_3{x}_{i\mathrm{,1}}{x}_{i\mathrm{,2}},$ où $x_{i\mathrm{,1}}=1$ dans le cas PS, et $0$ autrement; $x_{i\mathrm{,2}}=1$ dans le cas TV, et $0$ autrement. Il s'ensuit que les données auxiliaires $x_i$ sont des données au niveau du domaine; par conséquent, la valeur de ${\overline{X}}_i$ est connue pour chaque $i.$

Comme nous l'avons mentionné, les tailles d'échantillon de certains petits domaines sont assez grandes, mais il existe aussi des domaines dont les tailles d'échantillon sont relativement parlant (beaucoup) plus petites, ce qui est assez fréquent dans les situations réelles. Comme les données auxiliaires sont des données au niveau du domaine, nous avons ${{\overline{X}}^{\prime }}_i\beta ={{\overline{x}}^{\prime }}_i\beta ;$ donc, il est facile de montrer que le MP (1.5) peut être exprimé sous la forme

$${\tilde{\theta }}_i=\left\{r_i+\left(1-r_i\right)\frac{n_i\gamma }{1+n_i\gamma }\right\}{\overline{y}}_i+\frac{1-r_i}{1+n_i\gamma }{{\overline{x}}^{\prime }}_i\beta \mathrm{.}$$

Nous voyons que, quand $n_i$ est grand, le MP est approximativement égal à ${\overline{y}}_i,$ l'estimateur sous le plan de sondage, qui n'a rien à voir avec l'estimation du paramètre. Par conséquent, quand $n_i$ est grand, la différence entre la MPO et le MPLSBE est faible. Par contre, si $n_i$ est petit ou moyen, nous nous attendons à observer une certaine différence entre la MPO et le MPLSBE en ce qui concerne l'EQMP. Cependant, il est difficile de dire quelle est la grandeur de cette différence dans le présent exemple sur données réelles. Nos résultats de simulation de la section 2 montrent que la différence entre la MPO et le MPLSBE concernant l'EQMP dépend de la mesure dans laquelle la spécification du modèle supposé est inexacte. Il convient de souligner que la réponse, $y_{ij},$ est la différence entre les cotes THKS, et que les valeurs possibles de la cote THKS sont des nombres entiers compris entre 0 et 7. Manifestement, de telles données ne suivent pas une loi normale. L'effet possible de la non-normalité est double. D'une part, il est probable que le modèle REE, tel qu'il est proposé par Hedeker et coll. (1994), est spécifié incorrectement, auquel cas l'expression (1.5) n'est plus le MP, et les estimateurs du MV (MVR) gaussien ne sont plus les vrais estimateurs du MV (MVR). D'autre part, même si les données ne suivent pas une loi normale, il reste possible de justifier que (1.5) est le meilleur prédicteur linéaire (MPL; par exemple, Searle, Casella et McCulloch 1992, section 7.3). En outre, les estimateurs du MV (MVR) gaussiens sont convergents et asymptotiquement normaux, même sans l'hypothèse de normalité (Jiang 1996; voir aussi Jiang 2007, chapitre 1). D'autres aspects du modèle REE comprennent l'homoscédasticité de la variance de l'erreur sur l'ensemble des petits domaines. La figure 4.1 montre l'histogramme des variances d'échantillon des 28 petits domaines. La forme bimodale de l'histogramme donne à penser que la variance de l'erreur pourrait être hétéroscédastique, soit encore un autre type possible de spécification inexacte du modèle. Par conséquent, la méthode de la MPO est un choix naturel.

Figure 4.1 Histogramme des variances d’échantillon; un lisseur à noyau de la densité est ajusté

Description de la figure 4.1

Nous effectuons l'analyse de la MPO pour les 28 petits domaines et les résultats sont présentés au tableau 4.1. Les MEP des paramètres sont ${\widehat{\beta }}_0=0\text{,}206,{\widehat{\beta }}_1=0\text{,}687,$ ${\widehat{\beta }}_2=0\text{,}213,{\widehat{\beta }}_3=-0\text{,}288$ et $\widehat{\gamma }=0,003.$ Bien que l'on puisse donner une interprétation des estimations des paramètres, il se pourrait que la spécification du modèle soit inexacte (auquel cas l'interprétation pourrait ne pas avoir de sens), comme nous l'avons mentionné plus haut. Quoi qu'il en soit, nous nous intéressons principalement à la prédiction et non à l'estimation; donc, nous nous concentrons sur la MPO. En plus des MPO, nous calculons aussi les estimateurs $\widehat{\text{EQMP}}$ correspondants, et leurs racines carrées comme mesures de l'incertitude. Aux fins de comparaison, nous incluons aussi dans le tableau les MPLSBE pour les petits domaines, ainsi que les racines carrées des estimations de l'EQMP correspondantes, $\widetilde{\text{EQMP}},$ en utilisant la méthode de Prasad-Rao (P-R; Prasad et Rao 1990). Nous voyons que les MPO sont toutes positives, même pour les petits domaines dans le groupe de contrôle. En ce qui concerne la signification statistique (ici, la « signification » est définie comme le fait que la MPO est plus grande en valeur absolue que 2 fois la racine carrée de l'estimation de l'EQMP correspondante), les moyennes de petit domaine sont significativement positives pour tous les petits domaines du groupe (1,1). Par contre, aucune des moyennes de petit domaine n'est significativement positive pour les petits domaines du groupe (0,0). Pour les deux autres groupes, les moyennes de petit domaine sont significativement positives pour tous les petits domaines du groupe (1,0), tandis qu'elles sont significativement positives pour tous les petits domaines sauf deux du groupe (0,1). Les groupes (0,0), (0,1), (1,0) et (1,1) contiennent 7, 8, 7 et 7 petits domaines, respectivement.

Tableau 4.1
MPO, MPLSBE, mesures de l’incertitude pour les données du TVSFP (Partie 1)
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de MPO. Les données sont présentées selon ID (titres de rangée) et PS, TV, MPO, $\sqrt{\widehat{\text{EQMP}}}$, MPLSBE et $\sqrt{\widetilde{\text{EQMP}}}$ (figurant comme en-tête de colonne).

ID	PS	TV	MPO	$\sqrt{\widehat{\text{EQMP}}}$	MPLSBE	$\sqrt{\widetilde{\text{EQMP}}}$
403	1	0	0,886	0,171	0,913	0,121
404	1	1	0,844	0,296	0,856	0,121
193	0	0	0,215	0,207	0,217	0,120
194	0	0	0,221	0,137	0,221	0,134
196	1	0	0,878	0,171	0,907	0,124
197	0	0	0,225	0,158	0,223	0,126
198	1	1	0,771	0,220	0,807	0,131
199	0	1	0,426	0,142	0,453	0,130
401	1	1	0,826	0,133	0,844	0,127
402	0	0	0,188	0,171	0,199	0,123
405	0	1	0,394	0,147	0,432	0,129
407	0	1	0,508	0,300	0,508	0,133
408	1	0	0,871	0,240	0,903	0,123
409	0	0	0,230	0,125	0,227	0,136

Tableau 4.2
MPO, MPLSBE, mesures de l’incertitude pour les données du TVSFP (Partie 2)
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de MPO. Les données sont présentées selon ID (titres de rangée) et PS, TV, MPO, $\sqrt{\widehat{\text{EQMP}}}$, MPLSBE et $\sqrt{\widetilde{\text{EQMP}}}$ (figurant comme en-tête de colonne).

ID	PS	TV	MPO	$\sqrt{\widehat{\text{EQMP}}}$	MPLSBE	$\sqrt{\widetilde{\text{EQMP}}}$
410	1	1	0,778	0,304	0,813	0,124
411	0	1	0,409	0,195	0,444	0,115
412	1	0	0,913	0,219	0,930	0,126
414	1	0	0,929	0,257	0,941	0,127
415	1	1	0,869	0,199	0,872	0,135
505	1	1	0,790	0,154	0,818	0,136
506	0	1	0,389	0,169	0,428	0,134
507	0	1	0,426	0,148	0,452	0,135
508	0	1	0,411	0,108	0,442	0,136
509	1	0	0,915	0,097	0,929	0,143
510	1	0	0,880	0,119	0,905	0,143
513	0	0	0,185	0,215	0,197	0,123
514	1	1	0,866	0,144	0,870	0,140
515	0	0	0,180	0,102	0,192	0,143

Si l'on compare la MPO au MPLSBE, les valeurs du second sont généralement plus élevées, et les estimations de l'EQMP correspondantes sont en majeure partie plus faibles. Du point de vue de la signification statistique, les résultats du MPLSBE sont significatifs pour les groupes (1,1), (1,0) et (0,1), et non significatifs pour le groupe (0,0). Il convient de souligner que l'estimateur P-R de l'EQMP du MPLSBE est calculé sous l'hypothèse de normalité, alors qu'ici, les données ont clairement une distribution non normale, comme il est mentionné plus haut. Donc, il se peut que la mesure de l'incertitude pour le MPLSBE ne soit pas exacte. En particulier, le fait que les (racines carrées des) EQMP pour les MPLSBE sont plus faibles, comparativement à celles des MPO ne signifie pas nécessairement que les EQMP réelles correspondantes des MPLSBE sont plus faibles que celles des MPO. En fait, nos résultats de simulation (voir la section 2) ont montré l'opposé. Nous constatons aussi que les estimations de l'EQMP des MPLSBE sont plus homogènes dans les divers petits domaines. Cela pourrait tenir au fait que l'estimateur P-R de l'EQMP du MPLSBE est obtenu en supposant que le modèle REE est correct, alors que l'estimateur proposé de l'EQMP pour la MPO ne s'appuie pas sur une telle hypothèse.

En conclusion, malgré les différences possibles entre les caractéristiques des petits domaines, les programmes PS et TV semblaient améliorer les cotes THKS des élèves (savoir si les meilleures cotes THKS signifient que la prévention et l'arrêt du tabagisme sont améliorés est toutefois une autre question). Il semble aussi que le programme PS était relativement plus efficace que le programme TV. Sans l'intervention d'un de ces programmes, la cote THKS ne semblait pas s'améliorer en ce qui concerne les moyennes de petit domaine. Pour ce qui est de la signification statistique des résultats, pour PS = 0 et TV = 0, la cote THKS ne semblait pas être améliorée; pour PS = 1, la cote THKS paraissait être améliorée; et pour PS = 0 et TV = 1, l'amélioration de la cote THKS n'était pas convaincante.

Remerciements

Les travaux de Jiming Jiang sont financés partiellement par les subventions DMS-0809127 et SES-1121794 de la NSF. Les travaux de Thuan Nguyen sont financés partiellement par la subvention SES-1118469 de la NSF. Les travaux de J. Sunil Rao sont financés partiellement par les subventions DMS-0806076 et SES-1122399 de la NSF. La recherche des trois auteurs est financée partiellement par la subvention R01-GM085205A1 du NIH. Les auteurs remercient le professeur Donald Hedeker d'avoir eu l'amabilité de fournir les données du TVSFP pour l'analyse. Enfin, les auteurs remercient le rédacteur associé et deux examinateurs de leurs commentaires.

Annexe

A.1. MPO sous régression à erreurs emboîtées. L'EQMP basée sur le plan de sondage est donnée par (1.6). Notons que toutes les espérances $\text{E},$ et plus tard les prédictions $\text{P},$ sont basées sur le plan de sondage, en supposant un échantillonnage aléatoire simple. Notons que $\text{E}{\left\{{\tilde{\theta }}_i\left(\psi \right)-{\theta }_i\right\}}^2=\text{E}\left\{{\tilde{\theta }}_i^2\left(\psi \right)\right\}-2{\theta }_i\text{E}\left\{{\tilde{\theta }}_i\left(\psi \right)\right\}+{\theta }_i^2.$ En outre, notons que $\text{E}\left({\overline{y}}_{i\cdot }\right)={\theta }_i$ et $\text{E}\left({\overline{x}}_{i\cdot }\right)={\overline{X}}_i$ $({\overline{y}}_{i\cdot }$ et ${\overline{x}}_{i\cdot }$ sont les estimateurs sans biais sous le plan des moyennes de sous-population correspondantes). Donc, nous avons

$$\begin{array}{ll}\text{E}\left\{{\tilde{\theta }}_i\left(\psi \right)\right\}\hfill & ={{\overline{X}}^{\prime }}_i\beta +\left\{\frac{n_i}{N_i}+\left(1-\frac{n_i}{N_i}\right)\frac{n_i{\sigma }_v^2}{{\sigma }_e^2+n_i{\sigma }_v^2}\right\}\left({\theta }_i-{{\overline{X}}^{\prime }}_i\beta \right)\hfill \\ \hfill & =\left(1-\frac{n_i}{N_i}\right)\frac{{\sigma }_e^2}{{\sigma }_e^2+n_i{\sigma }_v^2}{{\overline{X}}^{\prime }}_i\beta +\left\{\frac{n_i}{N_i}+\left(1-\frac{n_i}{N_i}\right)\frac{n_i{\sigma }_v^2}{{\sigma }_e^2+n_i{\sigma }_v^2}\right\}{\theta }_i\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Par conséquent, en utilisant la notation présentée sous (1.7), nous avons

$$\text{E}{\left\{{\tilde{\theta }}_i\left(\psi \right)-{\theta }_i\right\}}^2=\text{E}\left\{{\tilde{\theta }}_i^2\left(\psi \right)\right\}-2\frac{1-r_i}{1+n_i\gamma }{{\overline{X}}^{\prime }}_i\beta {\theta }_i+b_i\left(\gamma \right){\theta }_i^2\mathrm{.}\left(\text{A}.1\right)$$

Nous pouvons exprimer le paramètre ${\theta }_i$ inconnu dans (A.1) par $\text{E}\left({\overline{y}}_{i\cdot }\right).$ Nous avons également besoin d'un estimateur sans biais sous le plan de ${\theta }_i^2,$ qui est donné par (1.8). Autrement dit, nous avons ${\theta }_i^2=\text{E}\left({\widehat{\mu }}_i^2\right).$ Pour montrer l'absence de biais sous le plan de (1.8), notons que

$$\begin{array}{ll}\text{E}\left(\frac{1}{n_i}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n_i}{y}_{ij}^2}\right)\hfill & =\frac{1}{n_i}\text{E}\left\{{\displaystyle \sum _{k=1}^{N_i}{Y}_{ik}^2{1}_{\left(k\in I_i\right)}}\right\}\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{n_i}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N_i}{Y}_{ik}^2\text{P}\left(k\in I_i\right)}=\frac{1}{N_i}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N_i}{Y}_{ik}^2}\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où $I_i$ est l'ensemble d'indices échantillonnés correspondant au $i^{\text{e}}$ petit domaine. En outre, nous avons

$$\begin{array}{ll}\text{E}\left\{\frac{N_i-1}{N_i\left(n_i-1\right)}{\displaystyle \sum _{j=1}^{n_i}}{\left(y_{ij}-{\overline{y}}_{i\cdot }\right)}^2\right\}\hfill & =\frac{N_i-1}{N_i\left(n_i-1\right)}\text{E}\left({\displaystyle \sum _{j=1}^{n_i}{y}_{ij}^2}-n_i{\overline{y}}_{i\cdot }^2\right)\hfill \\ \hfill & =\frac{N_i-1}{N_i\left(n_i-1\right)}\text{E}\left({\displaystyle \sum _{j=1}^{n_i}{y}_{ij}^2}\right)-\frac{\left(N_i-1\right)n_i}{N_i\left(n_i-1\right)}\text{E}\left({\overline{y}}_{i\cdot }^2\right)\hfill \\ \hfill & =\frac{\left(N_i-1\right)n_i}{N_i\left(n_i-1\right)}\left\{\frac{1}{N_i}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N_i}{Y}_{ik}^2}-\text{E}\left({\overline{y}}_{i\cdot }^2\right)\right\}\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

et

$$\begin{array}{ll}\text{E}\left({\overline{y}}_{i\cdot }^2\right)\hfill & =\frac{1}{n_i^2}\text{E}{\left\{{\displaystyle \sum _{k=1}^{N_i}{Y}_{ik}{1}_{\left(k\in I_i\right)}}\right\}}^2\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{n_i^2}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{,}l=1}^{N_i}{Y}_{ik}{Y}_{il}\text{P}\left(k\in I_i\mathrm{,}l\in I_i\right)}\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{n_i^2}\left\{{\displaystyle \sum _{k=1}^{N_i}{Y}_{ik}^2\frac{n_i}{N_i}}+{\displaystyle \sum _{k\ne l}{Y}_{ik}{Y}_{il}\frac{n_i\left(n_i-1\right)}{N_i\left(N_i-1\right)}}\right\}\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{n_i^2}\left[\frac{n_i}{N_i}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N_i}{Y}_{ik}^2}+\frac{n_i\left(n_i-1\right)}{N_i\left(N_i-1\right)}\left\{{\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{N_i}{Y}_{ik}}\right)}^2-{\displaystyle \sum _{k=1}^{N_i}{Y}_{ik}^2}\right\}\right]\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{n_i^2}\left\{\frac{n_i\left(N_i-n_i\right)}{N_i\left(N_i-1\right)}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N_i}{Y}_{ik}^2}+\frac{N_i{n}_i\left(n_i-1\right)}{N_i-1}{\theta }_i^2\right\}\hfill \\ \hfill & =\frac{N_i-n_i}{N_i\left(N_i-1\right)n_i}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N_i}{Y}_{ik}^2}+\frac{N_i\left(n_i-1\right)}{\left(N_i-1\right)n_i}{\theta }_i^2\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Donc, après combinaison des éléments, nous obtenons

$$\text{E}\left({\widehat{\mu }}_i^2\right)=\left[1-\frac{\left(N_i-1\right)n_i}{N_i\left(n_i-1\right)}\left\{1-\frac{N_i-n_i}{\left(N_i-1\right)n_i}\right\}\right]\left(\frac{1}{N_i}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N_i}{Y}_{ik}^2}\right)+{\theta }_i^2={\theta }_i^2\mathrm{.}$$

Il s'ensuit que le deuxième membre de (A.1) peut être exprimé sous la forme

$$\text{E}\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^m}\left\{{\tilde{\theta }}_i^2\left(\psi \right)-2\frac{1-r_i}{1+n_i\gamma }{{\overline{X}}^{\prime }}_i\beta {\overline{y}}_{i\cdot }+b_i\left(\gamma \right){\widehat{\mu }}_i^2\right\}\right]\mathrm{.}$$

Le MEP s'obtient en minimisant l'expression à l'intérieur de l'espérance, qui correspond à (1.7).

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