3. Échantillonnage

Piero Demetrio Falorsi et Paolo Righi

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Soit $z_k$ un vecteur de variables auxiliaires disponible pour toutes les unités $k\in U.$ Un plan d’échantillonnage $p\left(s\right)$ est dit équilibré sur les variables auxiliaires si, et seulement si, il satisfait les équations d’équilibrage suivantes

                                              ${\displaystyle {\sum }_{k\in s}\frac{z_k}{{\pi }_k}}={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{z}_k}(3.1)$

pour chaque échantillon $s$ tel que $p\left(s\right)>0$ (Deville et Tillé 2004). Selon les variables auxiliaires et les probabilités d’inclusion, l’équation (3.1) peut être exactement ou approximativement satisfaite dans chaque échantillon possible; par conséquent, un plan d’échantillonnage équilibré n’existe pas toujours. En spécifiant

$$z_k={\pi }_k{\delta }_k,(3.2)$$

les équations (3.1) deviennent

$${\displaystyle {\sum }_{k\in s}{\delta }_k}={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{\pi }_k{\delta }_k}.(3.3)$$

Dans ce cas, les équations d’équilibrage stipulent que la taille d’échantillon réalisée dans chaque sous-population $U_h$ est égale à la taille prévue. Dans différents contextes, Ernst (1989) et Deville et Tillé (2004; page 905 Section 7.3) ont prouvé que i) sous la spécification (3.2) et ii) si le vecteur des tailles prévues d’échantillon, données par $n={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{\pi }_k{\delta }_k},$ ne contient que des nombres entiers, alors un plan d’échantillonnage équilibré existe toujours. La spécification (3.2) définit des plans d’échantillonnage qui garantissent le respect de l’équation (2.4) sur laquelle nous souhaitons nous concentrer. Deville et Tillé (2004, pages 895 et 905), Deville et Tillé (2005, page 577) et Tillé (2006, page 168) ont montré que plusieurs plans d’échantillonnage habituels peuvent être considérés comme des cas particuliers de l’échantillonnage équilibré, en définissant de manière appropriée les vecteurs $\pi$ et ${\delta }_k$ de l’équation (3.2). Ces problèmes sont illustrés à la remarque 4.2 et à la section 6. Des échantillons équilibrés peuvent être tirés par la méthode du cube (Deville et Tillé 2004). Cette méthode facilite grandement la sélection sous des plans d’échantillonnage stratifiés incomplets en permettant de contourner les inconvénients de calcul des méthodes fondées sur des algorithmes de programmation linéaire (Lu et Sitter 2002). La méthode du cube satisfait exactement les équations (3.1) quand la spécification (3.2) est vérifiée et que $n$ est un vecteur de nombres entiers. Dans les cas de l’EASSR et de l’EASSRS, on peut utiliser les méthodes classiques de sélection de l’échantillon, ainsi que la méthode du cube. Deville et Tillé (2005) proposent une approximation de la variance pour l’estimateur HT sous-échantillonnage équilibré

$$E_p{\left({\widehat{t}}_{\left(dr\right)}-t_{\left(dr\right)}\right)}^2\cong \left[N/\left(N-H\right)\right]\left[{\displaystyle {\sum }_{k\in U}\left(1/{\pi }_k-1\right){\eta }_{\left(dr\right)k}^2}\right](3.4)$$

où $E_p$ désigne l’espérance d’échantillon et

$${\eta }_{\left(dr\right)k}=y_{rk}{\gamma }_{dk}-{\pi }_k{{\delta }^{\prime }}_k{\left[A\left(\pi \right)\right]}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{j\in U}{\pi }_j\left(1/{\pi }_j-1\right){\delta }_j{y}_{rk}{\gamma }_{dk}}(3.5)$$

avec

$$A\left(\pi \right)={\displaystyle {\sum }_{j\in U}{\delta }_j{{\delta }^{\prime }}_j{\pi }_j\left(1-{\pi }_j\right)}.(3.6)$$

Les résultats de simulations donnés récemment dans Breidt et Chauvet (2011) confirment que l’équation (3.4) représente une bonne approximation de la variance d’échantillonnage quand les équations d’équilibrage sont satisfaites exactement. L’estimation de la variance est étudiée dans Deville et Tillé(2005).

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