2. Problèmes de sélection contrôlée

Sun Woong Kim, Steven G. Heeringa et Peter W. Solenberger

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Afin de sélectionner un échantillon de $n$  unités, considérons un plan de sondage avec stratification à deux dimensions comprenant la classification d’une population de $N$  unités en fonction de deux critères possèdant $R$  et $C$  catégories, respectivement. Le problème de sélection contrôlée sous stratification à deux dimensions est défini par le tableau  $A$ de dimensions $R\times C$ , qui est constitué de $RC$  cellules contenant des nombres réels non négatifs $a_{ij}$ , appelés espérances de cellule, représentant le nombre prévu d’unités qui doit être tiré dans chaque cellule $ij$ . Le problème de sélection contrôlée à deux dimensions classique est décrit au tableau 2.1.

Tableau 2.1
Problème de sélection contrôlée de dimensions $R\times C$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Problème de sélection contrôlée de dimensions $R\times C$. Les données sont présentées selon Catégorie (titres de rangée) et 1, 2, $\cdot$ $\cdot$ $j$ $\cdot$ $\cdot$, $C$ et Espérances marginales(figurant comme en-tête de colonne).

Catégorie	1	2	$\cdot$ $\cdot$ $j$ $\cdot$ $\cdot$	$C$	Espérance marginale
1	$a_{11}$	$a_{12}$	$\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$	$a_{1C}$	$a_{1.}$
2	$a_{21}$	$a_{22}$	$\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$	$a_{2C}$	$a_{2.}$
$\cdot$	$\cdot$	$\cdot$		$\cdot$	$\cdot$
$\cdot$	$\cdot$	$\cdot$		$\cdot$	$\cdot$
$i$	$\cdot$	$\cdot$	$\cdot$ $\cdot$ $a_{ij}$ $\cdot$ $\cdot$	$\cdot$	$a_{i.}$
$\cdot$	$\cdot$	$\cdot$		$\cdot$	$\cdot$
$\cdot$	$\cdot$	$\cdot$		$\cdot$	$\cdot$
$R$	$a_{R1}$	$a_{R2}$	$\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$	$a_{RC}$	$a_{R.}$
Espérance marginale	$a_{.1}$	$a_{.2}$	$\cdot$ $\cdot$ $a_{.j}$ $\cdot$ $\cdot$	$a_{.C}$	$a_{\mathrm{..}}(=n)$

Les espérances marginales $a_{i.}$  et $a_{.j}$  désignent, respectivement, la somme des espérances de cellule dans chacune des catégories de la ligne $i$  et dans chacune des catégories de la colonne $j$ . D’où $a_{\mathrm{..}}$  désigne la somme de toutes les espérances de cellule et est égal à la taille totale $n$  de l’échantillon.

Bien que le tableau 2.1 prenne la forme d’un simple tableau à deux entrées, il convient de souligner qu’habituellement $n<RC$  et qu’en outre les $a_{ij}$  peuvent être très petits (p. ex. souvent inférieurs à  $1$ ). Dans ces conditions, décider de la manière de répartir $n$  unités entre les cellules, c’est-à-dire de la manière d’obtenir un tableau de dimensions $R\times C$  avec les valeurs de cellules arrondies à un nombre entier non négatif pour chaque $a_{ij}$  est un problème dont la résolution nécessite l’utilisation d’un algorithme.

Des problèmes de sélection contrôlée variés sont utilisés comme exemples dans la littérature. Le premier de ces exemples était le tableau de dimensions $17\times 4$  décrit par Goodman et Kish (1950, p. 356), pour la répartition de 17 UPE entre 68 cellules données par 17 strates et 4 groupes d’États du Centre-Nord des États-Unis. Le tableau peut être formé comme il suit. Soit $N_{ij}$  le nombre d’éléments de la population dans chaque cellule $ij$  et soit $N_{i.}$  le nombre total d’éléments de la population dans chaque strate. Alors $a_{ij}=N_{ij}/N_{i.}$ , où certaines valeurs de $N_{ij}$  sont nulles et $0\le a_{ij}<1$ . Tous les $a_{i.}$  sont égaux à l’entier  $1$ , tandis que les $a_{.j}$  sont des sommes non entières des $a_{ij}$  dans la colonne $j$ . Le problème consiste donc à sélectionner une UPE par strate de l’échantillon (dimension $i$  ) et à contrôler simultanément la répartition entre les groupes d’États (dimension $j$  ). Au total, $n=17$  UPE seront sélectionnées.

Les paragraphes qui suivent décrivent quatre problèmes supplémentaires que nous avons découverts dans la littérature et dont nous nous servirons pour la discussion et les évaluations comparatives présentées dans l’article.

Problème 2.1 : Jessen (1970)

Un problème de dimensions $3\times 3$  faisant intervenir deux variables de stratification est donné par Jessen (1970, p. 779). Chaque cellule $ij$  correspond à une UPE et $N=9$ . Un échantillon de taille $n=6$  est tiré. $a_{ij}=n{X}_{ij}/X$ , où $X_{ij}$  est une « mesure de taille » pour l’UPE dans la cellule $ij$  et $X={\displaystyle {\sum }_{i=1}^R{\displaystyle {\sum }_{j=1}^C{X}_{ij}}}$ . Notons que, dans ce problème, $0<a_{ij}<1$ , et que $a_{i.}$  et $a_{.j}$  sont tous deux égaux à $2$ .

Problème 2.2 : Jessen (1978)

Une version étendue, de dimensions $4\times 4$ , du problème 2.1 est tirée de Jessen (1978, p. 375). Dans ce problème, $N=16$  et $n=8$ . Comme dans le problème 2.1, $a_{i.}$ et $a_{.j}$  sont tous deux égaux à $2$ , mais $0\le a_{ij}\le 1.$

Problème 2.3 : Causey et coll. (1985)

Causey et coll. (1985, p. 906) décrivent un problème de stratification à deux dimensions $8\times 3$  conçu pour sélectionner 10 UPE, c’est-à-dire $n=10$ . Soit $X_{ij{q}_{ij}}$   $\left(q_{ij}=1,\dots ,r_{ij}\right)$  une mesure de taille de l’UPE $q_{ij}$  dans la cellule $ij$ . Ici, $a_{ij}=n{X}_{ijq}/X_q$ , où $X_{ijq}={\displaystyle {\sum }_{q_{ij}=1}^{r_{ij}}{X}_{ij{q}_{ij}}}$  et $X_q={\displaystyle {\sum }_{i=1}^R{\displaystyle {\sum }_{j=1}^C{\displaystyle {\sum }_{q_{ij}=1}^{r_{ij}}{X}_{ij{q}_{ij}}}}}$ . Notons que, dans ce problème, $0\le a_{ij}\le 2$ , et la plupart des valeurs de $a_{i.}$  et $a_{.j}$  sont non entières.

Problème 2.4 : Winkler (2001)

Winkler (2001) fournit le problème de sélection contrôlée de dimensions $5\times 5$  avec deux variables de stratification illustré au tableau 2.2.

L’objectif de la résolution de ce problème consiste à sélectionner $n=37$  unités d’échantillon dans la population de taille $N=1251.$  La définition du problème débute par un tableau de dimensions $5\times 5$  des tailles de population des cellules $N_{ij}$ , où certaines valeurs de $N_{ij}$  sont assez petites. Les espérances marginales de ligne et de colonne, $a_{i.}$  et $a_{.j}$ , sont des valeurs entières qui sont prédéterminées en utilisant l’information a priori sur la précision (p. ex. coefficients de variation).

Tableau 2.2
Problème de sélection contrôlée de dimensions $5\times 5$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Problème de sélection contrôlée de dimensions $5\times 5$ . Les données sont présentées selon Catégorie (titres de rangée) et 1, 2, 3, 4, 5 et Espérance marginale(figurant comme en-tête de colonne).

Catégorie	1	2	3	4	5	Espérance marginale
1	2,000	2,483	1,052	0,103	0,362	6
2	2,182	1,061	1,101	1,046	0,610	6
3	0,000	1,614	1,914	2,200	1,272	7
4	0,860	0,377	0,930	2,840	2,993	8
5	0,958	0,465	2,003	1,811	4,763	10
Espérance marginale	6	6	7	8	10	37
Source: Tableau 4, Annexe, Winkler (2001). Reproduit avec permission

Les espérances de cellule, $a_{ij}$ , sont obtenues en appliquant la procédure d’ajustement itératif généralisé de Dykstra (1985a, 1985b) et de Winkler (1990) au tableau initial. L’ajustement itératif généralisé est utilisé pour s’assurer que $a_{ij}<N_{ij}$  pour les cellules dont la valeur de $N_{ij}$  est petite, les valeurs de $a_{i.}$  et $a_{.j}$  étant données. Notons que, dans le tableau 2.2, les $a_{ij}$  sont données à la 3^e décimale près, et que $0\le a_{ij}<5$ .

La caractéristique commune à tous ces problèmes de sélection contrôlée est que, comme il est mentionné plus haut, le nombre total d’unités sélectionnées est plus petit que le nombre de cellules (sauf pour le problème 2.4, où $n=37>RC=25$  ) et qu’un grand nombre de $a_{ij}$  sont inférieures à 1. Les algorithmes utilisés pour résoudre ces problèmes doivent appliquer des contraintes strictes décrites à la section suivante. Comme il est indiqué à la section 4, la solution d’un problème de sélection contrôlée obtenue au moyen d’un algorithme comprend un ensemble de tableaux de dimensions $R\times C$  et les probabilités de sélection correspondant à chaque tableau.

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