6. Évaluations empiriques

Piero Demetrio Falorsi et Paolo Righi

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Plusieurs simulations ont été exécutées sur des ensembles de données réelles et de données simulées pour étudier les propriétés empiriques de la stratégie d’échantillonnage proposée. Ici, nous montrons les résultats obtenus pour un seul exercice portant sur des données réelles se rapportant à la population d’entreprises de 1999 dont le nombre d’employés était compris entre 1 et 99 et qui appartenaient au secteur des Activités informatiques (code à deux chiffres de la Nomenclature statistique des activités économiques dans la Communauté européenne, Rév. 1, dont l’acronyme est NACE). Nous avons effectué trois expériences. L’expérience (a) avait pour but de vérifier si la répartition obtenue au moyen de l’algorithme proposé convergeait vers la solution de l’algorithme de Chromy sous le plan EASSRS. L’expérience (b) visait à comparer les tailles d’échantillon du plan EASSRS classique avec celles du plan d’échantillonnage stratifié incomplet (ESI), dans lequel les strates définies par classification croisée étaient des sous-populations non planifiées; cette expérience consistait à étudier le risque de fardeau statistique dû à la sélection répétée lors de différentes éditions de l’enquête. Enfin, l’expérience (c) avait pour objet de mesurer les discordances entre le coefficient de variation (CV) prévu calculé par l’algorithme et le CV empirique obtenu par une simulation Monte Carlo.

Dans les trois expériences, les valeurs de $c_k$ ont été fixées uniformément à 1. La variance anticipée obtenue conformément à l’approximation proposée à la remarque 4.1 a également été calculée.

La taille de la population choisie pour les expériences était de $N=\text{10}\text{392}$ entreprises. Les domaines d’intérêt définissaient deux partitions de la population cible, à savoir la région géographique, avec 20 domaines marginaux (DOM1), et le groupe d’activités économiques (code à 3 chiffres de la NACE avec 6 groupes distincts) selon la classe de taille (définie en fonction du nombre d’employés : $1=1-4;2=5-9;3=10-19;$ $4=20-99),$ avec 24 domaines marginaux (DOM2). Le nombre global de domaines marginaux était égal à 44, tandis que le nombre de strates formées par classification croisée ou de strates multidimensionnelles ayant une taille de population non nulle était de 360. La valeur modale de la distribution des tailles de population était de 1, et 29,17 % des strates formées par classification croisée ne contenaient au plus que 2 unités. Ce type de strate représente un problème critique dans le contexte des approches d’échantillonnage stratifiées classiques. En effet, pour calculer des estimations de variance sans biais, ces strates doivent être à tirage complet (afin qu’elles ne contribuent pas à la variance des estimations), alors que la règle de répartition exigerait un moins grand nombre d’unités et, en général, un nombre non entier d’unités échantillonnées. Le coût de la main-d’œuvre et la valeur ajoutée étaient les variables d’intérêt pour lesquelles les données sont fournies par une source administrative pour chaque unité de la population. Habituellement, les deux variables ont une distribution fortement asymétrique.

Pour toutes les études empiriques, les estimations cibles étaient les 88 totaux au niveau du domaine (2 variables fois 44 domaines marginaux). Dans chaque expérience, les probabilités d’inclusion ont été déterminées en fixant la variance ${\overline{V}}_{\left(dr\right)}={\left(\text{0,1}{t}_{\left(dr\right)}\right)}^2$ dans (5.1), ce qui équivaut à fixer à 10 % le niveau accepté maximal du CV en pourcentage des estimations au niveau du domaine.

Étude empirique (a). La première expérience tenait compte de la partition DOM1. Ces domaines représentaient à la fois les domaines planifiés et les domaines d’estimation. Puisque les domaines planifiés définissaient une partition de la population d’intérêt, ils pouvaient également être considérés comme des strates dans les plans d’échantillonnage classiques. Le modèle de travail prédictif était donné par

$$\{\begin{array}{l}{y}_{rk}={\alpha }_d+u_{rk}\forall k\in U_d\left(d=1,\dots ,20\right)\hfill \\ E_M\left(u_{rk}\right)=0,E_M\left(u_{rk}^2\right)={\sigma }_{rd}^2\forall k\in U_d;E_M\left(u_{rk},u_{rl}\right)=0\forall k\ne l\hfill \end{array},(6.1)$$

où ${\alpha }_d$ est un effet fixe et les variances dans la superpopulation ${\sigma }_{rd}^2$ étaient estimées au moyen de la variance résiduelle du modèle prédictif dans chaque région. L’algorithme proposé à la section 5 a été exécuté en utilisant trois valeurs initiales distinctes des probabilités d’inclusion $\overline{\pi },$ égales à 0,01, 0,50 et 0,99, respectivement. Les valeurs initiales des probabilités d’inclusion n’avaient aucune incidence sur la solution finale, mais celle-ci était obtenue à la suite d’un nombre différent d’itérations. Nous constatons que le nombre global de boucles internes était de 17 pour $\overline{\pi }=\text{0,01}.$ La convergence a été obtenue avec 13 boucles internes pour $\overline{\pi }=\text{0,50};$ 14 boucles internes ont été nécessaires pour $\overline{\pi }=\text{0,99}.$ Cependant, après la neuvième itération, les trois tailles d’échantillon étaient relativement similaires (figure 6.1). Dans l’expérience, les tailles d’échantillon globales étaient de 3 105 pour la répartition de Chromy servant de référence et de 3 110 pour la méthode proposée ici. Cependant, les différences entre les deux tailles d’échantillonnage au niveau du domaine étaient des nombres fractionnaires qui étaient toujours inférieurs à 1, et la différence relative absolue la plus importante était inférieure à 0,3 %. Cela met en relief le fait que l’algorithme proposé définit en fait les mêmes tailles d’échantillon de domaine que celles calculées pour la répartition de référence. En ce qui concerne la convergence, les valeurs initiales des probabilités d’inclusion n’ont aucune incidence sur la solution finale, quoique celle-ci soit obtenue moyennant des nombres différents d’itérations.

Figure 6.1 Convergence de l’algorithme avec différentes probabilités d’inclusion initiales dans l’étude empirique (a)

Description de la figure 6.1

Des résultats similaires ont été obtenus quand les domaines d’intérêt étaient définis par la partition DOM2.

Études empiriques (b). Soit $U_{d_1}$ une région particulière $\left(d_1=1,\dots ,20\right)$ de DOM1, et soit $U_{d_2}$ (avec $d_2=1,\dots ,24)$ un groupe d’activités économiques particulier selon la classe de taille d’entreprise de la partition DOM2. Nous avons utilisé deux modèles de prédiction, $M_1$ et $M_2.$ En se référant à la notation des modèles ANOVA, $M_1$ est le modèle saturé donné par

$$\{\begin{array}{l}{y}_{rk}={\alpha }_{d_1}+{\lambda }_{d_2}+{\left(\alpha \lambda \right)}_{d_1{d}_2}+u_{rk}\forall k\in U_{d_1}\cap U_{d_2}\hfill \\ E_M\left(u_{rk}\right)=0,E_M\left(u_{rk}^2\right)={\sigma }_{r\left(d_1{d}_2\right)}^2\forall k\in U_{d_1}\cap U_{d_2};E_M\left(u_{rk},u_{rl}\right)=0\forall k\ne l\hfill \end{array},(6.2)$$

dans lequel ${\alpha }_{d_1}$ et ${\lambda }_{d_2}$ sont les effets principaux, reliés aux domaines $U_{d_1}$ et $U_{d_2},$ respectivement, et où ${\left(\alpha \lambda \right)}_{d_1{d}_2}$ est l’effet d’interaction. Les variances de modèle ${\sigma }_{r\left(d_1{d}_2\right)}^2$ ont été estimées par la méthode des moindres carrés ordinaires en calculant les variances des termes résiduels au niveau $U_{d_1}\cap U_{d_2}.$ Le modèle $M_2$ est identique au modèle $M_1$ sans le facteur d’interaction. Le tableau 6.1 montre la qualité de l’ajustement des deux modèles.

Tableau 6.1
Qualité de l’ajustement des modèles utilisés pour la prédiction
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Qualité de l’ajustement des modèles utilisés pour la prédiction. Les données sont présentées selon Modèle (titres de rangée) et Qualité de l’ajustement $R^2\%$(figurant comme en-tête de colonne).

Modèle	Qualité de l’ajustement $R^2\%$
	Coût de la main-d’œuvre	Valeur ajoutée
Modèle $M_1$ (expression 6.2)	68,1	64,1
Modèle $M_2$ (expression 6.2 sans les interactions)	65,1	61,0

Dans le cas du modèle $M_1,$ nous avons considéré trois répartitions différentes pour l’EASSRS : i) aucune contrainte de taille d’échantillon de strate n’est imposée; ii) au moins une unité échantillonnée par strate est requise (pour obtenir des estimations ponctuelles sans biais); iii) au moins deux unités échantillonnées par strate sont requises (pour obtenir des estimations de variance sans biais) pour toutes les strates ayant une taille de population de deux entreprises ou plus. Les deux premières répartitions sont plutôt théoriques, puisque dans toutes les enquêtes-entreprises réalisées par l’Institut national de statistique de l’Italie, la sélection d’au moins deux unités par strate est requise. Les résultats de l’expérience sont présentés plus bas au tableau 6.2. Seuls les résultats pour le cas où les probabilités d’inclusion initiales étaient égales à $\overline{\pi }=\text{0,50}$ sont examinés ici; des tailles d’échantillon identiques ont été obtenues pour les autres valeurs initiales des probabilités d’inclusion, avec un processus de convergence un peu plus lent. Les trois plans EASSRS comptaient 716,6, 944 et 1 042 unités d’échantillonnage, respectivement. Le plan d’échantillonnage stratifié incomplet (ESI) a donné 936 unités pour le modèle $M_1,$ tandis qu’il a donné 991 unités pour le modèle $M_2.$ Le meilleur résultat donné par le modèle $M_1$ comparativement au modèle $M_2$ tenait au fait que son ajustement était meilleur. Enfin, les plans ESI ont aidé à aborder la question du fardeau statistique des entreprises répondantes. En effet, si l’on suppose que les probabilités d’inclusion restent fixes pour les différentes éditions de l’enquête, leurs distributions peuvent être utilisées pour évaluer le fardeau statistique dans les enquêtes répétées. Le tableau 6.2 montre que le nombre d’entreprises sélectionnées avec certitude lors de chaque édition de l’enquête était de 175 pour le troisième plan EASSRS, tandis que 30 et 40 entreprises ont été sélectionnées avec certitude sous le premier et le deuxième plan ESI, respectivement. L’analyse des tailles (mesurées par l’effectif) des entreprises incluses dans l’échantillon avec certitude montre que, dans le cas du troisième plan EASSRS, la taille moyenne était égale à 20,6. Dans certains cas, des entreprises comptant deux employés étaient incluses dans l’échantillon sélectionné avec certitude. Inversement, nous constatons que dans le cas du premier et du deuxième plan ESI, la taille minimale des entreprises était de 17 et 16 employés, respectivement, et que la taille moyenne était supérieure à 40 unités.

Tableau 6.2
Tailles d’échantillon et répartition des entreprises incluses avec certitude dans l’échantillon, pour différents plans d’échantillonnage
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Tailles d’échantillon et répartition des entreprises incluses avec certitude dans l’échantillon. Les données sont présentées selon Plan d’échantillonnage (titres de rangée) et Taille de l’échantillon , Entreprises sélectionnées avec certitude, Nombre et Nombre d’employés(figurant comme en-tête de colonne).

Plan d’échantillonnage		Taille de l’échantillon	Entreprises sélectionnées avec certitude
			Nombre	Nombre d’employés
				Moyen	Minimum
Stratifié classique avec le modèle $M_1$	Pas de contrainte de taille d’échantillon de strate	716,6	10	47,0	23,0
	Au moins une unité échantillonnée par strate	944,0	119	24,0	2,0
	Au moins deux unités échantillonnées par strate	1 042,0	175	20,6	2,0
Échantillonnage stratifié incomplet avec le modèle $M_1$		936,0	30	50,1	17,0
Échantillonnage stratifié incomplet avec le modèle $M_2$ sans interactions		991,0	40	42,9	16,0

Enfin, pour évaluer la sensibilité de la solution, nous avons répété l’expérience artificiellement et modifié les valeurs de ${\tilde{y}}_{rk}$ et ${\tilde{\sigma }}_{rk}^2$ dans le problème d’optimisation (5.1). En particulier, nous avons augmenté les valeurs prédites de ${\tilde{\sigma }}_{rk}^2$ de 20 % et 120 % respectivement, et diminué de 20 % les valeurs de ${\tilde{y}}_{rk}$ prédites par le modèle $M_1.$ Comme prévu, les tailles d’échantillon ont augmenté, mais le plan EASSRS avec au moins une unité échantillonnée par strate et le premier plan ESI ont défini approximativement les mêmes tailles d’échantillon (tableau 6.3).

Tableau 6.3
Tailles d’échantillon avec valeurs prévues modifiées des prédictions du modèle (4.1)
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Tailles d’échantillon avec valeurs prévues modifiées des prédictions du modèle (4.1). Les données sont présentées selon Plan d’échantillonnage (titres de rangée) et Taille de l’échantillon (figurant comme en-tête de colonne).

Plan d’échantillonnage		Taille de l’échantillon
		${\tilde{\sigma }}_{rk}^2$ augmenté de 20 %	${\tilde{\sigma }}_{rk}^2$ augmenté de 120 %	${\tilde{y}}_{rk}$ diminué de 20 %
EASSRS avec modèle $M_1$	Aucune contrainte de taille d’échantillon de strate	821,0	1 269,0	993,8
	Au moins une unité échantillonnée par strate	1 035,0	1 472,0	1 206,0
	Au moins deux unités échantillonnées par strate	1 125,0	1 536,0	1 283,0
Plan ESI avec modèle $M_1$		1 039,7	1 460,9	1 207,5

Étude empirique (c). Nous avons utilisé le modèle de prédiction linéaire hétéroscédastique $M_3:$

$$\{\begin{array}{l}{y}_{rk}={\alpha }_r+{\phi }_r{x}_k+u_{rk}\\ E_M(u_{rk})=0,E_M(u_{rk}^2)={\sigma }_{rk}^2={\sigma }_r^2{x}_k^{}\forall k\in U;E_M({\epsilon }_{rk},{\epsilon }_{rl})=0\forall k\ne l\end{array},(6.3)$$

où $x_k$ est le nombre d’employés dans la $k^{\text{e}}$ entreprise, et ${\alpha }_r$ et ${\phi }_r$ sont les paramètres de régression. Notons que le nombre d’employés est disponible dans la base de sondage en Italie.

Nous avons calculé deux estimations différentes de la variance du modèle :

a) ${\tilde{\sigma }}_{rk}^2=1/N_{\left(X=x_k\right)}{\displaystyle {\sum }_{k\in U_{\left(X=x_k\right)}}{\left(y_{rk}-{\text{A}}_r-{\text{F}}_r{x}_k\right)}^2}$ et b) ${\tilde{\sigma }}_{rk}^2={\tilde{\sigma }}_r^2{x}_k,$ dans lesquelles ${\tilde{\sigma }}_r^2=1/\left(N-2\right){\displaystyle {\sum }_{k\in U}{\left[\left(y_{rk}-{\text{A}}_r-{\text{F}}_r{x}_k\right)/x_k\right]}^2},$ où $U_{\left(X=x\right)}$ est la population d’entreprises, de taille $N_{\left(X=x\right)},$ pour laquelle la variable $X$ prend la valeur $x;$ ${\text{A}}_r$ et ${\text{F}}_r$ sont les estimations de ${\alpha }_r$ et ${\phi }_r,$ respectivement, par les moindres carrés pondérés pour la population dénombrée complète. La somme des variances de modèle obtenue par la méthode (a) était plus faible que celle obtenue par la méthode (b). Cela a été reflété par les tailles d’échantillon calculées. La première répartition définit une taille d’échantillon global de 927 unités, tandis que la deuxième répartition définit une taille d’échantillon de 951. Nous avons tiré successivement 1 000 échantillons pour chacune des répartitions et avons calculé les ratios $\text{RCV}\left({\widehat{t}}_{\left(dr\right)}\right)=\text{CVP}\left({\widehat{t}}_{\left(dr\right)}\right)/\text{CVS}\left({\widehat{t}}_{\left(dr\right)}\right),$ avec $\text{CVP}\left({\widehat{t}}_{\left(dr\right)}\right)=\left[\sqrt{\text{VAA}\left({\widehat{t}}_{\left(dr\right)}\right)}/{\widehat{t}}_{\left(dr\right)}\right]100$ représentant le CV prévu (%) et

$$\text{CVS}\left({\widehat{t}}_{\left(dr\right)}\right)=100\sqrt{\left(1/I\right){\left[{\displaystyle {\sum }_{i=1}^I{\widehat{t}}_{\left(dr\right)}^i}-\left(1/I\right){\displaystyle {\sum }_{i=1}^I{\widehat{t}}_{\left(dr\right)}^i}\right]}^2}/\left(1/I\right){\displaystyle {\sum }_{i=1}^I{\widehat{t}}_{\left(dr\right)}^i}$$

représentant le CV simulé (ou empirique), obtenu comme résultat de la simulation, en désignant par ${\widehat{t}}_{\left(dr\right)}^i$ l’estimation HT dans la $i^{\text{e}}$ itération et $I=\text{1}\text{000}\text{.}$ Par souci de concision, seuls les principaux résultats de la répartition (b) sont présentés à la figure 6.2 pour DOM1 et DOM2, respectivement, pour les deux variables d’intérêt. En examinant la figure de gauche, nous remarquons que la simulation produit généralement un CV plus petit que le CV prévu, ce qui donne un ratio RCV plus grand que 1 pour les deux variables. Une exception a lieu, pour la valeur ajoutée dans un domaine de DOM1.

Figure 6.2 RCV selon la taille de la population pour le coût de la main-d’œuvre et la valeur ajoutée

Description de la figure 6.2

La valeur de RCV inférieure à 1 peut être expliquée par l’augmentation des tailles d’échantillon de domaine en raison de l’étape de calage. Nous constatons qu’en général, ces divergences sont observées dans des domaines dont la taille de population est petite; donc, l’étape de calage peut avoir un effet non négligeable. La figure de droite présente des données empiriques plus articulées et conflictuelles. Premièrement, nous constatons que les RCV sont souvent plus grands que 1 ou très proches de 1. Néanmoins, dans trois domaines, la variable de valeur ajoutée possède un CV simulé égal à 11,5 %, 12,0 % et 12,3 %, respectivement. Dans ces cas rares, et certains autres (coût de la main-d’œuvre dans deux domaines), les divergences sont en harmonie avec les constatations de Deville et Tillé (2005) quant aux propriétés empiriques de l’approximation de la variance pour l’échantillonnage équilibré.

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