2 La loi a posteriori de Pólya

Jeremy Strief et Glen Meeden

Précédent | Suivant

Soit $s$ l'ensemble d'étiquettes d'un échantillon de taille $n$ tiré d'une population de taille $N.$ Pour simplifier, nous supposons que les membres de $s$ sont $\mathrm{1,2,}\dots \mathrm{,}n$ et nous supposons aussi que la fraction $n/N$ est très petite. Soit $y=\left(y_1,y_2,\dots ,y_N\right)$ la caractéristique d'intérêt et $y_s$ les valeurs d'échantillon observées.

La loi a posteriori de Pólya repose sur l'échantillonnage selon le modèle de l'urne de Pólya dont le principe est le suivant : supposons que les valeurs de $n$ unités observées ou vues sont marquées sur $n$ balles et sont placées dans l'urne 1. Les $N-n$ unités restantes non vues de la population sont représentées par $N-n$ balles non marquées placées dans l'urne 2. De chaque urne on tire une balle avec la même probabilité et on attribue à la balle provenant de l'urne 2 la valeur de la balle provenant de l'urne 1. On retourne ensuite les deux balles dans l'urne 1. Donc, à la deuxième étape de l'échantillonnage de Pólya, l'urne 1 contient $n+1$ balles et l'urne 2 contient $N-n-1$ balles. On répète cette procédure jusqu'à ce que l'urne 2 soit vide, moment auquel les $N$ balles contenues dans l'urne 1 constituent une copie simulée complète de la population. Toute quantité de population finie $–$ moyenne, total, quantile, coefficient de régression $–$ peut maintenant être calculée à partir de la copie complète. Nous pouvons simuler $K$ de ces copies complètes et, dans chaque cas, calculer la valeur de la quantité de population d'intérêt. L'estimation ponctuelle est donnée par la moyenne de ces valeurs simulées et un intervalle de crédibilité bayésien à 95 % approximatif est donné par les quantiles correspondant à 2,5 % et 97,5 % des valeurs.

On peut vérifier que, sous la loi a posteriori de Pólya, l'espérance a posteriori de la moyenne de population est simplement la moyenne d'échantillon et la variance a posteriori est simplement égale à $\left(n-1\right)/\left(n+1\right)$ fois la variance sous le plan habituelle de la moyenne d'échantillon sous échantillonnage aléatoire simple sans remise. La loi a posteriori de Pólya possède une justification fondée sur la théorie de la décision en raison de sa nature bayésienne séquentielle. En s'appuyant sur ce fait, on peut montrer que de nombreux estimateurs classiques sont admissibles. Des renseignements détaillés figurent dans Ghosh et Meeden (1997). La loi a posteriori de Pólya est le bootstrap bayésien de Rubin (1981) appliqué à l'échantillonnage en population finie. Lo (1988) discute aussi du bootstrap bayésien dans le cas de l'échantillonnage en population finie. Certains des premiers travaux dans ce domaine sont décrits dans Hartley et Rao (1968) et dans Binder (1982).

Pour l'unité échantillonnée $i$ soit $p_i$ la proportion d'unités présentes dans une copie simulée complète de la population qui possédent la valeur $y_i.$ Ghosh et Meeden (1997) ont montré que, sous la loi a posteriori de Pólya, $E\left(p_i\right)=1/n.$ Si nous posons que

$w_i=NE\left(p_i\right)=N/n$

alors $w_i$ peut être interprété comme la pondération appliquée à l'unité $i$ puisqu'elle est égale au nombre moyen d'unités de la population représentée par l'unité $i,$ sous la loi a posteriori de Pólya. Rappelons que sous échantillonnage aléatoire simple sans remise, la fraction $n/N$ est la probabilité d'inclusion de chaque unité. Donc, dans ce cas, il y a concordance entre la pondération fréquentiste habituelle, qui est la réciproque de la probabilité d'inclusion, et la pondération sous la loi a posteriori de Pólya définie plus haut.

Donc, quand l'information a priori est limitée, la loi a posteriori de Pólya donne des pondérations identiques aux pondérations fréquentistes dérivées du plan d'échantillonnage aléatoire simple sans remise. La justification du choix de la loi a posteriori de Pólya pour ces pondérations ne dépend pas explicitement du plan d'échantillonnage et conviendrait dans toute circonstance où l'échantillonneur considère que les unités observées et non observées de la population sont approximativement interchangeables.

Nous allons maintenant examiner la relation entre la loi a posteriori de Pólya et les méthodes bootstrap habituelles sous échantillonnage en population finie. Les deux approches sont fondées sur une hypothèse d'interchangeabilité. Gross (1980) a présenté l'idée fondamentale du bootstrap. Supposons que l'on procède à un échantillonnage aléatoire simple sans remise et que $N/n=m$ est un entier. Étant donné un échantillon, nous créons une bonne approximation de la population en combinant $m$ répliques de cet échantillon. En tirant des échantillons aléatoires répétés de taille $n$ de cette population créée, nous pouvons étudier le comportement d'un estimateur d'intérêt. Booth, Bulter et Hall (1994) ont étudié les propriétés asymptotiques de ce genre d'estimateurs. Hu, Zhang, Cohen et Salvucci (1997) donnent un exemple d'utilisation de l'échantillon pour construire une population artificielle, suivie du tirage d'échantillons répétés de cette population pour construire une estimation de la variance de leur estimateur et des intervalles de confiance.

Notons que cette situation diffère de celle de la loi a posteriori de Pólya où l'échantillon est considéré fixe et des versions complètes de la population sont générées de manière répétée.

Précédent | Suivant