4. Estimation composite pour le plan d'échantillonnage matriciel (d)

Takis Merkouris

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4.1 Ensemble de variables de base dont les totaux sont connus

Nous commençons par discuter d'un cas particulier du plan d'échantillonnage matriciel (d) dans lequel les totaux sont connus pour les variables qui sont communes aux trois échantillons. Dans ces conditions d'échantillonnage très réalistes, on recueille aussi auprès de tous les échantillons l'information sur le même vecteur de variables auxiliaires $z$ pour lequel le vecteur des totaux de population $t_z$ est connu. À titre d'illustration, considérons de nouveau trois échantillons, comme à la figure 2.1 (mais avec $z$ ajouté dans tous les sous-échantillons). Alors, l'estimateur RGC ${\widehat{X}}^{\text{RGC}}$ donné en (3.1) peut être augmenté au moyen des termes de régression ordinaires ${\widehat{B}}_{3x}\left(t_z-{\widehat{Z}}_1\right)+{\widehat{B}}_{4x}\left(t_z-{\widehat{Z}}_2\right)+{\widehat{B}}_{5x}\left(t_z-{\widehat{Z}}_3\right),$ où ${\widehat{Z}}_i\mathrm{,}i=1,2,3$ est l'estimateur HT de $t_z$ fondé sur l'échantillon $S_i;$ nous procédons de façon similaire pour ${\widehat{Y}}^{\text{RGC}}.$ Cet estimateur est plus efficace, car il incorpore de l'information additionnelle, et il est généré par une procédure de calage qui comprend les trois contraintes supplémentaires ${\widehat{Z}}_i^{\text{RGC}}=t_z,$ et possède la matrice de plan $\mathcal{X}$ donnée en (2.7) augmentée au moyen de la matrice diagonale par blocs $Z=\text{diag}\left\{Z_1\mathrm{,}{Z}_2\mathrm{,}{Z}_3\right\}.$ Dans le cas le plus simple où les matrices d'échantillon $Z_i$ se réduisent à la colonne de valeurs unitaires $1_i$  (avec total correspondant de la taille de la population), le scénario de calage est celui spécifié dans le corollaire 1 susmentionné. Comme il est montré dans la preuve du prochain théorème, une application du lemme 1 à la procédure actuelle de calage, avec la matrice de plan partitionnée $\left(\mathcal{X}\mathrm{,}Z\right),R=\Lambda$ et les totaux de calage ${\left(0^{\prime }\mathrm{,}{0}^{\prime }\mathrm{,}{t^{\prime }}_z\mathrm{,}{t^{\prime }}_z\mathrm{,}{t^{\prime }}_z\right)}^{\prime },$ donne une forme RGC modifiée de (3.1) avec les estimateurs RG incorporant l'information sur $z$ à la place des estimateurs HT. Cela s'écrit de manière compacte sous la forme ${\widehat{\mathcal{X}}}_3^{\text{RG}}-\widehat{ℬ}{\widehat{\mathcal{X}}}^{\text{RG}},$ où ${\widehat{\mathcal{X}}}_3^{\text{RG}}={\widehat{\mathcal{X}}}_3+{{\mathcal{X}}^{\prime }}_3\Lambda Z{\left(Z^{\prime }\Lambda Z\right)}^{-1}\left(t_{(z)}-\widehat{Z}\right),$ avec $t_{(z)}={\left({t^{\prime }}_z\mathrm{,}{t^{\prime }}_z\mathrm{,}{t^{\prime }}_z\right)}^{\prime },$ et ${\widehat{\mathcal{X}}}^{\text{RG}}$ sont exprimés de manière similaire, et où $\widehat{ℬ}=\left[{{\mathcal{X}}^{\prime }}_3\Lambda \left(I-P_Z\right)\mathcal{X}\right]{\left[{\mathcal{X}}^{\prime }\Lambda \left(I-P_Z\right)\mathcal{X}\right]}^{-1}$ avec $P_Z=Z{\left(Z^{\prime }\Lambda Z\right)}^{-1}{Z}^{\prime }\Lambda .$

Le remplacement de $\Lambda$ par ${\Lambda }^0$ dans la procédure de calage donne l'estimateur par régression optimale composite, écrit de manière compacte sous la forme ${\widehat{\mathcal{X}}}_3^{\text{RO}}-{\widehat{ℬ}}^o{\widehat{\mathcal{X}}}^{\text{RO}},$ avec les estimateurs par régression optimale incorporant l'information sur $z$ à la place des estimateurs RG, et avec ${\widehat{ℬ}}^o=\left[{{\mathcal{X}}^{\prime }}_3{\Lambda }^0\left(I-P_Z^0\right)\mathcal{X}\right]{\left[{\mathcal{X}}^{\prime }{\Lambda }^0\left(I-P_Z^0\right)\mathcal{X}\right]}^{-1}$ où $P_Z^0=Z{\left(Z^{\prime }{\Lambda }^{0}Z\right)}^{-1}{Z}^{\prime }{\Lambda }^0.$ En notant que $\left(I-P_Z^0\right){\mathcal{X}}_3$ est la matrice des résidus correspondant à ${\widehat{\mathcal{X}}}_3^{\text{RO}},$ et que ${{\mathcal{X}}^{\prime }}_3{\Lambda }^0\left(I-P_Z^0\right)\mathcal{X}={{\mathcal{X}}^{\prime }}_3{\left(I-P_Z^0\right)}^{\prime }{\Lambda }^0\left(I-P_Z^0\right)\mathcal{X}=\widehat{\text{AC}}\left({\widehat{\mathcal{X}}}_3^{\text{RO}}\mathrm{,}{\widehat{\mathcal{X}}}^{\text{RO}}\right),$ et de même pour $\widehat{\text{AV}}\left({\widehat{\mathcal{X}}}^{\text{RO}}\right),$ il s'ensuit que

$${\widehat{ℬ}}^o=-\widehat{\text{AC}}\left[\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{\widehat{X}}_3^{\text{RO}}\\ {\widehat{Y}}_3^{\text{RO}}\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\widehat{X}}_1^{\text{RO}}-{\widehat{X}}_3^{\text{RO}}\\ {\widehat{Y}}_2^{\text{RO}}-{\widehat{Y}}_3^{\text{RO}}\end{array}\right)\end{array}\right]{\left[\widehat{\text{AV}}\left(\begin{array}{l}{\widehat{X}}_1^{\text{RO}}-{\widehat{X}}_3^{\text{RO}}\hfill \\ {\widehat{Y}}_2^{\text{RO}}-{\widehat{Y}}_3^{\text{RO}}\hfill \end{array}\right)\right]}^{-1}\mathrm{,}(4.1)$$

par analogie avec (2.4), ou avec (2.5) sous échantillonnage non emboîté. Donc, ${\widehat{ℬ}}^o$ est optimal au sens de la minimisation de la variance approximative de l'estimateur ${\widehat{\mathcal{X}}}_3^{\text{RO}}-{\widehat{ℬ}}^o{\widehat{\mathcal{X}}}^{\text{RO}},$ qui est alors asymptotiquement équivalent à l'estimateur BLUE. Un estimateur de rechange, d'optimalité plus faible, prend la forme ${\widehat{\mathcal{X}}}_3^{\text{RG}}-{\widehat{ℬ}}^{wo}{\widehat{\mathcal{X}}}^{\text{RG}},$ où le coefficient ${\widehat{ℬ}}^{wo}=\left[{{\mathcal{X}}^{\prime }}_3{\left(I-P_Z\right)}^{\prime }{\Lambda }^0\left(I-P_Z\right)\mathcal{X}\right]{\left[{\mathcal{X}}^{\prime }{\left(I-P_Z\right)}^{\prime }{\Lambda }^0\left(I-P_Z\right)\mathcal{X}\right]}^{-1}$ possède la forme (4.1), mais avec des estimateurs RG remplaçant les estimateurs RO. Cet estimateur, qui ne diffère de l'estimateur RGC qu'en ce qui concerne le coefficient de régression, est optimal au sens restreint où il est le composite des estimateurs RG incorporant l'information sur $z$ qui possède une variance approximative minimale. En général, cet estimateur composite ne peut pas être obtenu sous forme d'estimateur par calage. Le théorème qui suit donne les conditions sous lesquelles l'estimateur RGC est optimal dans l'un des deux sens dans le cas de l'échantillonnage matriciel non emboîté; la preuve est donnée en annexe. La version avec échantillonnage emboîté du théorème, ainsi que les scénarios de sous-échantillonnage et la preuve tels qu'au théorème 1, sont omis par souci de concision.

Théorème 2 Considérons les stratégies d'échantillonnage qui suivent.

• $a)$ Pour chacun des trois échantillons $S_1,S_2$ et $S_3,$ supposons un EAS avec les fractions d'échantillonnage $f_i=n_i/N,$ et spécifions toutes les constantes $q_{ik}$ dans ${\Lambda }_i$ sous la forme $q_{ik}=\left(n_i-1\right)/N\left(1-f_i\right).$ Considérons la matrice de plan augmentée $\mathcal{Z}=\left(\mathcal{X}\mathrm{,}Z\right)$ en (2.7), où $Z=\text{diag}\left\{Z_1\mathrm{,}{Z}_2\mathrm{,}{Z}_3\right\},$ avec le vecteur augmenté correspondant de totaux de calage $t_{\mathcal{Z}}={\left(0^{\prime }\mathrm{,}{0}^{\prime }\mathrm{,}{t^{\prime }}_z\mathrm{,}{t^{\prime }}_z\mathrm{,}{t^{\prime }}_z\right)}^{\prime }.$ En outre, supposons que $Z_i{h}_i=1$ pour les vecteurs constants $h_i.$
• Alors, la procédure de calage donne l'estimateur RGC comme étant ${\widehat{\mathcal{X}}}_3^{\text{RG}}-\widehat{ℬ}{\widehat{\mathcal{X}}}^{\text{RG}}={\widehat{\mathcal{X}}}_3^{\text{RG}}-{\widehat{ℬ}}^{wo}{\widehat{\mathcal{X}}}^{\text{RG}},$ c'est-à-dire que l'estimateur RGC est le composite optimal des estimateurs RG incorporant l'information sur $z.$
• $b)$ Pour chacun des trois échantillons $S_1,S_2$ et $S_3,$ supposons un EASSTR avec la fraction d'échantillonnage $f_{ih}=n_{ih}/N_{ih}$ dans la strate $h$ de l'échantillon $i,h=1,\dots \mathrm{,}{H}_i,$ et que $N_{ih}$ désigne la taille de strate, et spécifions les constantes dans ${\Lambda }_i$ sous la forme $q_{ik}=\left(n_{ih}-1\right)/N_h\left(1-f_{ih}\right)$ pour toutes les unités de la strate $h.$ En outre, supposons que, dans chaque échantillon, les unités sont triées par strate, et considérons la matrice de plan augmentée $\mathcal{Z}=\left(\mathcal{X}\mathrm{,}Z\mathrm{,}D\right)$ donnée en (2.7), avec le vecteur augmenté correspondant de totaux de calage $t_{\mathcal{Z}}={\left(0^{\prime }\mathrm{,}{0}^{\prime }\mathrm{,}{t^{\prime }}_z\mathrm{,}{t^{\prime }}_z,{t^{\prime }}_z\mathrm{,}{N^{\prime }}_1\mathrm{,}{N^{\prime }}_2\mathrm{,}{N^{\prime }}_3\right)}^{\prime }.$ Les définitions de $D$ et $N_i$ sont les mêmes qu'auparavant.
• Alors, la procédure de calage donne l'estimateur RGC sous la forme ${\widehat{\mathcal{X}}}_3^{\text{RO}}-{\widehat{ℬ}}^o{\widehat{\mathcal{X}}}^{\text{RO}},$ c'est-à-dire que l'estimateur RGC est le composite optimal des estimateurs par régression optimale incorporant l'information sur $z.$
• $c)$ Pour chacun des trois échantillons $S_1,S_2$ et $S_3,$ supposons un échantillonnage de Poisson stratifié et spécifions les constantes $q_{ik}$ dans les entrées de ${\Lambda }_i$ sous la forme $q_{ik}={\pi }_{ihk}/\left(1-{\pi }_{ihk}\right)$ pour les unités de la strate $h.$
• Alors, la procédure de calage, avec $\mathcal{Z}$ et $t_{\mathcal{Z}}$ comme en $\left(a\right),$ donne l'estimateur RGC sous la forme ${\widehat{\mathcal{X}}}_3^{\text{RG}}-\widehat{ℬ}{\widehat{\mathcal{X}}}^{\text{RG}}={\widehat{\mathcal{X}}}_3^{\text{RO}}-{\widehat{ℬ}}^o{\widehat{\mathcal{X}}}^{\text{RO}},$ c'est-à-dire que les estimateurs RG et RO sont identiques, et que l'estimateur RGC est le composite optimal des estimateurs par régression optimale incorporant l'information sur  $z.$

La condition $Z_i{h}_i=1$ en $\left(a\right)$ du théorème 2 est habituellement satisfaite quand le vecteur $z$ contient des variables catégoriques. Des résultats analogues aux corollaires 1 et 2 de la section précédente sont également vérifiés pour les parties  $\left(b\right)$ et $\left(c\right)$ du théorème 2. Ici aussi, pour des plans d'échantillonnage autres que ceux supposés au théorème 2, la valeur $q_{ik}={\tilde{n}}_i/\left({\tilde{n}}_1+{\tilde{n}}_2+{\tilde{n}}_3\right)$ doit être utilisée dans les entrées de $\Lambda .$

Enfin, par analogie avec (3.2) et avec la décomposition appropriée du vecteur de poids calés $c,$ l'estimateur composite ${\widehat{X}}^{\text{RGC}}$ prend maintenant la forme

$${\widehat{X}}^{\text{RGC}}={\widehat{B}}_{1x}{\widehat{X}}_1^{\text{RG}}+\left(I-{\widehat{B}}_{1x}\right){\widehat{X}}_3^{\text{RG}}\mathrm{,}$$

où ${\widehat{X}}_1^{\text{RG}}$ et ${\widehat{X}}_3^{\text{RG}}$ sont les estimateurs RG utilisant l'information sur $z$ provenant de $S_1,$ et l'information sur $y$ et $z$ provenant de $S_2$ et $S_3,$ respectivement, et ${\widehat{B}}_{1x}$ est le coefficient de régression de la matrice correspondante. L'expression pour ${\widehat{Y}}^{\text{RGC}}$est similaire. Naturellement, ${\widehat{X}}^{\text{RGC}}$ et ${\widehat{Y}}^{\text{RGC}}$ peuvent être obtenus directement au moyen de ce vecteur $c$ modifié sous les simples formes linéaires ${\widehat{X}}^{\text{RGC}}={X^{\prime }}_3{c}_3$ et ${\widehat{Y}}^{\text{RGC}}={Y^{\prime }}_3{c}_3.$

4.2  Ensemble de variables de base dont les totaux sont inconnus

Examinons maintenant le cas du plan d'échantillonnage matriciel (d) dans lequel les totaux pour les variables $z$ qui sont communes aux trois échantillons sont inconnus. Dans ces conditions, l'estimation comprend la construction d'un estimateur composite du vecteur des totaux $t_z.$ En harmonie avec la formulation de la section 2, les estimateurs composites de $t_x,t_y$ et $t_z$ qui sont les meilleures combinaisons linéaires sans biais des estimateurs HT ${\widehat{X}}_1,{\widehat{Z}}_1,{\widehat{Y}}_2,{\widehat{Z}}_2,{\widehat{X}}_3,{\widehat{Y}}_3,{\widehat{Z}}_3$ sont donnés par

$$\begin{array}{lll}{\widehat{X}}^B\hfill & =\hfill & B_{1x}{\widehat{X}}_1+\left(I-B_{1x}\right){\widehat{X}}_3+B_{3x}\left({\widehat{Y}}_2-{\widehat{Y}}_3\right)+B_{2x}\left({\widehat{Z}}_1-{\widehat{Z}}_3\right)+B_{4x}\left({\widehat{Z}}_2-{\widehat{Z}}_3\right)\hfill \\ {\widehat{Y}}^B\hfill & =\hfill & B_{3y}{\widehat{Y}}_2+\left(I-B_{3y}\right){\widehat{Y}}_3+B_{1y}\left({\widehat{X}}_1-{\widehat{X}}_3\right)+B_{2y}\left({\widehat{Z}}_1-{\widehat{Z}}_3\right)+B_{4y}\left({\widehat{Z}}_2-{\widehat{Z}}_3\right)\hfill \\ {\widehat{Z}}^B\hfill & =\hfill & B_{2z}{\widehat{Z}}_1+B_{4z}{\widehat{Z}}_2+\left(I-B_{2z}-B_{4z}\right){\widehat{Z}}_3+B_{1z}\left({\widehat{X}}_1-{\widehat{X}}_3\right)+B_{3z}\left({\widehat{Y}}_2-{\widehat{Y}}_3\right).\hfill \end{array}(4.2)$$

Les estimateurs en (4.2) peuvent s'écrire sous la forme de régression matricielle

$$\left(\begin{array}{c}{\widehat{X}}^B\\ {\widehat{Y}}^B\\ {\widehat{Z}}^B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\widehat{X}}_3\\ {\widehat{Y}}_3\\ {\widehat{Z}}_3\end{array}\right)+ℬ\left(\begin{array}{c}{\widehat{X}}_1-{\widehat{X}}_3\\ {\widehat{Z}}_1-{\widehat{Z}}_3\\ {\widehat{Y}}_2-{\widehat{Y}}_3\\ {\widehat{Z}}_2-{\widehat{Z}}_3\end{array}\right)\mathrm{,}(4.3)$$

avec la matrice minimisant la variance des coefficients donnée par $ℬ=-\text{Cov}\left(u_3\mathrm{,}{u}_{12}-u_3^{\star }\right){\left[V\left(u_{12}-u_3^{\star }\right)\right]}^{-1},$ où $u_3={\left({{\widehat{X}}^{\prime }}_3\mathrm{,}{{\widehat{Y}}^{\prime }}_3\mathrm{,}{{\widehat{Z}}^{\prime }}_3\right)}^{\prime },$ $u_3^{\star }={({{\widehat{X}}^{\prime }}_3\mathrm{,}{{\widehat{Z}}^{\prime }}_3\mathrm{,}{{\widehat{Y}}^{\prime }}_3\mathrm{,}{{\widehat{Z}}^{\prime }}_3)}^{\prime },$ $u_{12}={\left({{\widehat{X}}^{\prime }}_1\mathrm{,}{{\widehat{Z}}^{\prime }}_1\mathrm{,}{{\widehat{Y}}^{\prime }}_2\mathrm{,}{{\widehat{Z}}^{\prime }}_2\right)}^{\prime }.$ Avec les matrices de covariance et de variance estimées, nous obtenons la matrice optimale estimée ${\widehat{ℬ}}^o,$ et (4.3) devient alors un estimateur par régression multivariée optimale. Alors, en procédant comme à la section 2, on peut montrer que

$${\widehat{ℬ}}^o=({{\mathcal{X}}^{\prime }}_{3-}{\Lambda }^0\mathcal{X}){({\mathcal{X}}^{\prime }{\Lambda }^0\mathcal{X})}^{-1}\mathrm{,}$$

où

$$\mathcal{X}=\left(\begin{array}{cccc}-X_1& -Z_1& 0& 0\\ 0& 0& -Y_2& -Z_2\\ X_3& Z_3& Y_3& Z_3\end{array}\right)(4.4)$$

est la matrice de plan correspondant à l'estimateur par régression (4.3), ${\mathcal{X}}_{3-}$ est la matrice $\mathcal{X}$ dont la deuxième colonne est éliminée et dont les deux premières lignes sont fixées égales à zéro, et ${\Lambda }^0$ est telle qu'il est défini à la section 2.

Le remplacement de la matrice ${\Lambda }^0$ par la matrice de pondération $\Lambda$ donne le coefficient de régression généralisée $\widehat{ℬ}=({{\mathcal{X}}^{\prime }}_{3-}\Lambda \mathcal{X}){({\mathcal{X}}^{\prime }\Lambda \mathcal{X})}^{-1},$ et (4.3) devient l'estimateur RGC de ${\left({t^{\prime }}_x\mathrm{,}{t^{\prime }}_y\mathrm{,}{t^{\prime }}_z\right)}^{\prime }$

$$\left(\begin{array}{c}{\widehat{X}}^{\text{RGC}}\\ {\widehat{Y}}^{\text{RGC}}\\ {\widehat{Z}}^{\text{RGC}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\widehat{X}}_3\\ {\widehat{Y}}_3\\ {\widehat{Z}}_3\end{array}\right)+\widehat{ℬ}\left(\begin{array}{c}{\widehat{X}}_1-{\widehat{X}}_3\\ {\widehat{Z}}_1-{\widehat{Z}}_3\\ {\widehat{Y}}_2-{\widehat{Y}}_3\\ {\widehat{Z}}_2-{\widehat{Z}}_3\end{array}\right)\mathrm{.}(4.5)$$

L'estimateur (4.5) peut être obtenu de manière commode par une procédure de calage qui donne un vecteur de poids calés pour l'échantillon combiné $S$ de la forme $c=w+\Lambda \mathcal{X}{\left({\mathcal{X}}^{\prime }\Lambda \mathcal{X}\right)}^{-1}\left(0-{\mathcal{X}}^{\prime }w\right),$ comme auparavant, mais qui satisfait maintenant la contrainte supplémentaire ${\widehat{Z}}_1^{\text{RGC}}={\widehat{Z}}_2^{\text{RGC}}={\widehat{Z}}_3^{\text{RGC}}.$ L'expression (4.5) est alors obtenue simplement comme ${{\mathcal{X}}^{\prime }}_{3-}c,$ fondé sur l'échantillon $S_3.$

L'expression explicite (4.2), qui ne diffère pour les variantes de la régression optimale et de la régression généralisée que par la forme des coefficients linéaires, montre que les estimateurs composites de $t_x$ et $t_y$ sont plus efficaces que leurs analogues dans le plan d'échantillonnage matriciel (c), équation (2.2), parce qu'ils incorporent l'information sur les variables communes $z,$ en supposant que la corrélation avec $x$ et $y$ est non nulle. L'expression pour l'estimateur composite de $t_z$ est particulièrement remarquable : elle comprend une combinaison linéaire des trois estimateurs HT de $t_z$ dérivée des trois échantillons, ainsi que les deux termes de régression impliquant une efficacité additionnelle par la voie de la corrélation de $z$ avec $x$ et $y.$ On s'attendrait à ce que les termes additionnels soient nuls, parce qu'une combinaison optimale des trois estimateurs devrait intégrer toute l'information sur $z$ disponible dans les trois échantillons. Cependant, en général, les coefficients associés ne sont pas nuls. Sous échantillonnage non emboîté, les conditions dans lesquelles ces coefficients sont nuls sont données par la proposition qui suit, dont la preuve figure en annexe. Le résultat devrait également être vérifié sous échantillonnage emboîté.

Proposition 1 Les coefficients $B_{1z}$ et $B_{3z}$ dans l'estimateur ${\widehat{Z}}^B$ en (4.2) sont nuls uniquement si

$$\begin{array}{lll}{\left[V\left({\widehat{Z}}_1\right)\right]}^{-1}\text{Cov}\left({\widehat{X}}_1\mathrm{,}{\widehat{Z}}_1\right)\hfill & =\hfill & {\left[V\left({\widehat{Z}}_3\right)\right]}^{-1}\text{Cov}\left({\widehat{X}}_3\mathrm{,}{\widehat{Z}}_3\right)\hfill \\ {\left[V\left({\widehat{Z}}_2\right)\right]}^{-1}\text{Cov}\left({\widehat{Y}}_2\mathrm{,}{\widehat{Z}}_2\right)\hfill & =\hfill & {\left[V\left({\widehat{Z}}_3\right)\right]}^{-1}\text{Cov}\left({\widehat{Y}}_3\mathrm{,}{\widehat{Z}}_3\right)\mathrm{.}\hfill \end{array}(4.6)$$

Cela peut se produire seulement si les trois échantillons sont sélectionnés selon des plans identiques, y compris des tailles d'échantillon égales, ou s'ils sont sélectionnés selon le même plan avec probabilités d'inclusion égales pour toutes les unités, mais pas nécessairement la même taille d'échantillon.

En notant que les quantités dans chaque membre des équations (4.6) sont les coefficients de régression, suivant la proposition 1, les termes de l'estimateur ${\widehat{Z}}^B$ incorporant la corrélation de $z$ avec $x$ et $y$ sont nuls uniquement si l'effet de la régression de $x$ et $y$ sur $z$ est identique dans les échantillons $S_1$ et $S_3$ et dans les échantillons $S_2$ et $S_3,$ respectivement. L'essence de cette constatation est que l'estimation de $t_z$ en utilisant uniquement l'information sur $z$ provenant des trois échantillons, mais en ignorant l'information sur $x$ et $y,$ sera sous-optimale lorsque l'effet de régression de $x$ et $y$ sur $z$ diffère dans les divers échantillons. L'efficacité de ${\widehat{Z}}^B$ par rapport à l'estimateur composite ${\tilde{Z}}^B$ qui utilise uniquement l'information sur $z$ a pu être évaluée dans les conditions simples comprenant les scalaires $x,y$ et $z,$ l'échantillonnage aléatoire simple pour $S_1$ et $S_3,$ et l'échantillonnage de Bernoulli pour $S_2,$ et des taux d'échantillonnage égaux pour les trois échantillons. Alors, seule la première équation de (4.6) est vérifiée. Après de nombreuses opérations algébriques fastidieuses, l'efficacité de ${\widehat{Z}}^B$ par rapport à ${\tilde{Z}}^B$ a été dérivée comme étant $\left[V\left({\tilde{Z}}^B\right)-V\left({\widehat{Z}}^B\right)/V\left({\tilde{Z}}^B\right)\right]=G/H,$ avec

$$\begin{array}{lll}G\hfill & =\hfill & 2\left(r_{xz}^2-1\right){\left(r_{yz}c{v}_y-c{v}_z\right)}^2\hfill \\ H\hfill & =\hfill & \left(c{v}_z^2+1\right)\left(\left(12-9r_{yz}^2\right)r_{xz}^2-3r_{xy}\left(2r_{yz}{r}_{xz}-1\right)+12\left(r_{yz}^2-1\right)\right)c{v}_z^{2}c{v}_y^2\hfill \\ \hfill & +\hfill & 2\left(r_{xy}^2+r_{yz}^2\right)c{v}_y^2+8\left(r_{xz}^2-1\right)c{v}_y^2-4r_{yz}{r}_{xy}{r}_{xz}c{v}_y^2\hfill \\ \hfill & +\hfill & 6\left(r_{xz}^2-1\right)c{v}_z\left(c{v}_z-2r_{yz}c{v}_y\right)\hfill \end{array}$$

où $r_{xy},r_{xz}$ et $r_{yz}$ désignent les coefficients de corrélation dans la population, et $c{v}_y,c{v}_z$ désigne les coefficients de variation. Même si, dans ce scénario, l'écart par rapport aux conditions de la proposition 1 est minime, différentes configurations des valeurs admissibles pour $r_{xy},r_{xz},r_{yz},c{v}_y$ et $c{v}_z$ montrent que le gain d'efficacité peut être considérable, palliant l'inefficacité de l'estimateur HT de $t_z$basé sur l'échantillon de Bernoulli $S_2.$ Par exemple, quand $r_{xy}=0,3,r_{xz}=0,3,r_{yz}=0,3$ et $c{v}_y=0,1,c{v}_z=0,6,$ le gain d'efficacité est de 23 %. Dans le cas de l'estimateur par régression optimale composite ${\widehat{Z}}^{\text{ROC}},$ avec les coefficients estimés ${\widehat{B}}_{1z}^o$ et ${\widehat{B}}_{3z}^o,$ les coefficients de régression donnés en (4.6) sont estimés, et donc les égalités en (4.6) ne seront jamais vérifiées exactement à cause des différences entre les échantillons. Il en va de même pour l'estimateur RGC ${\widehat{Z}}^{\text{RGC}},$ pour lequel les équations formellement identiques à (4.6) sont données en fonction des coefficients de la régression généralisée pour l'échantillon.

En ce qui concerne l'efficacité de l'estimateur RGC (4.5), un analogue exact du théorème 1 est vérifié dans les présentes conditions, avec les mêmes stratégies d'échantillonnage que celles pour lesquelles l'estimateur RGC correspond à l'estimateur par régression optimale et, asymptotiquement, à l'estimateur BLUE.

L'estimation composite pour un scénario d'échantillonnage matriciel faisant intervenir un ensemble de variables de base avec des totaux connus ainsi qu'inconnus peut être exécutée en utilisant le scénario de calage étendu évident.

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