3. Récurrence

Jan Kowalski et Jacek Wesołowski

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Afin de formuler notre résultat principal qui donne la récurrence exacte pour les estimateurs BLUE sous n’importe quel schéma de renouvellement de l’échantillon, nous devons introduire deux objets : un polynôme $Q_p$  et une matrice $S.$  Ils ont tous deux un aspect très technique et ne possèdent pas d’interprétation heuristique directe. Néanmoins, ils semblent être d’une importance essentielle pour la formule de récurrence finale.

3.1 Polynôme $Q_p$

Rappelons que $T_k,$  le $k^{\text{e}}$  polynôme de Tchebychev de la première espèce, est défini par

$$T_k\left(x\right)=\cos \left(k\text{ arccos }x\right)\mathrm{,}k=0,1,\dots \mathrm{.}$$

Définissons une fonction polynomiale d’une matrice de Toeplitz symétrique de dimensions $m\times m$   $T_m$  par

$$T_m=\left[\begin{array}{cccccc}{T}_0& T_1& T_2& \cdots & T_{m-2}& T_{m-1}\\ T_1& T_0& T_1& \cdots & T_{m-3}& T_{m-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ T_{m-2}& T_{m-3}& T_{m-4}& \cdots & T_0& T_1\\ T_{m-1}& T_{m-2}& T_{m-3}& \cdots & T_1& T_0\end{array}\right](3.1)$$

et une matrice tridiagonale inversible de dimensions $m\times m$

$$R_m=\left[\begin{array}{cccccc}1+{\rho }^2& -\rho & 0& \cdots & 0& 0\\ -\rho & 1+{\rho }^2& -\rho & \cdots & 0& 0\\ 0& -\rho & 1+{\rho }^2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1+{\rho }^2& -\rho \\ 0& 0& 0& \cdots & -\rho & 1+{\rho }^2\end{array}\right]\mathrm{.}(3.2)$$

Notons que $R_m$  est non singulière.

Pour un schéma en cascade $\underset{\_}{\epsilon }$  avec tailles d’intervalles $m_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{m}_s$  et couverture $p,$  définissons un polynôme $Q_p$  par

$$Q_p\left(x\right)=\left(N-1\right)\left(1+{\rho }^2-2\rho x\right)+1-{\rho }^2-{\left(1+{\rho }^2-2\rho x\right)}^2{\displaystyle \sum _{j=1}^s\text{tr}\left(T_{m_j}\left(x\right)R_{m_j}^{-1}\right)}\mathrm{.}(3.3)$$

Puisque $\text{tr}\left(T_m\left(x\right)R_m^{-1}\right)$  est un polynôme de degré $m-1$  en $x,$

$$\text{deg}{Q}_p=2+\underset{1\le j\le s}{\max }\left(m_j-1\right)=p\mathrm{.}$$

3.2 Matrice $S$

Considérons de nouveau un schéma en cascade $\underset{\_}{\epsilon }$  avec couverture $p$  et $\#\left(H\right)=h=m_1+\dots +m_s.$  Pour les nombres complexes $d_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{d}_p,$  définissons une matrice $S$  de dimensions $\left(ph+h+1\right)\times p\left(h+1\right)$ au moyen de sa structure par blocs

$$S=S\left(d_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{d}_p\right)=\left[\begin{array}{cccc}\tilde{G}\left(d_1\right)& \tilde{G}\left(d_2\right)& \cdots & \tilde{G}\left(d_p\right)\\ G\left(d_1\right)& 0& \cdots & 0\\ 0& G\left(d_2\right)& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & G\left(d_p\right)\end{array}\right]\mathrm{.}(3.4)$$

Les blocs $\tilde{G}\left(d_i\right)$  sont les matrices de dimensions $\left(h+1\right)\times \left(h+1\right)$

$$\tilde{G}\left(d\right)=\frac{1}{1-{\rho }^2}\left[\begin{array}{cc}\left(N-1\right)\left(1-d\rho \right)+1-{\rho }^2& \left(1-d\rho \right){\underset{\_}{1}}_h^T\\ \left(1-d\rho \right){\underset{\_}{1}}_h& \text{diag}\left({\tilde{H}}_{m_1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\tilde{H}}_{m_s}\right)\end{array}\right](3.5)$$

avec ${\tilde{H}}_m={\tilde{H}}_m\left(d\right)$  étant une matrice bidiagonale supérieure de dimensions $m\times m$

$${\tilde{H}}_m\left(d\right)=\left[\begin{array}{cccc}1& -d\rho & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & -d\rho \\ & & & 1\end{array}\right]\mathrm{.}(3.6)$$

Les blocs $G\left(d_i\right)$  sont les matrices de dimensions $h\times \left(h+1\right)$

$$G\left(d\right)=\frac{1}{1-{\rho }^2}\left[\left(1-d\rho \right)\left(d-\rho \right){\underset{\_}{1}}_h\mathrm{,}d\text{ diag}\left(H_{m_1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{H}_{m_s}\right)\right]\mathrm{,}(3.7)$$

où $H_m=H_m\left(d\right)$  est une matrice tridiagonale de dimensions $m\times m$

$$H_m\left(d\right)=\left[\begin{array}{cccc}1+{\rho }^2& -d\rho & & \\ -\rho /d& \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & -d\rho \\ & & -\rho /d& 1+{\rho }^2\end{array}\right]\mathrm{.}(3.8)$$

Les nombres $d_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{d}_p$  considérés plus haut sont reliés aux racines (potentiellement complexes) $x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_p$  du polynôme $Q_p$  par la relation $2x_i=d_i+1/d_i,$  et $\left|d_i\right|<1,$   $i=1,\dots \mathrm{,}p.$  Certains détails supplémentaires sont donnés dans la remarque qui suit.

Remarque 3.1 Soit $x\in ℂ$  telle que $\Im x\ne 0\text{ ou }\Re x\cancel{\in }\left[-\mathrm{1,1}\right].$

Alors l’équation

$$\frac{1}{2}\left(d+\frac{1}{d}\right)=x$$

en $d$  possède exactement deux racines, disons, $d_{+}\left(x\right)$  et $d_{-}\left(x\right),$  telles que

$$\left|d_{-}\left(x\right)\right|<1et\left|d_{+}\left(x\right)\right|>1.$$

Si, en outre, $\Im x=0,$  alors $d_{+}\left(x\right)$  et $d_{-}\left(x\right)$  sont réelles.

En désignant par $x^{\ast }$  la conjuguée complexe de $x$  avec $\Im x\ne 0.$  Alors

$$d_{-}\left(x\right)={\left(d_{-}\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\ast }et{d}_{+}\left(x\right)={\left(d_{+}\left(x^{\ast }\right)\right)}^{\ast }\mathrm{.}$$

3.3 Résultat principal

Notre résultat principal donne la récursion de profondeur égale à la couverture $p$  du schéma en cascade, ainsi que les formes analytiques des coefficients qui sont prêtes pour l’implémentation numérique. Des exemples réels de ce genre d’implémentations sont présentés à la section 4. La preuve que nous offrons (voir l’annexe) est fondée sur deux hypothèses fondamentales concernant le polynôme $Q_p$  et la matrice $S.$

HYPOTHÈSE I : Le polynôme $Q_p$  possède des racines distinctes $x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_p\cancel{\in }\left[-\mathrm{1,1}\right].$

HYPOTHÈSE II : La matrice $S=S\left(d_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{d}_p\right),$  où $d_i=d_{-}\left(x_i\right),i=1,\dots \mathrm{,}p$  est de plein rang.

Théorème 3.1 Si les HYPOTHÈSES I et II sont satisfaites, alors pour tout $t\in \mathbb{Z},$  la récursion

$${\widehat{\mu }}_t={\displaystyle \sum _{k=1}^p{a}_k{\widehat{\mu }}_{t-k}}+{\displaystyle \sum _{k=0}^p{\underset{\_}{r}}_k^T{\underset{\_}{X}}_{t-k}}(3.9)$$

est vérifiée avec

$$a_k={\left(-1\right)}^{k+1}{\displaystyle \sum _{1\le j_1<\dots <j_k\le p}{d}_{j_1}\dots d_{j_k}}\mathrm{,}k=1,\dots \mathrm{,}p\mathrm{,}(3.10)$$

et

$${\underset{\_}{r}}_i={\displaystyle \sum _{m=1}^p}\left[\left(v_i\left(d_m\right)I-v_{i-1}\left(d_m\right)C^T\right)\Delta N\left(d_m\right){\displaystyle \sum _{j\in H^{\prime }}{c}_{j\mathrm{,}m}{\underset{\_}{e}}_j}\right]\mathrm{,}i=0,1,\dots \mathrm{,}p\mathrm{,}$$

où ${\underset{\_}{e}}_0=\underset{\_}{1},H^{\prime }=\left\{0\right\}\cup H,v_0\left(d\right)=1,v_{-1}\left(d\right)=0,$

$$v_i\left(d\right)=d^i-{\displaystyle \sum _{l=1}^i{a}_l{d}^{i-l}}\mathrm{,}i=1,\dots \mathrm{,}p\mathrm{,}(3.11)$$

$\Delta ={\left(I-C{C}^T\right)}^{-1},N\left(d\right)=I-dC$  et avec

$$\underset{\_}{c}={\left[\left(c_{j\mathrm{,1}}\mathrm{,}j\in H^{\prime }\right)\mathrm{,}\left(c_{j\mathrm{,2}}\mathrm{,}j\in H^{\prime }\right)\mathrm{,}\dots \mathrm{,}\left(c_{j\mathrm{,}p}\mathrm{,}j\in H^{\prime }\right)\right]}^T$$

étant la solution unique (elle existe en raison de l’HYPOTHÈSE II) du système linéaire

$$S\underset{\_}{c}={\left(\mathrm{1,0,}\dots \mathrm{,0}\right)}^T\in {ℝ}^{ph+h+1}.$$

En outre,

$$\mathbb{V}\text{ar}\left({\widehat{\mu }}_t\right)={\displaystyle \sum _{m=1}^p{c}_{\mathrm{0,}m}}\mathrm{.}(3.12)$$

À la section suivante, nous montrons comment le résultat théorique susmentionné peut être appliqué dans plusieurs scénarios de base, en particulier, dans ceux qui sont utilisés dans les enquêtes réelles, tandis que la preuve du théorème 3.1 est donnée à la deuxième partie, 6.2, de l’annexe. Elle est fondée sur une approche basée purement sur des opérateurs algébriques qui est présentée à la première partie, 6.1, de l’annexe.

Nous insistons sur le fait que des expériences numériques intensives donnent à penser que les HYPOTHÈSES I et II peuvent être universellement satisfaites, mais qu’en ce moment, nous n’avons pas de preuve mathématique de ce fait (sauf dans les cas $p=1,2$  et $p=3$  pour un schéma spécial de renouvellement de l’échantillon). Donc, les applications de la formule de récurrence données plus haut (pour $p>2)$  dans les enquêtes doivent être précédées d’une vérification numérique (qui est assez simple) que les HYPOTHÈSES I et II sont satisfaites. Des exemples sont donnés à la section 4.

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