3. Estimation robuste basée sur le biais conditionnel

Cyril Favre Martinoz, David Haziza et Jean-François Beaumont

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Afin de se prémunir contre l’influence indue de certaines unités, il convient de construire des estimateurs robustes du total $t;$  c’est-à-dire des estimateurs qui réduisent l’impact des unités les plus influentes. Nous considérons une classe d’estimateurs de la forme

$${\widehat{t}}_R=\widehat{t}+\Delta \mathrm{,}(3.1)$$

où $\Delta$  est une certaine variable aléatoire. Comme nous le verrons à la section 4, les estimateurs winsorisés considérés peuvent s’écrire sous la forme (3.1). Comme dans Beaumont et coll. (2013), on désire déterminer la valeur de $\Delta$  qui minimise le plus grand biais conditionnel estimé dans l’échantillon de l’estimateur ${\widehat{t}}_R\mathrm{.}$  Formellement, on cherche la valeur de $\Delta$  qui minimise

$$\underset{i\in S}{{\displaystyle \max }}\left\{\left|{\widehat{B}}_{1i}^R\right|\right\}\mathrm{,}(3.2)$$

où ${\widehat{B}}_{1i}^R$  désigne le biais conditionnel estimé de l’estimateur ${\widehat{t}}_R$  associé à l’unité échantillonnée $i.$  Ce biais conditionnel est donné par

$$\begin{array}{ll}{B}_{1i}^R\hfill & =E_p\left({\widehat{t}}_R|I_i=1\right)-t\hfill \\ \hfill & =B_{1i}^{\text{HT}}+E_p\left(\Delta |I_i=1\right)(3.3)\hfill \end{array}$$

que l’on estimera par

$${\widehat{B}}_{1i}^R={\widehat{B}}_{1i}^{\text{HT}}+\Delta \mathrm{,}(3.4)$$

où ${\widehat{B}}_{1i}^{\text{HT}}$  est un estimateur conditionnellement sans biais de $B_{1i}^{\text{HT}}.$  En notant que $\Delta$  est un estimateur conditionnellement sans biais de $E_p\left(\Delta =1\right),$  il découle que l’estimateur du biais conditionnel (3.4) est conditionnellement sans biais pour $B_{1i}^R.$  Autrement dit, on a $E_p\left\{{\widehat{B}}_{1i}^R|I_i=1\right\}=B_{1i}^R.$

Beaumont et coll. (2013) ont montré que la valeur de $\Delta$  qui minimise (3.2) est donnée par

$${\Delta }_{\text{opt}}=-\frac{1}{2}\left({\widehat{B}}_{\text{min}}+{\widehat{B}}_{\text{max}}\right)\mathrm{,}$$

où ${\widehat{B}}_{\text{min}}={\min }_{i\in S}\left({\widehat{B}}_{1i}^{\text{HT}}\right)$  et ${\widehat{B}}_{\text{max}}={\max }_{i\in S}\left({\widehat{B}}_{1i}^{\text{HT}}\right).$  L’estimateur (3.1) devient alors :

$${\widehat{t}}_R=\widehat{t}-\frac{1}{2}\left({\widehat{B}}_{\text{min}}+{\widehat{B}}_{\text{max}}\right)\mathrm{.}(3.5)$$

Sous certaines conditions de régularité, Beaumont et coll. (2013) ont montré que l’estimateur (3.5) est convergent par rapport au plan de sondage ; i.e., ${\widehat{t}}_R-t=O_p\left(N/\sqrt{n}\right)\mathrm{.}$

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