6 Conclusion

J.N.K. Rao, F. Verret et M.A. Hidiroglou

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Dans le présent article, nous avons proposé une approche unifiée fondée sur la vraisemblance composite pondérée (VCP) pour les modèles à deux niveaux pour faire des inférences sur des données d'enquête complexes. Les méthodes VCP proposées sont asymptotiquement valides même quand les tailles d'échantillon dans les grappes échantillonnées (unités de niveau 1) sont petites, contrairement à certaines méthodes existantes, mais il est nécessaire de connaître les probabilités d'inclusion conjointe dans les grappes échantillonnées. Souvent, il est possible de traiter l'échantillonnage dans les grappes comme étant effectué avec remise, en raison des petites fractions d'échantillonnage dans les grappes. En outre, d'excellentes approximations des probabilités d'inclusion conjointe, qui ne dépendent que des probabilités d'inclusion marginales, sont disponibles lorsque les fractions d'échantillonnage ne sont pas petites (Haziza et coll., 2008). Nous prévoyons examiner l'exactitude de ce genre d'approximations dans le cadre d'une future étude. Des études en simulation de la performance des estimateurs VCP (4.5) et (4.6) pour les modèles à deux niveaux (2.3) fondées sur la méthode par paire seront également réalisées.

Les méthodes fondées sur la vraisemblance composite sont utilisées principalement lorsque la vraisemblance complète est complexe. Notre développement dans le contexte des sondages donne la preuve que la méthode fondée sur la vraisemblance complète avec pondérations n'est pas faisable pour des modèles multiniveaux, tandis que la méthode fondée sur la vraisemblance composite pondérée facilite l'obtention d'inférences valides, même si les tailles d'échantillon de grappe sont petites.

Remerciements

Nous remercions deux examinateurs et le rédacteur associé de leurs suggestions et commentaires constructifs.

Annexe

Équations de score pondérées : modèle de régression linéaire à erreurs emboîtées

Pour le modèle de régression linéaire à erreurs emboîtées (2.3), une forme explicite de la log-vraisemblance complète de recensement s'obtient en utilisant la forme explicite de la matrice de covariance $V_i$ de $y_i={\left(y_{i1},\mathrm{...},y_{i{M}_i}\right)}^T.$ Nous avons $V_i^{-1}={\sigma }_e^{-2}\left[I_i-{\sigma }_v^2/{\lambda }_i{1}_i{1}_i^T\right],$ où ${\lambda }_i={\sigma }_e^2+M_i{\sigma }_v^2$ , $I_i$ est la matrice identité de dimensions $M_i\times M_i$ et $1_i$ est le vecteur unité de dimension $M_i\times 1$ . En utilisant l'expression pour $V_i^{-1}$ , les équations de score de recensement s'obtiennent sous la forme

$$\beta :\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^{M_i}{x}_{ij}{y}_{ij}}}-{\sigma }_v^2{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\lambda }_i^{-1}\left({\displaystyle \sum _{j=1}^{M_i}{\displaystyle \sum _{k=1}^{M_i}{x}_{ij}{y}_{ik}}}\right)}\right]-\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^{M_i}{x}_{ij}{x}_{ij}^T}}-{\sigma }_v^2{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\lambda }_i^{-1}\left({\displaystyle \sum _{j=1}^{M_i}{\displaystyle \sum _{k=1}^{M_i}{x}_{ij}{x}_{ik}^T}}\right)}\right]\beta =0\left(A.1\right)$$

$${\sigma }_v^2:{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\lambda }_i^{-2}\left[{\displaystyle \sum _{j=1}^{M_i}{\displaystyle \sum _{k=1}^{M_i}\left(y_{ij}-x_{ij}^T\beta \right)\left(y_{ik}-x_{ik}^T\beta \right)}}\right]}-{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\lambda }_i^{-1}{M}_i}=0\left(A.2\right)$$

$${\sigma }_e^2:{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^{M_i}{\left(y_{ij}-x_{ij}^T\beta \right)}^2}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(M_i{\sigma }_v^4{\lambda }_i^{-2}-2{\sigma }_v^2{\lambda }_i^{-1}\right){\displaystyle \sum _{j,k=1}^{M_i}\left(y_{ij}-x_{ij}^T\beta \right)\left(y_{ik}-x_{ik}^T\beta \right)}}-{\sigma }_e^2{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(1-{\sigma }_v^2{\lambda }_i^{-1}\right)M_i}=0\left(A.3\right)$$

Partant de (A.1), nous obtenons les équations de score pondérées

$$\begin{array}{l}\beta :{\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{j|i}{x}_{ij}{y}_{ij}}}-{\sigma }_v^2{\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i{\lambda }_i^{-1}\left({\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{\displaystyle \sum _{k\in s(i)}{w}_{jk|i}{x}_{ij}{y}_{ik}}}\right)}\left(A.4\right)\\ -\left[{\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{j|i}{x}_{ij}{x}_{ij}^T}}-{\sigma }_v^2{\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i{\lambda }_i^{-1}\left({\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{\displaystyle \sum _{k\in s(i)}{w}_{jk|i}{x}_{ij}{x}_{ik}}}\right)}\right]\beta =0\end{array}$$

où $w_{jj|i}=w_{j|i}$ . Notons que les tailles de grappe $M_i$ pour $i\in s$ sont supposées connues. On ne doit pas remplacer $M_i$ par son estimation ${\displaystyle {\sum }_{j\in s(i)}{w}_{j|i}}$ , parce que celle-ci comprend un biais de ratio dû aux petites tailles d'échantillon dans les grappes. L'équation d'estimation (A.4) est sans biais sous le plan pour l'équation de recensement (A.1).

Passons maintenant à l'équation de score pondérée pour ${\sigma }_v^2$ , nous obtenons en partant de (A.2)

$${\sigma }_v^2:{\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i{\lambda }_i^{-2}\left[{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{\displaystyle \sum _{k\in s(i)}{w}_{jk|i}\left(y_{ij}-x_{ij}^T\beta \right)\left(y_{ik}-x_{ik}^T\beta \right)}}\right]}-{\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i{\lambda }_i^{-1}{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{j|i}}}=0\left(A.5\right)$$

L'équation d'estimation (A.5) est sans biais pour (A.2). Enfin, l'équation de score pondérée pour ${\sigma }_e^2$ s'obtient à partir de (A.3) sous la forme

$$\begin{array}{l}{\sigma }_e^2:{\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i{\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{j|i}{\left(y_{ij}-x_{ij}^T\beta \right)}^2}}+{\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i\left(M_i{\sigma }_v^4{\lambda }_i^{-2}-2{\sigma }_v^2{\lambda }_i^{-1}\right){\displaystyle \sum _{j,k\in s(i)}{w}_{jk|i}\left(y_{ij}-x_{ij}^T\beta \right)\left(y_{ik}-x_{ik}^T\beta \right)}}\left(A.6\right)\\ -{\sigma }_e^2{\displaystyle \sum _{i\in s}{w}_i\left(1-{\sigma }_v^2{\lambda }_i^{-1}\right){\displaystyle \sum _{j\in s(i)}{w}_{j|i}}}=0\end{array}$$

Il découle des équations (A.4) à (A.6) que les équations de score pondérées dépendent uniquement des pondérations d'ordre 1 $w_i$ et $w_{j|i}$ et des pondérations d'ordre 2 $w_{jk|i}$ dans le cas particulier d'un modèle de régression linéaire à erreurs emboîtées.

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