5. Estimation par domaine

Takis Merkouris

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Les estimateurs composites pour les domaines (sous-populations) d'intérêt peuvent être obtenus facilement en utilisant les poids calés dérivés aux sections précédentes, c'est-à-dire par sommation des valeurs pondérées d'une variable sur tout domaine $U_d\subset U.$ Par exemple, en désignant par $X_{id}$ la matrice $X_i,$ pour l'échantillon $S_i,$ en fixant les entrées de la $k^{\text{e}}$ ligne égale à 0 si $k\notin U_d,$ l'estimateur RGC du total de domaine $t_{xd}$  basé sur les poids de $S_3$  calés selon le scénario du plan (c) (voir la section 3) est donné par

$${\widehat{X}}_{3d}^{\text{RGC}}={X^{\prime }}_{3d}{c}_3={\widehat{X}}_{3d}^{\text{RG}}+{X^{\prime }}_{3d}{L}_{\Psi }X{\left(X^{\prime }{L}_{\Psi }X\right)}^{-1}\left[{\widehat{X}}_1-{\widehat{X}}_3^{\text{RG}}\right]\mathrm{,}$$

où ${\widehat{X}}_{3d}^{\text{RG}}={\widehat{X}}_{3d}+{X^{\prime }}_{3d}\Lambda \Psi {\left({\Psi }^{\prime }\Lambda \Psi \right)}^{-1}\left({\widehat{Y}}_2-{\widehat{Y}}_3\right)$ et l'indice inférieur $d$ indique le domaine. L'estimateur RGC ${\widehat{X}}_{1d}^{\text{RGC}}$ basé sur l'échantillon $S_1$ s'obtient de la même manière. Cependant, contrairement à l'estimateur au niveau de la population (3.2) qui résulte du calage de deux estimateurs l'un sur l'autre au niveau de la population, les estimateurs ${\widehat{X}}_{1d}^{\text{RGC}}$ et ${\widehat{X}}_{3d}^{\text{RGC}}$ ne sont pas construits comme des composites de deux estimateurs de domaine basés sur les échantillons $S_1$ et $S_3,$ et ils ne sont pas identiques. De surcroît, même si ${\widehat{X}}_{1d}^{\text{RGC}}$ et ${\widehat{X}}_{3d}^{\text{RGC}}$incorporent l'information sur $x$ provenant des échantillons $S_1$ et $S_3,$ leur construction (non personnalisée au niveau du domaine) peut comporter une certaine perte d'efficacité.

Une simple modification de la procédure de calage qui aboutit à une estimation composite efficace pour tous les totaux d'intérêt comprend l'augmentation de la matrice de plan au moyen de colonnes définies au niveau de chaque domaine pour les variables pertinentes. Donc, pour le plan (c), l'estimation du total de domaine $t_{xd}$ comprend l'augmentation de la matrice de plan $\mathcal{X}$ en (2.7) au moyen de la colonne ${\left(-{X^{\prime }}_{1d}\mathrm{,}{0}^{\prime }\mathrm{,}{X^{\prime }}_{3d}\right)}^{\prime }.$ L'estimateur résultant, ${\tilde{X}}_d^{\text{RGC}},$ peut s'écrire sous la forme

$$\begin{array}{lll}{\tilde{X}}_d^{\text{RGC}}\hfill & =\hfill & {\widehat{X}}_{3d}+{\widehat{B}}_{1xd}\left({\widehat{X}}_1-{\widehat{X}}_3\right)+{\widehat{B}}_{2xd}\left({\widehat{Y}}_2-{\widehat{Y}}_3\right)+{\widehat{B}}_{3xd}\left({\widehat{X}}_{1d}-{\widehat{X}}_{3d}\right)\hfill \\ \hfill & =\hfill & {\widehat{B}}_{1xd}{\tilde{X}}_{1d}^{\text{RG}}+\left(I-{\widehat{B}}_{1xd}\right){\tilde{X}}_{3d}^{\text{RG}}\mathrm{,}\hfill \end{array}(5.1)$$

où ${\tilde{X}}_{1d}^{\text{RG}}$ et ${\tilde{X}}_{3d}^{\text{RG}}$ sont maintenant les estimateurs RG de domaine incorporant l'effet de régression des deuxième et troisième termes de (5.1). L'ajout dans (5.1) d'un autre terme comprenant la différence ${\widehat{Y}}_{2d}-{\widehat{Y}}_{3d}$ pourrait ne pas améliorer appréciablement l'efficacité de ${\tilde{X}}_d^{\text{RGC}},$ mais sera nécessaire si l'estimation du total de domaine $t_{yd}$ est également requise. Dans toute situation particulière, l'augmentation de la matrice de plan $\mathcal{X}$ ne concerne que les composantes de $x$ou de $y$ pour lesquelles les estimations par domaine sont nécessaires. Un inconvénient éventuel de cette procédure est le fardeau de calcul supplémentaire, qui augmente avec le nombre de domaines et de variables pour lesquels l'estimation par domaine est requise.

Une autre approche, qui pourrait être plus appropriée quand les estimations par domaine d'intérêt sont nombreuses, consiste à produire séparément les estimations par domaine en exécutant le calage composite uniquement au niveau du domaine. Pour le total de domaine $t_{xd},$ cela donnera l'estimateur RGC de domaine, par analogie avec l'estimateur RGC de population (3.2),

$${\stackrel{⌣}{X}}_d^{\text{RGC}}={\stackrel{⌣}{B}}_{1xd}{\widehat{X}}_{1d}+\left(I-{\stackrel{⌣}{B}}_{1xd}\right){\stackrel{⌣}{X}}_{3d}^{\text{RG}}\mathrm{,}$$

où ${\stackrel{⌣}{B}}_{1xd}={X^{\prime }}_{3d}{L}_{{\Psi }_d}{X}_d{\left({X^{\prime }}_d{L}_{{\Psi }_d}X\right)}_d^{-1}$ et ${\stackrel{⌣}{X}}_{3d}^{\text{RG}}={\widehat{X}}_{3d}+{X^{\prime }}_{3d}\Lambda {\Psi }_d{\left({{\Psi }^{\prime }}_d\Lambda {\Psi }_d\right)}^{-1}\left({\widehat{Y}}_{2d}-{\widehat{Y}}_{3d}\right).$ L'efficacité de l'estimateur conjoint $\left({\stackrel{⌣}{X}}_d^{\text{RGC}}\mathrm{,}{\stackrel{⌣}{Y}}_d^{\text{RGC}}\right)$ par rapport à l'estimateur $\left({\widehat{X}}_d^{\text{RGC}}\mathrm{,}{\widehat{Y}}_d^{\text{RGC}}\right)$ peut être vérifiée sous les conditions de la proposition suivante (dont la preuve est donnée en annexe).

Proposition 2 Sous les scénarios d'échantillonnage du théorème 1,

$$\widehat{\text{AV}}\left(\begin{array}{c}{\stackrel{⌣}{X}}_{3d}^{\text{RGC}}\\ {\stackrel{⌣}{Y}}_{3d}^{\text{RGC}}\end{array}\right)\text{<}\widehat{\text{AV}}\left(\begin{array}{c}{\widehat{X}}_{3d}^{\text{RGC}}\\ {\widehat{Y}}_{3d}^{\text{RGC}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Produire séparément les estimations de domaine, par calage composite au niveau du domaine, a notamment pour inconvénient la perte de cohérence entre les estimations au niveau de la population et au niveau du domaine.

Les considérations qui précèdent s'étendent à l'estimation par domaine dans le cas du plan d'échantillonnage matriciel (d).

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